摘 要：不動產(chǎn)宗地界址的恢復可簡化為根據(jù)四邊形的面積和邊長確定其對角線長度的問題。本文通過研究四邊形對角線長與面積間的關系，建立了求解四邊形對角線長的算法模型。在四邊形四個邊長和面積固定的約束條件下，經(jīng)迭代計算求解對角線長度。根據(jù)已知界址點的坐標用距離交會法計算四邊形的兩個待定點坐標，從而恢復宗地界址。

關鍵詞：宗地界址恢復；四邊形對角線長與面積關系；弦截迭代公式；距離交會

中圖分類號：P 20" 文獻標志碼：A

許多老舊的宗地圖受當時測繪技術條件的限制，只有邊長和面積，沒有坐標，也沒有可參照的地形地物。在新的不動產(chǎn)登記調(diào)查作業(yè)中，要恢復其形狀和界址點坐標的同時，還要保證面積邊長不變，手工調(diào)整難度很大。

任何形狀的宗地在大致確定各界址點位置后，均可將該宗地證載面積減去其他不可調(diào)整的固定部分面積后的剩余面積，歸算到一個四邊形上。在保證四邊形四個邊長一定，面積等于宗地剩余面積的約束條件下，通過迭代計算四邊形對角線長，從而將不穩(wěn)定的四邊形變?yōu)閮蓚€共邊的穩(wěn)定三角形，這樣就穩(wěn)定了該四邊形的形狀。根據(jù)四邊形與宗地其他部分的兩個銜接點坐標，按照距離交會法可以計算其他兩個頂點的坐標，從而恢復老宗地圖的界址點。

1 四邊形對角線長與面積關系

四邊形是一個不穩(wěn)定的圖形，邊長一定的四邊形其面積是無法固定的。固定四邊形的一條對角線后，四邊形就成了兩個共邊的穩(wěn)定三角形，四邊形也變得穩(wěn)定且具有唯一的固定的面積。

圖1為典型四邊形，根據(jù)海倫公式可以求出三角形123和三角形134的面積，這兩個三角形的面積之和便是該四邊形的面積，于是便得出四邊形的面積S與對角線長度d的函數(shù)關系，如公式（1）和公式（2）所示。

（1）

（2）

2 求解角線長度

當四邊形的面積一定時，公式（1）或公式（2）可求出對角線長度d或f。由于公式（1）和公式（2）不是線性方程，因此無法直接求解，須采用迭代法進行計算。

2.1 對角線長度的取值范圍及面積極值

在圖1中，設1、2頂點是固定的已知點，3、4頂點為待定點。當壓縮或拉伸對角線d時，面積S也將隨之變小或變大。

2.1.1 對角線長度的最小值

在圖1的基礎上，使頂點3向頂點1靠近，不斷縮短d。受4個固定邊長的約束，凸四邊形將會壓縮為凹四邊形，面積逐漸變小，較短的邊會向里折疊，最終有2條邊折疊在一條直線上，此時的圖形為一個小三角形加一段回頭線，d壓縮至最小（圖2）。

d的最小值dmin如公式（3）所示。

dmin=max（|d1-d2|，|d3-d4|）" " " " " " " " " " " " "（3）

式中：max（）為取最大值函數(shù)。

根據(jù)海倫公式，可求出d最小時的面積，當dmin=|d1-d2|時，如公式（4）所示。

（4）

當dmin=|d3-d4|時，如公式（5）所示。

（5）

同理，計算f的最小值如公式（6）所示。

fmin=max（|d2-d3|，|d4-d1|）" " （6）

當fmin=|d2-d3|時，計算四邊形面積如公式（7）所示。

（7）

當fmin=|d4-d1|時，計算四邊形面積如公式（8）所示。

（8）

注意圖2，這個時候的f已經(jīng)跑到了四邊形的外面，因此這時的f變得沒有意義，就不能再用f去求解四邊形了。對角線d或f必須在四邊形內(nèi)部，當d或f跑到四邊形外面時，使得公式（1）或公式（2）不成立。

在d達到圖2所示的最小值后，若將f變小，則會使d也跑到四邊形的外面，而且這時的四邊形就會自相交，這在圖形的拓撲關系中也是不允許存在的。因此，在后續(xù)的研究中，本文僅考慮d或f在四邊形內(nèi)部時的情形。

2.1.2 對角線長度的最大值

在圖1的基礎上，將頂點3向外拉伸，使其與頂點1的距離增加，d不斷變大。受4個固定邊長的約束，圖形將會逐漸撐開變?yōu)橥顾倪呅?，在該過程中，面積逐漸變大。當變化到4個頂點共圓時，四邊形的面積達到最大極值。此時繼續(xù)拉伸d，四邊形將會變得瘦長，最終2條較短的邊被拉伸為一條直線，圖形變?yōu)橐粋€大三角形，d拉伸最大（圖3）。

此時得到公式（9）。

dmax=min（d1+d2，d3+d4）" " " " " " " " " "（9）

式中：min（）為取最小值函數(shù)。

同理，計算f的最大值如公式（10）所示。

fmax=min（d2+d3，d4+d1）" " " " " " " （10）

2.1.3 四邊形面積的最大值

已有研究表明，當四邊形的4個頂點共圓時面積最大[1]，最大面積如公式（11）所示。

（11）

如上所述，四邊形面積最大時四個頂點共圓，即為圓內(nèi)接四邊形。根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)可知，圖1中的∠123與∠341之和為π。設∠123為θ，則∠341為π-θ。設面積最大時1-3對角線長度為dSmax，根據(jù)余弦定理并顧及cos（π-θ）=-cosθ，得出公式（12）和公式（13）。

dS2 max=d12+d22+2·d1·d2·cosθ " " " " " " " " " " " " " " " " （12）

dS2 max=d32+d42-2·d3·d4·cosθ " " " " " " " " " " " " " " " "（13）

解上述方程組可得公式（14）。

（14）

同理可得，計算面積最大時2-4對角線的長度如公式（15）所示。

（15）

2.2 構建迭代模型

2.2.1 S（d）與S（f）函數(shù)曲線的特性分析

由上文可知，當d或f在四邊形內(nèi)部時，將其作為2個三角形的共邊，以此計算四邊形的面積才是有意義的。在觀察對角線d變化過程中發(fā)現(xiàn)，d與f是聯(lián)動的關系。在d和f均在四邊形內(nèi)部的區(qū)間內(nèi)，d變大f必然變小。反之，f變大d就變小。在該區(qū)間內(nèi)，d與f是互替的關系，即求解d與求解f可以得到相同的四邊形。

當d拉伸至最大（大三角形）時，f還有繼續(xù)變小的可能。當d為最大值時（如圖3所示），頂點2繼續(xù)向頂點4靠近，圖形將變形為凹四邊形。f繼續(xù)變小，圖形最終會穩(wěn)定在一個帶回頭線的小三角形上。此時d已經(jīng)在四邊形外且開始變小。在該區(qū)間內(nèi)，d失去其意義，根據(jù)f來確定四邊形的形狀。反之，當f拉伸至最大，d仍繼續(xù)變小時，f也失去意義，須根據(jù)d來確定四邊形。這兩個區(qū)間是d與f的互補區(qū)間。典型的四邊形對角線長度與面積關系曲線如圖4所示（為清楚地說明d和f兩個對角線的聯(lián)動關系，將f軸的方向指向了與d相反的左邊）。

結合圖4，總結四邊形的S（d）曲線和S（f）曲線特性，得出以下結論。1）隨著對角線長度的值由小變大，四邊形面積會經(jīng)歷一個由小變大、達到極值后再由大到小的過程。在上升區(qū)間或下降區(qū)間內(nèi)S（d）和S（f）都具有單值屬性，因此在各自的上升區(qū)間或下降區(qū)間內(nèi)，給定S就可以迭代出d或f。2）S（d）的下降段（粗虛線部分）與S（f）對應的上升段（細實線部分）是完全等效的，同一個面積值，二者計算的四邊形完全一樣。反之，S（f）的下降段（細虛線部分）與S（d）上升段（粗實線部分）對應部分也是這樣。在上述區(qū)間內(nèi)，當面積一定時求解d與f可以得到相同的四邊形，二者可以互替。3）對比圖2與圖3，Sdmin≤Sdmax，Sfmin≤sfmax。即圖4曲線的上升區(qū)間的面積值完全可以涵蓋下降區(qū)間的面積值。

由上述分析可以看出，將S（d）和S（f）的上升段（各自的實線部分）合并在一起而忽略其下降段（各自的虛線部分），就能得到一個完整的曲線圖。當設計程序時，僅考慮S（d）和S（f）的上升段，會使解算模型變得較為簡單。另外，由圖4可以看出，S（d）和S（f）的下降段比較陡，d或f的誤差對S的影響也會較大。因此，僅用S（d）和S（f）上升段的另一個優(yōu)勢可獲得較好的精度。

若Sdmin≤S≤Smax，則可以用S（d）函數(shù)在dmin≤d≤dSmax區(qū)間迭代d的目標值，以此得到四邊形的第一組解。若Sfmin≤S≤Smax，則可以用S（f）函數(shù)在fmin≤f≤fSmax區(qū)間迭代f的目標值，以此得到四邊形的第二組解。若S在Sdmin和Sfmin間，則只能有一組解。

2.2.2 迭代公式

當四邊形邊長和面積確定后，要根據(jù)公式（1）和公式（2）分別迭代1-3對角線長度和2-4對角線長度。

假定對角線長度為x，根據(jù)公式（1）或公式（2）即可得出四邊形面積的計算值S（x）。設四邊形的給定面積為S，則面積殘差為：v（x）=S（x）-S。根據(jù)不動產(chǎn)調(diào)查技術規(guī)程，面積精度為0.01，因此，將面積殘差的容許值ds（面積容差）設定在比其小10倍的0.001。當殘差大于容差時，通過增加或減少x值，再次計算殘差，直至殘差小于或等于容差為止，這樣即可迭代出x的目標值d或f。

實際計算時，采用弦截迭代公式，計算過程如公式（16）所示[2]。

（16）

弦截迭代公式需要兩個初值：x0和x1，這兩個初值均不能超過目標值。v0和v1是根據(jù)兩個初值計算的面積殘差。當?shù)鷇時，x0=dmin，當?shù)鷉時，x0=fmin。x1=x0+dx，其中dx為一微小變化量。

要保證dx引起的面積變化量小于容差。以迭代d為例，由圖1和圖3可以看出，當f最大時，d的變化對面積的影響最大，可表示為ds=dx·fmax，因此取dx=ds/fmax。同理，當?shù)鷉時，dx=ds/dmax。由于設定面積容差值時已經(jīng)留有充分冗余，因此求出的初值不會超過目標值。

2.2.3 迭代過程

以迭代對角線d為例。

確定兩個初值：x0=dmin、x1=x0+dx，其中dx=ds/fmax，ds=0.001。

計算初值的四邊形面積殘差：將d=x0、d=x1 代入式（1），計算d取兩個初值時的四邊形面積S（x0）、S（x1），然后按照殘差公式v（x）=S（x）-S計算四邊形面積的兩個殘差：v0=v（x0）、v1=v（x1）。

將兩個初值x0、x1和兩個殘差v0、v1代入公式（14）計算第一次迭代值x，并按殘差公式計算四邊形面積殘差v。

若vlt;ds或xgt;=dSmax則結束迭代，取d=x；否則x0=x1，v0=v（x0），x1=x，v1=v（x1）重復公式（2）～公式（4）。

3 計算頂點坐標

計算對角線d和f后，根據(jù)頂點1和2的坐標，用距離交會法可求出頂點3和4的坐標。距離交會法可以計算兩個相交圓的交點坐標。以交會頂點3（x，y）為例，已知點1（x1，y1）和點2（x2，y2）到頂點3的距離分別為r1和r2，通過求解兩個圓的聯(lián)立方程即可得到交點坐標（x，y），如公式（17）所示。

（17）

式中：；

r2=（x2-x1）2+（y2-y1）2。

需要說明的是，兩個相交圓將會有兩個交點，其中一個交點與圓心構成的三角形1-2-3為順時針，另一個則為逆時針。宗地圖中的界址點是按順時針進行編號的，因為當對圖1所示的四邊形的頂點和邊長進行編號時也是采用的順時針，所以公式（17）所取的是順時針的那個解（將b反符號后是逆時針的那個解）。

4 計算機程序?qū)崿F(xiàn)過程

計算機程序?qū)崿F(xiàn)過程有以下步驟。1）拾取已定的1、2點坐標，同時反算邊長d1，錄入面積和其他3個邊長。2）根據(jù)四邊形“任意三邊之和大于第四邊”，檢查錄入的邊長數(shù)據(jù)的合理性。若不合理，則終止。3）計算dmin、Sdmin、fmin、Sfmin、Smax、dSmax、fSmax、dmax、fmax，同時求出面積的最小值：Smin=min（Sdmin，Sfmin）。4）根據(jù)面積的上下限，檢查錄入面積數(shù)據(jù)的合理性。若不合理，則終止。5）迭代計算求出d和（或）f。6）根據(jù)距離交會法計算待定頂點坐標。7）在CAD中展繪計算結果。

當解算結果有兩組時，須人工判別最合適的結果。

5 結語

宗地界址恢復作業(yè)時，首先將能夠確定的宗地界址繪制在CAD圖上，其次將剩余面積歸算到一個待定的四邊形上，借助計算 邊長和宗地剩余面積確定待定的兩個頂點，最后恢復所有宗地界址點。

參考文獻

[1]王兵權.論邊長確定的四邊形面積最大值定理[J].中學教研（數(shù)學），2010（9）：25-26.

[2]喻文建.數(shù)值分析與算法[M].2版.北京：清華大學出版社，2015.