摘 要：由磁場驅(qū)動電梯的實際問題出發(fā)，從微觀上探究了兩個洛倫茲力做的功及總功為零的原因，揭示了能量轉(zhuǎn)化的微觀機(jī)制；在地面參考系中從宏觀分析一對安培力和一對非靜電力所做的功，找出了它們的大小關(guān)系及能量的轉(zhuǎn)化過程，并對一些特殊情況進(jìn)行了剖析。

關(guān)鍵詞：安培力；洛倫茲力；微觀；宏觀；功；能量轉(zhuǎn)化

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）11-0066-3

１ 問題的提出

本地某校高三的一次?？贾谐霈F(xiàn)了這樣一道物理試題：

一種無繩電梯依靠電磁驅(qū)動原理運行，如圖１所示，質(zhì)量為ｍ、寬度為ｌ的電梯轎廂一端處于方向垂直轎廂平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為Ｂ的勻強(qiáng)磁場中。某次向上啟動電梯時，磁場以速度ｖ勻速向上移動，轎廂一端始終處于磁場區(qū)域內(nèi)，整個轎廂的電阻為Ｒ，重力加速度為ｇ，阻力不計，則下列說法正確的是（ ）

Ａ．轎廂向上做勻加速直線運動

Ｂ．轎廂向上運動的速度可能為v-

Ｃ．安培力對轎廂做的功大于轎廂機(jī)械能的增量

Ｄ．安培力對轎廂做的功可能小于回路中產(chǎn)生的熱量

考后，大家對Ａ、Ｂ選項都沒有異議，認(rèn)為Ａ選項錯誤，Ｂ選項正確，但是對Ｃ、Ｄ選項形成了不同的觀點，在當(dāng)?shù)氐闹袑W(xué)物理教師之間以及師生之間，甚至波及到大學(xué)教師之間，進(jìn)行了一場激烈的討論。一種觀點認(rèn)為，從能量轉(zhuǎn)化守恒的角度，轎廂受到向上的安培力做的功就應(yīng)等于回路產(chǎn)生的電能和轎廂增加的機(jī)械能，然后產(chǎn)生的電能在回路中再全部生1Vs+y/DBomemdGjTp0B9kKa8m4eQdgp+Q/kpxvkc95U=成熱能，因此應(yīng)選Ｃ選項。但另一種觀點認(rèn)為，從對轎廂用功能原理知，安培力的功就是除重力、彈力之外的其他力的功，就應(yīng)等于轎廂機(jī)械能的增量，因此不能選Ｃ選項，由于表達(dá)式不能確定數(shù)量的大小關(guān)系，因此應(yīng)選Ｄ選項。

這是一種平常見得較少的磁場運動的發(fā)電機(jī)模型。隨著討論的深入，可以發(fā)現(xiàn)大家對安培力的微觀、宏觀產(chǎn)生過程以及能量的轉(zhuǎn)化情況都或多或少存在過程不清或認(rèn)識不全面等問題，下面進(jìn)行詳細(xì)探究。

２ 微觀上洛倫茲力及其做功的分析

由于導(dǎo)體切割磁感線是相對于磁場而言的，或者洛倫茲力是帶電粒子相對磁場的運動而產(chǎn)生的，因此，以速度v向上勻速運動的磁場為參考系分析。如圖２所示，假設(shè)轎廂已被驅(qū)動，某時刻向上的速度設(shè)為v1，二者間的相對速度為v-v1。對轎廂上端處于磁場中的導(dǎo)體來說，為了分析方便，設(shè)其中的自由電荷為正電荷，電荷量為q，因為其相對于磁場向下以v-v1的速度運動，由左手定則知其受到向右的洛倫茲力f1=q（v-v1）B，其作為非靜電力推動自由電荷在導(dǎo)體中做定向移動形成感應(yīng)電流，產(chǎn)生電能。同時，自由電荷沿導(dǎo)體定向移動（設(shè)此時相對于磁場向右的速度為v2）在磁場中又將受洛倫茲力f2=qv2B，由左手定則知其方向豎直向上。

以向上運動的磁場為參考系，轎廂相對于磁場速度向下，大小為v-v1，該時刻兩個洛倫茲力的功率分別為

P1=f1v2=q（v-v1）Bv2

P2=-f2（v-v1）=-qv2B（v-v1）

故P1+P2=0?？梢?，洛倫茲力始終不做功，但兩個分力要做功。其中， f1做正功，是非靜電力做功，使回路中產(chǎn)生電能； f2做負(fù)功，阻礙轎廂相對于磁場的運動，使轎廂相對磁場的機(jī)械能減小。由于總功為零，說明是兩個洛倫茲力在微觀上實現(xiàn)兩種能量的等量轉(zhuǎn)化，這里是將轎廂相對磁場的機(jī)械能轉(zhuǎn)化成回路中的電能。

３ 宏觀上各力做功及能量轉(zhuǎn)化分析

從地面參考系來看，如圖３所示，該時刻，上面兩個洛倫茲力f1、f2在宏觀上可分別記為F=∑q（v-v）B，F(xiàn)=∑qvB（可以證明∑qvB=nSLqv2B=BIL，其中Ｓ、Ｌ為上端導(dǎo)體的橫截面積和長度，ｎ為單位體積的自由電荷數(shù)），磁場的反作用力分別為F'=∑q（v-v）B（水平向左），F(xiàn)'=∑qvB（豎直向下）。在該時刻各力的功率分別為：

P=Fv2=∑q（v-v）Bv2，表示回路中單位時間產(chǎn)生的電能；

P=Fv1=∑qvBv，表示轎廂在單位時間內(nèi)增加的機(jī)械能。

P'=F'vcos90°=0

P'=-F'v=-∑qvBv，表示運動的磁場裝置單位時間消耗的機(jī)械能。

由上可見，P+P=|P'|，或|P+P'|=P。

從地面參考系看，能量是由F'做負(fù)功將外界機(jī)械能轉(zhuǎn)化為轎廂通過F做功增加的機(jī)械能和通過非靜電力做功而產(chǎn)生的回路電能。也可以說是一對安培力的總功為負(fù)，阻礙磁場與轎廂之間的相對運動，其大小表示系統(tǒng)減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為回路中的電能，這與前面的兩個洛倫茲力做功的微觀機(jī)制相吻合。因此，前面題目中安培力對轎廂做的功只等于轎廂機(jī)械能的增量，其反作用力F'對磁場做的負(fù)功的大小才等于轎廂增加的機(jī)械能和回路增加的電能，所以Ｃ選項錯誤，由于P=∑q（v-v）Bv2與P=∑qvBv1的大小無法比較，故Ｄ選項正確。

４ 對其他情況的分析

該題中，如果安培力小于轎廂的重力，轎廂不動時，由于回路中自由電荷與磁場間有相對運動，仍將產(chǎn)生沿回路方向的洛倫茲力，并作為非靜電力在回路中產(chǎn)生電能。在圖３中，v1=0，F(xiàn)=F'=∑q（v-v）B=∑qvB，F(xiàn)=F'=∑qvB，在圖示時刻P=Fv2=∑qvBv，P=0，P'=0，P'=-F'v=

-∑qvBv?？梢?，通過F'做負(fù)功，將外界機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為通過非靜電力做正功在回路中產(chǎn)生的電能，安培力即使對轎廂不做功，但這一對安培力的總功的大小仍等于回路中產(chǎn)生的電能。

平常我們見得最多的問題是磁場不動，即在上圖中v=0。如圖4所示，外界拉力使閉合回路的部分導(dǎo)體在磁場中相對磁場運動，設(shè)速度仍為v1，則回路中的自由電荷受到的洛倫茲力方向向左，大小為f1=qv1B，此力作為非靜電力推動自由電荷在回路中做定向移動形成感應(yīng)電流。設(shè)某一時刻自由電荷定向移動的速度（下轉(zhuǎn)第71頁）（上接第67頁）為v2，這一相對磁場的運動又將產(chǎn)生一個方向豎直向下的洛倫茲力，其大小為f2=qv2B，這兩個力的宏觀力分別記為F=F'=∑qvB，F(xiàn)=F'=∑qvB，其中F'對磁場不做功，F(xiàn)'對磁場仍不做功，只有F和F兩個力做功，在該時刻這兩個力的功率分別為P=Fv2=∑qvBv2，P=-Fv1=-∑qvBv?？梢?，此時是通過F（而不是通過F'）做負(fù)功將運動導(dǎo)體的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為通過非靜電力做正功在回路中產(chǎn)生的電能。

５ 結(jié) 語

綜上所述，不管是磁場運動還是回路中部分導(dǎo)體運動或者是二者都運動，在沒有外界供電的發(fā)電機(jī)模型中，只要磁場與導(dǎo)體間有相對運動，導(dǎo)體中的自由電荷一定會受到一個洛倫茲力來推動其沿導(dǎo)體定向移動形成感應(yīng)電流，由于導(dǎo)體中自由電荷相對磁場的定向移動，又將受到另一個洛倫茲力去阻礙導(dǎo)體與磁場間的相對運動，兩個洛倫茲力的總功一定為零，表示通過這兩個力做功實現(xiàn)能量的等量轉(zhuǎn)化。這兩個洛倫茲力都是磁場作用在自由電荷上的，其反作用力作用在磁場上，在宏觀上表現(xiàn)為磁場與導(dǎo)體間存在一對非靜電力和一對安培力，由于磁場與導(dǎo)體間有相對運動，使一對非靜電力的總功為正，其大小等于導(dǎo)體回路中產(chǎn)生的電能，一對安培力的總功為負(fù)，其大小等于因阻礙導(dǎo)體與磁場之間的相對運動而導(dǎo)致系統(tǒng)減少的機(jī)械能，從等量轉(zhuǎn)化的微觀機(jī)制可知，系統(tǒng)機(jī)械能的減少量一定等于回路產(chǎn)生的電能。

參考文獻(xiàn)：

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（欄目編輯 蔣小平）