摘 要：文章基于“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生”的觀點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思考“新定義”問(wèn)題的解決策略，教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、發(fā)現(xiàn)，形成“實(shí)踐—發(fā)現(xiàn)—證明”的數(shù)學(xué)思維，實(shí)踐“理解教學(xué)”的理念.

關(guān)鍵詞：理解教學(xué)；新定義問(wèn)題；探究與發(fā)現(xiàn)能力；遞推法計(jì)數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）34-0049-03

收稿日期：2024-09-05

作者簡(jiǎn)介：張宜凡（1986.12—），男，江蘇省蘇州人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展的‘發(fā)現(xiàn)教育’實(shí)踐與創(chuàng)新”（項(xiàng)目編號(hào)：D/2021/02/209）.

章建躍先生提出“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”［1］.理解數(shù)學(xué)是提高教學(xué)質(zhì)量的前提，只有理解數(shù)學(xué)，才能準(zhǔn)確地確定教學(xué)目標(biāo)與任務(wù)，從而在目標(biāo)的驅(qū)動(dòng)下，準(zhǔn)確解析教學(xué)任務(wù)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；理解學(xué)生是實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)的基礎(chǔ)，只有理解學(xué)生，才能立足于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，用學(xué)生的眼光對(duì)待數(shù)學(xué)教學(xué)，向?qū)W生有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想和方法；理解教學(xué)是實(shí)施有效教學(xué)的關(guān)鍵，只有理解教學(xué)，才能有效實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的和諧統(tǒng)一，在這個(gè)統(tǒng)一體中努力實(shí)踐數(shù)學(xué)思想的感悟與內(nèi)化.

1 基本情況

1.1 試題分析

題目 設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai，aj（ilt;j）后剩余的4m項(xiàng)可被平分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）-可分?jǐn)?shù)列.

（1）寫(xiě)出所有的（i，j），1≤ilt;j≤6，使得數(shù)列a1，a2，…，a6是（i，j）-可分?jǐn)?shù)列；

（2）當(dāng)m≥3時(shí)，證明：a1，a2，…，a4m+2是（2，13）-可分?jǐn)?shù)列；

（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j（ilt;j），記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）-可分?jǐn)?shù)列的概率為pm，證明：pmgt;18.

本題是2024年新高考Ⅰ卷的第19題，設(shè)計(jì)新穎，背景公平，極具探索性、創(chuàng)新性.試題以學(xué)生熟悉的等差數(shù)列為主要載體，給出了（i，j）-可分?jǐn)?shù)列的新定義，將數(shù)列和概率兩個(gè)主要模塊有機(jī)結(jié)合.

1.2 學(xué)情分析

從學(xué)生的考后反饋來(lái)看，很多學(xué)生在考場(chǎng)中無(wú)法準(zhǔn)確找到第三問(wèn)突破口，對(duì)于可分?jǐn)?shù)列的分類(lèi)及計(jì)數(shù)比較混亂，沒(méi)有明確解決問(wèn)題的方案.還有部分同學(xué)完全沒(méi)有信心去解決第三問(wèn)而選擇直接放棄.

針對(duì)學(xué)生在考場(chǎng)中反映出的問(wèn)題，結(jié)合考場(chǎng)中將本題做出來(lái)的同學(xué)的方法，思考如何能立足于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，結(jié)合學(xué)生已有知識(shí)體系，從理解學(xué)生角度進(jìn)行有效的新高三教學(xué)，特別是新概念壓軸題教學(xué).

1.3 教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo) （1）體會(huì)遞推法在計(jì)數(shù)中的作用；（2）體會(huì)新概念問(wèn)題的審題、理解、方法選擇等，學(xué)會(huì)如何去研究新問(wèn)題；（3）理解新概念問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)思想——從特殊到一般、類(lèi)比與轉(zhuǎn)化；（4）通過(guò)逐步設(shè)問(wèn)與探索，增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)魅力的熱情，提高解決復(fù)雜問(wèn)題的信心和能力.

教學(xué)重點(diǎn) （1）學(xué)會(huì)如何理解與分析新概念問(wèn)題，以及如何研究數(shù)學(xué)新問(wèn)題；（2）計(jì)數(shù)方法的選擇，特別是遞推法在計(jì)數(shù)中的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn) 研究新問(wèn)題的方法與思想，形成“實(shí)踐—發(fā)現(xiàn)—證明”的數(shù)學(xué)思維.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 理解問(wèn)題

師：如何閱讀和理解本題？

生：題目給出一個(gè)新定義，即可分?jǐn)?shù)列.第（1）問(wèn)通過(guò)一個(gè)具體例子來(lái)認(rèn)知新定義的數(shù)列，第（2）問(wèn)探究一類(lèi)特殊的可分?jǐn)?shù)列，即（2，13）-可分?jǐn)?shù)列，第（3）問(wèn)本質(zhì)是求所有的可分?jǐn)?shù)列個(gè)數(shù).設(shè)問(wèn)是層層遞進(jìn)的，研究清楚前兩問(wèn)應(yīng)該對(duì)第三問(wèn)有促進(jìn)作用.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生有整體審題觀，先弄清楚問(wèn)題屬于哪一個(gè)類(lèi)型.如本題是研究可分?jǐn)?shù)列個(gè)數(shù)的，同時(shí)注意所求也是問(wèn)題的一部分，也需要作為審題的一部分，弄清楚所求與條件的基本關(guān)系以及設(shè)問(wèn)之間的邏輯關(guān)系，有助于我們整體把握問(wèn)題本身.

師：要想解決問(wèn)題，什么是核心？

生：理解清楚“（i，j）-可分?jǐn)?shù)列”的特征，研究其背后的性質(zhì).

2.2 初步探究

師：可以得到哪些“（i，j）-可分?jǐn)?shù)列”的性質(zhì)？

生：首先可以簡(jiǎn)化一下問(wèn)題，不妨設(shè)an=n，這是因?yàn)楣畈粸?的等差數(shù)列具有性質(zhì)：aik為等差數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)ik是等差數(shù)列.

師：很好，把數(shù)列變成我們更熟悉的正整數(shù)數(shù)列，更有利于去發(fā)現(xiàn)“（i，j）-可分?jǐn)?shù)列”的性質(zhì).

生：數(shù)列1，2，3，…，4m，4m+1，4m+2顯然是（1，2）-，（4m+1，4m+2）-，（1，4m+2）-可分的.

生：數(shù)列1，2，3，…，4m，4m+1，4m+2也是

（4s+1，4s+2）-，0≤s≤m可分的.

師：根據(jù)定義直接觀察就發(fā)現(xiàn)上面幾種平凡的可分?jǐn)?shù)列，這實(shí)際上就是第一問(wèn)讓我們寫(xiě)出來(lái)的類(lèi)型.能否發(fā)現(xiàn)一些不平凡的可分?jǐn)?shù)列類(lèi)型呢？

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)于要研究的問(wèn)題先從最簡(jiǎn)單的角度去思考，得到一些平凡的結(jié)果，既能增強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題的信心，也可以為問(wèn)題的解決提供基本的結(jié)果.關(guān)注設(shè)問(wèn)，其也作為理解問(wèn)題的一個(gè)方面，能給我們提供一些啟示.

師：大家可以從m=2出發(fā)去研究一下.

生：當(dāng)m=2時(shí)可以得到1，2，3，…，8，9，10去掉2，9，剩余的項(xiàng)可以組成2組公差為2的等差數(shù)列，即1，3，5，7;4，6，8，10，故數(shù)列1，2，3，…，8，9，10是（2，9）-可分的.

生：當(dāng)m=3時(shí)，1，2，3，…，12，13，14去掉2，13不能組成3組公差為2的等差數(shù)列，這是怎么回事？

生：應(yīng)該是構(gòu)成3組公差為3的等差數(shù)列，即1，4，7，10;3，6，9，12;5，8，11，14.

師：我們能否將這個(gè)結(jié)論推廣呢？

生：推廣為“數(shù)列1，2，3，…，4m，4m+1，4m+2是（2，4m+1）-可分的”.

生：類(lèi)比上面的證明，分為m組，每組公差為m，即：

1，m+1，2m+1，3m+1；3，m+3，2m+3，3m+3；4，m+4，2m+4，3m+4；m，2m，3m，4m；m+2，2m+2，3m+2，4m+2.

師：很好，我們得到一類(lèi)不平凡的可分?jǐn)?shù)列.

設(shè)計(jì)意圖 類(lèi)比推理及證明是我們解決新定義問(wèn)題的一個(gè)重要手段，由特殊到一般，由具體到抽象，大膽猜測(cè)，小心求證.重視設(shè)問(wèn)中要證明的結(jié)果，為我們的研究與發(fā)現(xiàn)提供方向.

2.3 擬訂方案

師：還有其他類(lèi)型的可分?jǐn)?shù)列嗎？

生：我還發(fā)現(xiàn)一類(lèi)，數(shù)列1，2，3，…，4m，4m+1，4m+2是（4s+1，4t+2）-可分的，其中0≤slt;t≤m.

師：怎樣分類(lèi)才能得到所有的可分?jǐn)?shù)列呢？師：能否從第三問(wèn)得到啟示呢？

生：題目只要證明不等式pmgt;18，我們可能不需要找出所有的可分?jǐn)?shù)列，由于從1，2，…，4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j（ilt;j），共有C24m+2=8m2+6m+1中取法，只要可分?jǐn)?shù)列個(gè)數(shù)多于18C24m+2=m2+18（6m+1）即可.

師：非常好，不要只顧去找所有的可分?jǐn)?shù)列，還要看所求，根據(jù)目標(biāo)及時(shí)調(diào)整方向.計(jì)算哪些類(lèi)型的可分?jǐn)?shù)列使得其個(gè)數(shù)多于18C24m+2=m2+18（6m+1）呢？

師：回顧一下高中我們學(xué)習(xí)過(guò)的常見(jiàn)計(jì)數(shù)方法.

生：枚舉法、排列組合、遞推法、對(duì)應(yīng)法.

生：這是一個(gè)正整數(shù)問(wèn)題，可以考慮使用遞推方法.

師：很好，大家嘗試一下.

生：設(shè)f（m）表示“使得數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）-可分的（i，j）個(gè)數(shù)”，則f（m+1）表示“使得數(shù)列a1，a2，…，a4m+6是（i，j）-可分的（i，j）個(gè)數(shù)”，發(fā)現(xiàn)數(shù)列a1，a2，…，a4m+6可以看成a1，a2，…，a4m+2和a5，a6，…，a4m+6的并，公共部分為a5，a6，…，a4m+2，這樣可分?jǐn)?shù)列的（i，j）包含1≤ilt;j≤4m+2或5≤ilt;j≤4m+6或1≤i≤4，4m+2≤j≤4m+6，可以建立遞推關(guān)系.

師：能否用數(shù)學(xué)符號(hào)嚴(yán)謹(jǐn)表示出建立遞推關(guān)系的過(guò)程呢？

生：記

A={（i，j）|a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分的且1≤ilt;j≤4m+2}；

B={（i，j）|a5，a6，…，a4m+6是（i，j）可分的且5≤ilt;j≤4m+6}；

C={（i，j）|a5，a6，…，a4m+2是（i，j）可分的且5≤ilt;j≤4m+2}；

D={（i，j）|a1，a2，…，a4m+6是（i，j）可分的且1≤i≤4，4m+2≤j≤4m+6}；

E={（i，j）|a1，a2，…，a4m+6是（i，j）可分的且1≤ilt;j≤4m+6}，

所以|E|=|A|+|B|-|C|+|D|，其中X表示集合X的元素個(gè)數(shù).

則f（m+1）=2f（m）-f（m-1）+|D|，即f（m+1）-f（m）=f（m）-f（m-1）+|D|，其中m≥2.

生：D隨著m的變化而變化，不方便計(jì)算.

生：我們只需尋找D的一個(gè)下界（常數(shù)），上面的遞推關(guān)系就可以求通項(xiàng)公式.

師：這個(gè)下界究竟選取多少合適呢？

生：可以根據(jù)目標(biāo)待定出來(lái).

生：不妨設(shè)下界為λ，由f（m+1）-f（m）≥f（m）-f（m-1）+λ，知

f（m）-f（1）≥（m-1）·［（f（2）-f（1）］+（m-2）（m-1）2λ.

故f（m）≥（m-1）（m-2）2λ+（m-1）［f（2）-f（1）］+f（1），要使f（m）gt;18C24m+2=m2+18（6m+1），則λ≥2.

生：根據(jù)第（1）（2）問(wèn)研究的結(jié)果，（1，4m+6），（2，4m+5）∈D，即|D|≥2，也就是λ≥2.

師：非常好，f（m）的下界具體是多少呢？

生：由第（1）問(wèn)知f（1）=3，a1，a2，…，a10是（1，2）-，（1，6）-，（5，10）-，（9，10）-，（5，6）-，（1，10）-，（2，9）-可分的，故f（2）=7.所以f（2）-

f（1）=4.這樣f（m）≥（m-1）（m-2）+4（m-1）+

3=m2+m+1.

所以f（m）gt;m2+18（6m+1）.

師：非常棒，至此我們完整解決了此題，請(qǐng)同學(xué)們將上述分析過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)書(shū)寫(xiě)出來(lái).

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)于D下界的確定采用待定系數(shù)法，逐步引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題.本方案借鑒學(xué)生在高考考場(chǎng)中的做法，站在學(xué)生的認(rèn)知與能力角度，逐步深入體會(huì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的樂(lè)趣.

3 結(jié)束語(yǔ)

教師應(yīng)

基于理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生的角度進(jìn)行理解教學(xué)，特別強(qiáng)調(diào)立足于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”和考場(chǎng)生成能力，學(xué)會(huì)研究新問(wèn)題的方法與思想，用學(xué)生的眼光對(duì)待數(shù)學(xué)教學(xué)，向?qū)W生有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想和方法.在教學(xué)中應(yīng)教會(huì)學(xué)生思考這類(lèi)問(wèn)題的思考方式，教會(huì)學(xué)生在面臨一道創(chuàng)新題時(shí)，要立足“新定義”去動(dòng)手實(shí)踐，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、發(fā)現(xiàn)，從特殊的情形去體會(huì)，與學(xué)生的已有知識(shí)體系關(guān)聯(lián)，在此基礎(chǔ)上大膽猜測(cè)、小心求證，最終培養(yǎng)學(xué)生“實(shí)踐—發(fā)現(xiàn)—證明”的數(shù)學(xué)思維.

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十大論題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬）.2010（3）：2-5，11.

［責(zé)任編輯：李 璟］