摘 要:以2024年湖北高考物理第10題為例,通過對(duì)試題的分析,從動(dòng)量與能量觀念、圖像法、柯尼希定理、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理等多種解法出發(fā),評(píng)析解法,研究高考,并對(duì)試題進(jìn)行溯源式拓展,探討其中的物理教育價(jià)值,嘗試建立處理此類模型的方法體系,以期提升學(xué)生基于高觀點(diǎn)理念下的中學(xué)物理問題的解決能力。
關(guān)鍵詞:滑塊-木板模型;一題多解;溯源拓展;高觀點(diǎn)
中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1003-6148(2024)11-0041-5
2024年湖北省高考物理第10題是力學(xué)綜合題。試題以滑塊-木板模型為情境載體,通過對(duì)模型中典型的極值問題進(jìn)行命題。題目著重考查學(xué)生的運(yùn)動(dòng)與相互作用觀念、守恒觀念,考查其推理演繹等科學(xué)思維,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的關(guān)鍵能力。試題綜合度高,難度較大。從不同思考角度分析試題有多種解法,有很好的區(qū)分度。本文從不同視角出發(fā)進(jìn)行分析,如運(yùn)用動(dòng)量與能量觀念,運(yùn)用圖像法定量分析,同時(shí)考慮柯尼希定理、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理等多種思維角度處理此題,尤其是基于高觀點(diǎn)理念下的中學(xué)物理問題解決方法,能有效提升學(xué)生的多種學(xué)科素養(yǎng),同時(shí)對(duì)試題進(jìn)行溯源式拓展,嘗試建立處理此類模型的方法體系。
1 原題呈現(xiàn)
(2024年湖北省高考物理第10題) 如圖1所示,在光滑水平面上靜止放置一質(zhì)量為M、長為L的木塊,質(zhì)量為m的子彈水平射入木塊。設(shè)子彈在木塊內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中受到的阻力不變,其大小f與射入初速度大小v0成正比,即f=kv0(k為已知常數(shù))。改變子彈的初速度大小v0,若木塊獲得的速度最大,則( )
A.子彈的初速度大小為
B.子彈在木塊中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
C.木塊和子彈損失的總動(dòng)能為
D.木塊在加速過程中運(yùn)動(dòng)的距離為
2 試題多解探討
2.1 解法1:基本方法——基于動(dòng)量和能量的觀念
解法展示:子彈和木塊相互作用過程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒。設(shè)子彈穿出木塊后,子彈和木塊的速度分別為v1、v2,則有mv0=mv1+Mv2。根據(jù)能量守恒定律,則有-fL=。
根據(jù)題目條件f=kv0,聯(lián)立上式可得v2=,繪制圖像如圖2所示,根據(jù)圖像可知v2隨v0單調(diào)遞減。在定義域內(nèi),當(dāng)v0=2(+L=2,木塊的速度最大,所以A選項(xiàng)正確。則子彈穿過木塊時(shí)木塊的速度為v2=。
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v2=a2t,可得t=,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤。由能量守恒可得子彈和木塊損失的能量轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)摩擦生熱,即ΔE=Q=fL=,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤。木塊加速過程運(yùn)動(dòng)的距離為x2=t=,故D選項(xiàng)正確。故本題正確選項(xiàng)為A、D。
解法評(píng)析:本解法采用動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律,定量解出木塊速度的表達(dá)式。然后,通過函數(shù)圖像分析方法求出木塊速度最大值對(duì)應(yīng)的子彈初速度的初始條件,得出A選項(xiàng)。進(jìn)一步推理演繹,判斷另外三個(gè)選項(xiàng)。本解法屬于解決滑塊-木板模型的常規(guī)解法,運(yùn)用運(yùn)動(dòng)與相互作用觀念、守恒觀念,通過科學(xué)推理、數(shù)學(xué)函數(shù)分析得出正確答案。但是,此方法運(yùn)算量很大,花費(fèi)時(shí)間長,不是考場(chǎng)上的最優(yōu)解法。
2.2 解法2:物理臨界法
解法展示:對(duì)子彈和木塊系統(tǒng),在相互作用過程中動(dòng)量守恒,假設(shè)子彈未穿出木塊,則有mv0=(M+m)v,木塊的速度為:v=。設(shè)子彈相對(duì)木塊移動(dòng)的距離為d,根據(jù)能量守恒定律,子彈在木塊中運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的內(nèi)能Q==fd。根據(jù)題目條件f=kv0,綜合推理可得=kv0d,數(shù)學(xué)化簡得出v0=kd。據(jù)此容易推出,d越大,v0越大,當(dāng)d=L時(shí),v0=達(dá)到最大,此時(shí)木塊速度v=最大,故A選項(xiàng)正確。以此為切入點(diǎn),推理得出本題正確選項(xiàng)為A、D。
解法評(píng)析:此解法運(yùn)用動(dòng)量守恒定律建立方程,分析得出當(dāng)二者共速時(shí)木塊速度最大。再根據(jù)能量守恒定律建立子彈在木塊中移動(dòng)的距離d和子彈初速度的關(guān)聯(lián)。代入題給信息(f=kv0),經(jīng)數(shù)學(xué)處理得出,當(dāng)d=L時(shí),若子彈剛要穿出木塊,恰好達(dá)到共速,從而確定A選項(xiàng)正確。此種方法運(yùn)用物理臨界條件處理問題尋找極值,簡化了數(shù)學(xué)運(yùn)算過程,提高了做題速度。此種方法是在假設(shè)子彈沒有射出木塊的前提下推導(dǎo)的,事實(shí)上通過計(jì)算也可以得出當(dāng)子彈穿過木塊時(shí)該結(jié)論仍然成立。
2.3 解法3:圖像法
解法展示:分情境討論。
情境1:若子彈沒有穿出木塊,設(shè)子彈在木塊中運(yùn)動(dòng)的距離為d,子彈和木塊的v-t圖像如圖3所示,由圖像可知d=。子彈和木塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒,得mv0=(M+m)v。以木塊為研究對(duì)象,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律f=kv0=Ma。木塊做勻變速直線運(yùn)動(dòng),經(jīng)時(shí)間t0二者達(dá)到共速,v=at0。綜合上述各式得d=,v=。分析可知,當(dāng)d越大,v0越大,v越大。所以,當(dāng)d=L時(shí),木塊速度最大,此時(shí)v0=,故A選項(xiàng)正確,問題得以突破。
情境2:若子彈可以從木塊中射出,子彈和木塊的v-t圖像如圖4所示,根據(jù)v-t圖像可得L=t0。以木塊為研究對(duì)象,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律f=kv0=Ma2,木塊做勻變速直線運(yùn)動(dòng),經(jīng)時(shí)間t0,木塊的速度為v2=a2t0。以子彈為研究對(duì)象,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律f=kv0=ma1,子彈做勻變速直線運(yùn)動(dòng),經(jīng)時(shí)間t0子彈的速度為v1=v0-a1t0,綜合以上各式,可得(M+m)v-2mvv+=0。則v=,分析可得,當(dāng)v=2(+)L=2時(shí),木塊的速度最大,故A選項(xiàng)正確,問題得以突破。
解法評(píng)析:圖像法是解決滑塊-木板模型的常用方法。圖像法相比代數(shù)推導(dǎo)更直觀,同時(shí)圖像能夠展示滑塊-木板模型中多物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程,更容易找到物體間位移與速度的關(guān)系,判斷臨界條件,比解法2更科學(xué),而且有化繁為簡、直觀可視的效果。
2.4 解法4:柯尼希定理
解題依據(jù)的論證建模:質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于質(zhì)心的動(dòng)能加上質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系的動(dòng)能,稱為柯尼希定理[1]。對(duì)子彈和木塊系統(tǒng),外力矢量和為零,質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能不變。在內(nèi)力做功下質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能增量由柯尼希定理分析易得,即等于相對(duì)動(dòng)能的增量。
解法展示:對(duì)子彈和木塊系統(tǒng)在相互作用過程中動(dòng)量守恒,設(shè)子彈和木塊的速度分別為v1、v2,則有mv0=mv1+Mv2。根據(jù)柯尼希定理,系統(tǒng)動(dòng)能變化量ΔEkr=(v-v)2-v=
-kv0d,然后分情境討論。
情境1:子彈未穿出木塊,即d≤L,則v1=v2,可得v=,v=kvd。
分析可知:當(dāng)d=L時(shí),木塊速度最大,此時(shí)v0=。
情境2:若子彈穿出木塊ΔEkr=(v-v)2-v=(-v2)2-
v=-kv0L
化簡后得v=
得出的結(jié)論與方法1一致。故A選項(xiàng)正確,問題突破。
解法評(píng)析:柯尼希定理是理論力學(xué)中的一個(gè)重要定理,通常用于解決多物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題,尤其是兩體問題。利用柯尼希定理,能夠很快地找到木塊速度的表達(dá)式,再利用函數(shù)分析求出對(duì)應(yīng)的極值,屬于基于高觀點(diǎn)處理中學(xué)物理問題的方法。物理學(xué)意義上的高觀點(diǎn)指的是一切物理觀念、科學(xué)思維、現(xiàn)代教育學(xué)理論、認(rèn)知心理學(xué)知識(shí)和物理教育學(xué)的基本理論?!案哂^點(diǎn)”下的物理問題,是指與大學(xué)物理甚至理論物理相聯(lián)系的高中物理問題或者說含有大學(xué)物理背景或思想的中學(xué)物理問題[2]。這種處理方式,可以開拓學(xué)生視野,提升學(xué)習(xí)的上位意識(shí),讓學(xué)生站在更好的角度去看待中學(xué)物理問題。
2.5 解法5: 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理
解題依據(jù)的論證建模:如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心原來是運(yùn)動(dòng)的,那么在無外力作用的條件下,它的質(zhì)心將以原來的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)[3],此為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的推論。
解法展示:質(zhì)心速度為vc=,系統(tǒng)外力為0,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的推論,整個(gè)過程中質(zhì)心速度vc不變,則子彈的速度v1越小,木塊速度v2就越大。由于子彈和木塊的相互作用,子彈做減速運(yùn)動(dòng),木塊做加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)二者速度相等時(shí),木塊的速度最大,即木塊的最大速度v2=。再根據(jù)能量守恒定律,有Q=v=fd。所以當(dāng)d=L時(shí),木塊速度最大,此時(shí)v0=,故A選項(xiàng)正確,問題得以突破。
解法評(píng)析:利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,能夠迅速找到木塊速度的最大值對(duì)應(yīng)的臨界條件,可以在一個(gè)較短時(shí)間內(nèi)解出答案,體現(xiàn)出基于高觀點(diǎn)處理中學(xué)物理問題的方法的強(qiáng)大優(yōu)勢(shì)。
3?; 試題溯源式拓展
3.1 拓展試題[3]呈現(xiàn)
質(zhì)量為m1的小墊圈放在質(zhì)量為m2的長板左端,板上涂有潤滑油(圖5)。墊圈與板之間的摩擦是黏性的(作用在墊圈上的摩擦力f=-αv,式中v為墊圈相對(duì)板的速度)。系統(tǒng)位于光滑的水平面上,使墊圈以初速度v0向右運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過足夠長的時(shí)間,墊圈和板將達(dá)到多大的速度?求墊圈離開板左端的距離L。
3.2 試題解析[3]
設(shè)墊圈和板的速度分別為v1和v2,那么u=v1-v2表示它們的相對(duì)速度,求。根據(jù)牛頓第二定律,m1=-α(v1-v2),m2=+α(v1-v2)。由此得到=-α(+)u=-,式中=,=(+)。恒量τ具有時(shí)間量綱,μ具有質(zhì)量量綱。由此可見,相對(duì)速度u的變化規(guī)律,如同質(zhì)量為μ的質(zhì)點(diǎn)在阻力為αu的黏性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)速度的變化規(guī)律。該質(zhì)點(diǎn)的速度隨著時(shí)間減慢,穩(wěn)定速度值u將等于0,即墊圈和板的速度變?yōu)橄嗤?。根?jù)動(dòng)量守恒定律:m1v0=(m1+m2)v??傻胿=。用r表示連接墊圈和板左端的矢量,因?yàn)閡=,故Δr=uΔt=-τΔu。當(dāng)速度u從v0變化到0時(shí)(Δu=-v0),墊圈與板左端的距離變化Δr=v0τ。由此可見,在穩(wěn)定條件下,墊圈和板將以速度v=運(yùn)動(dòng),墊圈遠(yuǎn)離板左端的距離為L=v0τ=v0=·,試題得解。
3.3 拓展評(píng)析
本題運(yùn)動(dòng)情境和湖北高考物理第10題高度相似,尤其是墊圈與板之間摩擦的特性以及問題的設(shè)計(jì)(都聚焦于臨界極值),故為同源試題,此為溯源。本題墊圈與板之間摩擦的特性中指出u是相對(duì)速度,較之更真實(shí)科學(xué)。解答上使用到了微分方程,是基于高觀點(diǎn)的理念,是為拓展。本題也可以通過高考試題解法求解。
4 教學(xué)啟示
滑塊-木板模型是中學(xué)物理中的常見模型,是很好的教學(xué)問題情境。其從必修一的摩擦力教學(xué)中開始出現(xiàn),經(jīng)歷牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律單元的功能原理,再到動(dòng)量守恒定律單元,甚至再到電場(chǎng)、磁場(chǎng)中復(fù)合疊加場(chǎng)問題。滑塊-木板模型問題是高考中的??停芏鄷r(shí)候以選擇題、計(jì)算題的壓軸身份出現(xiàn)。這啟示我們重視這一模型,以歷屆高考真題、教材、生產(chǎn)生活中的原型為情境,建立滑塊-木板模型問題情境體系,培養(yǎng)學(xué)生的建模能力、多題歸一的概括能力和總結(jié)習(xí)慣以及建立體系(知識(shí)結(jié)構(gòu)體系、模型情境體系)的高階思維能力。
知識(shí)結(jié)構(gòu)體系、模型情境體系中必然有思維方法體系,我們可以嘗試建立方法體系。首先,涉及到的規(guī)律主要有:動(dòng)力學(xué)規(guī)律——兩物體的加速度大小與質(zhì)量成反比,方向相反,運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律——是兩個(gè)做勻變速運(yùn)動(dòng)物體的追及問題或是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題,動(dòng)量規(guī)律——系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒,能量規(guī)律——單體動(dòng)能定理,系統(tǒng)功能原理還可用圖像描述。在大學(xué)專業(yè)物理中涉及到的主要規(guī)律有:質(zhì)點(diǎn)系牛頓第二定律、質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)定理、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理等,建構(gòu)方法體系如圖6所示。
中學(xué)物理階段,滑動(dòng)摩擦因數(shù)當(dāng)定值處理。湖北高考物理第10題和溯源拓展試題中滑動(dòng)摩擦因數(shù)均為變量,由恒到變,由單質(zhì)點(diǎn)、兩質(zhì)點(diǎn)到多質(zhì)點(diǎn)系是中學(xué)物理到大學(xué)物理的過渡。其實(shí),我們將大學(xué)物理與高中物理銜接緊密的部分原理、定理,以中學(xué)生可接受的方式滲透給學(xué)生,拓展視野,培養(yǎng)高觀點(diǎn)理念,以高階思維方式和強(qiáng)化問題意識(shí)、進(jìn)階意識(shí),期望學(xué)生能獲得高位視角、核心思維和關(guān)鍵能力。這也未嘗不是一件很有意義的教學(xué)探索。
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(欄目編輯 陳 潔)