摘" 要：函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的核心概念，其圖象與性質(zhì)在解決數(shù)學(xué)問題的過程中具有重要作用．在面對(duì)新定義函數(shù)時(shí)，遷移已有的函數(shù)知識(shí)和方法能夠有效提高問題解決效率．基于此，文章詳細(xì)闡述如何巧用遷移法探究新定義函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過實(shí)例分析，展示遷移法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用價(jià)值.

關(guān)鍵詞：遷移法；新定義函數(shù)；圖象；性質(zhì)

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）35-0050-03

收稿日期：2024-09-15

作者簡(jiǎn)介：施建兵（1968.2—），男，江蘇省南通人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

函數(shù)是數(shù)學(xué)中描述客觀世界變化規(guī)律的重要工具，其圖象和性質(zhì)反映了函數(shù)的內(nèi)在特征．隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，初中學(xué)生會(huì)不斷遇到各種新定義函數(shù)．對(duì)于這些新函數(shù)，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用遷移法探究其圖象與性質(zhì)．知識(shí)遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響，即將已有的知識(shí)、技能、方法等應(yīng)用到新的情境中，解決新問題．遷移法提供了一種有效的問題解決途徑，借助遷移法，教師可指導(dǎo)學(xué)生將已熟悉的函數(shù)知識(shí)和研究方法，應(yīng)用到新定義函數(shù)的探究中，從而降低學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)習(xí)效率［1］．

1" 新定義函數(shù)的概念和特點(diǎn)

1.1" 新定義函數(shù)的概念

顧名思義，新定義函數(shù)是相對(duì)于學(xué)生已經(jīng)熟悉的函數(shù)而言的，它是在特定的數(shù)學(xué)情境或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的具有獨(dú)特形式和性質(zhì)的函數(shù).新定義函數(shù)的出現(xiàn)，往往是描述某些復(fù)雜的現(xiàn)象或關(guān)系的需要.

1.2" 新定義函數(shù)的特點(diǎn)

新定義函數(shù)的一個(gè)顯著特點(diǎn)是其形式的創(chuàng)新性，它可能打破了傳統(tǒng)函數(shù)的常見模式，引入了新的運(yùn)算、變量組合或參數(shù)，這使得學(xué)生在研究和理解它時(shí)需要跳出固有的思維框架．另一個(gè)特點(diǎn)是其應(yīng)用的針對(duì)性．新定義函數(shù)通常是為了解決特定領(lǐng)域的具體問題而被定義的，因此在該領(lǐng)域中具有獨(dú)特的價(jià)值和意義．新定義函數(shù)的性質(zhì)也可能與常規(guī)函數(shù)有所不同．在面對(duì)新定義函數(shù)時(shí)，不能僅僅依賴于以往的經(jīng)驗(yàn)和方法，而要勇于嘗試新的數(shù)學(xué)工具和技巧．通過深入分析、推導(dǎo)和計(jì)算，逐步揭示其隱藏的規(guī)律和特點(diǎn)．新定義函數(shù)是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要推動(dòng)力，它不僅豐富了數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，也為解決現(xiàn)實(shí)世界中的復(fù)雜問題提供了更多可能．學(xué)生應(yīng)當(dāng)

積極認(rèn)識(shí)和研究新定義函數(shù)，不斷提高問題解決能力.

2" 遷移二次函數(shù)知識(shí)研究“鵲橋”函數(shù)

例1" 我們定義一種新函數(shù)：形如y=ax2+bx+c（a≠0，b2-4acgt;0）的函數(shù)叫作“鵲橋”函數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組畫出一個(gè)“鵲橋”函數(shù)y=x2+bx+c的圖象如圖1所示，則下列結(jié)論正確的是（" ）

A．bclt;0""" B．c=3

C．當(dāng)直線y=x+m與該圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則m=1

D．關(guān)于x的方程x2+bx+c=3的所有實(shí)數(shù)根的和為4

解析" 因?yàn)椋?1，0），（3，0）是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，所以1-b+c=0，9+3b+c=0，解得b=-2，c=-3.從而可得bc=（-2）×（-3）=6gt;0，故A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖2，當(dāng)直線y=x+m與該圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該有2條直線，故C錯(cuò)誤；關(guān)于x的方程x2+bx+c=3，即x2-2x-3=3或x2-2x-3=-3，當(dāng)x2-2x-3=3時(shí)，x1+x2=2，當(dāng)x2-2x-3=-3時(shí)，x3+x4=2，所以關(guān)于x的方程x2+bx+c=3的所有實(shí)數(shù)根的和為2+2=4，故D正確．

點(diǎn)評(píng)" 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用、新定義函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解題的關(guān)鍵［2］.與研究一般函數(shù)的方法一樣，這里利用了待定系數(shù)法求得b、c的值即可判斷A、B錯(cuò)誤；利用數(shù)形結(jié)合的思想，由圖象可判斷C錯(cuò)誤；由題意可得x2-2x-3=3或x2-2x-3=-3，利用根與系數(shù)的關(guān)系可判斷D正確．

3" 遷移一次函數(shù)知識(shí)研究其“衍生”函數(shù)

例2" 定義：對(duì)于給定的一次函數(shù)y=ax+b（a≠0），把形如y=ax+b（x≥0），-ax+b（xlt;0）的函數(shù)稱為一次函數(shù)y=ax+b的衍生函數(shù)．

（1）已知函數(shù)y=x+1，若點(diǎn)P（1，b1），Q（-2，b2）在這個(gè)一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象上，則b1=，b2=．

（2）已知矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，0），B（1，2），C（-3，2），D（-3，0），當(dāng)函數(shù)y=kx-3（kgt;0）的衍生函數(shù)的圖象與矩形ABCD有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)k=.當(dāng)函數(shù)y=kx-3（kgt;0））的衍生函數(shù)的圖象與矩形ABCD有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出k的取值范圍.

（3）已知點(diǎn)E（0，t），以O(shè)E為一條對(duì)角線作正方形OMEN，當(dāng)正方形OMEN與一次函數(shù)y=2x-2的衍生函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍.

解析" （1）由題意可知，函數(shù)y=x+1的衍生函數(shù)為y=x+1（x≥0），-x+1（xlt;0），因?yàn)辄c(diǎn)P（1，b1），Q（-2，b2）在這個(gè)一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象上，所以b1=1+1=2，b2=-（-2）+1=3．

（2）由題意可知，函數(shù)y=kx-3（kgt;0）的衍生函數(shù)為y=kx-3（x≥0），-kx-3（xlt;0）.當(dāng)函數(shù)y=-kx-3（kgt;0）的衍生函數(shù)的圖象與矩形ABCD有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，圖象如圖3所示，此時(shí)y=-kx-3過點(diǎn)（-3，0），解得k=1.

當(dāng)點(diǎn)D在衍生函數(shù)y=-kx-3（klt;0）上時(shí)，k取最小值，0=3k-3，解得k=1.當(dāng)點(diǎn)A在衍生函數(shù)y=kx-3（kgt;0）上時(shí)，k取最大值，0=k-3，解得

k=3.當(dāng)函數(shù)y=kx-3（kgt;0））的衍生函數(shù)的圖象與矩形ABCD有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，圖象如圖4所示，k的取值范圍是1lt;klt;3．

（3）一次函數(shù)y=2x-2的衍生函數(shù)為y=2x-2（x≥0），-2x-2（xlt;0）.當(dāng)E在y軸正半軸上時(shí)，圖象如圖5所示.因?yàn)樗倪呅蜲MEN是正方形，所以O(shè)N與x軸正半軸的夾角為45°，所以直線ON的表達(dá)式為y=x，由y=2x-2，y=x，得x=2，y=2.由此可知N（2，2），M（-2，2），所以MN=4，OE=4，E（0，4），t=4.

當(dāng)E在y軸負(fù)半軸上，圖象如圖6所示.因?yàn)樗倪呅蜲MEN是正方形，所以O(shè)M與x軸正半軸的夾角為45°，所以直線OM的表達(dá)式為y=-x，聯(lián)立方程組y=2x-2，y=-x，解得x=23，y=-23.從而M（23，-23），N（-23，-23），所以MN=43，OE=43 ，t=-43.

如圖7所示，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-2）時(shí)，正方形OMEN與一次函數(shù)y=2x-2的衍生函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以tlt;-2．

故t的取值范圍是t=4或 t=-43或tlt;-2．

點(diǎn)評(píng)" 本題主要考查新定義函數(shù)，利用點(diǎn)與分段函數(shù)的關(guān)系即可求得函數(shù)值，利用其與矩形、正方形交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可確定待定系數(shù)的取值范圍.分類討論、構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．本題第（1）問中，根據(jù)衍生函數(shù)的定義求解即可.本題第（2）問中，根據(jù)題意求出y=kx-3（kgt;0）的衍生函數(shù)，畫出圖形即可求出答案；根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng)點(diǎn)D在衍生函數(shù)y=-kx-3（klt;0）上時(shí)k取最小值，當(dāng)點(diǎn)A在衍生函數(shù)y=kx-3（kgt;0）上時(shí)k取最大值，求解即可.本題第（3）問中，分兩種情況討論：點(diǎn)E在y軸正半軸上、點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸上，分別畫出圖形，結(jié)合圖形求解即可．由此可見，這類看起來非常復(fù)雜的“陌生”函數(shù)依然需要借助已學(xué)過的函數(shù)知識(shí)和方法，通過知識(shí)和方法的合理遷移，才能夠解決這類問題．

4" 結(jié)束語(yǔ)

遷移法是探究新定義函數(shù)圖象與性質(zhì)的有效方法，它能夠幫助學(xué)生快速找到研究的切入點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)效率．在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)運(yùn)用遷移法解決問題，不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升分析問題解決問題的能力．同時(shí)，也要注意遷移技巧和注意事項(xiàng)，確保探究的準(zhǔn)確性和科學(xué)性．

參考文獻(xiàn)：［1］ 崔佳佳，王秀閣.在新函數(shù)的研究中促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移：以“二次型絕對(duì)值函數(shù)的圖象和性質(zhì)”研究為例［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2021（7）：27-30.

［2］ 蔣飛.把握研究規(guī)律促進(jìn)智慧生長(zhǎng)：“探究新函數(shù)圖象與性質(zhì)”教學(xué)及反思［J］.初中生世界，2022（40）：23-26.

［責(zé)任編輯：李" 璟］