摘 要：本文詳細闡述了大地主題解算的基本原理及常用方法，并針對當前多種解算方式進行比較。大地橢球體計算具有復(fù)雜性，在實際應(yīng)用中存在許多困難。為解決該問題，本文采用高斯平均引數(shù)法進行正反算，根據(jù)VS2010開發(fā)平臺和MFC框架設(shè)計一款大地主題解算軟件。該軟件基于高斯平均引數(shù)法數(shù)學(xué)模型，使大地主題解算更高效，提高坐標解算轉(zhuǎn)換效率，為大地測量相關(guān)工作提供重要的技術(shù)支持。

關(guān)鍵詞：大地主題解算；高斯平均引數(shù)法；MFC

中圖分類號：TP 391" " " " " " 文獻標志碼：A

在天文大地測量中，為了獲得點的大地坐標，需要在橢球面上進行控制點間的坐標解算。在橢球面上兩點之間的大地坐標（大地經(jīng)度、大地緯度）、大地線以及大地方位角稱為大地元素[1]。大地主題解算包括大地主題正算和反算2種類型，大地主題正算是利用已知點的大地坐標、大地線長度以及大地方位角來計算待求點的大地坐標的過程。該過程是在一個橢球面上找到一個已知點，然后利用這個點與待求點之間的距離和方位角來計算待求點的大地坐標；而大地主題反算是利用2個已知點的大地坐標，求解兩點之間的大地線長度以及正反方位角的過程。大地問題解算的用途是多方面的，大地反算在現(xiàn)代空間技術(shù)和航空航天、航海等領(lǐng)域發(fā)揮了重要的作用。由于橢球體計算有一定的復(fù)雜性，因此在計算過程中需要不斷進行迭代計算，直到趨近理想結(jié)果，給人工大地主題解算帶來了巨大的工作難度。本文根據(jù)高斯平均引數(shù)法正反算方法，以微軟VS 2010為開發(fā)平臺，采用MFC框架開發(fā)和CS端應(yīng)用程序并通過圖形界面完成大地主題解算和坐標轉(zhuǎn)換。

1 研究方法及關(guān)鍵技術(shù)

1.1 傳統(tǒng)大地主題解法

根據(jù)不同的目的和計算工具，大地主題解算方法有70余種。根據(jù)其推導(dǎo)理論將這些解算方法分為以下5種。1）根據(jù)大地坐標系中的大地線微分方程，該方法的解算精度與距離密切相關(guān)。隨著大地線長度的增加，其收斂速度逐漸降低。因此，該方法通常應(yīng)用于較短距離的解算。2）以貝塞爾大地投影為基礎(chǔ)。該方法具有簡單、嚴密的特點，由于地球的形狀近似于圓形，因此可以通過球面三角學(xué)公式在球面上進行大地主題問題的解算。3）使用數(shù)值積分的解算方法求解大地線的微分方程。該方法通過直接應(yīng)用幾個核心的公式進行數(shù)值積分計算，無須引入輔助面和勒讓德級數(shù)。這種計算方式適用于任意距離，且易于編程實現(xiàn)。但是，隨著距離增加，計算精度會有所下降，同時計算量也會相應(yīng)增加。特別是在接近兩極地區(qū)，這種影響會更顯著。4）根據(jù)地圖投影理論進行解算，該方法利用橢球面在平面上的正形投影等距離的投影、橢球面在球面上的正形投影等方式來實現(xiàn)大地主題的解算，與距離密切相關(guān)，適用于特定情況[2]。5）以大地線以外的其他線條為基礎(chǔ)，與橢球面上的兩點存在關(guān)聯(lián)的線條，除了大地線以外，也可以利用有價值的其他線條，例如法截線，來進行大地主題的解析計算[2]。

1.2 MFC數(shù)據(jù)庫

MFC（Microsoft Foundation Class）是微軟基本類庫，其是面向?qū)ο蟮膽?yīng)用程序架構(gòu)，利用其中的各種類可以很方便地搭建應(yīng)用程序框架。MFC結(jié)合了面向?qū)ο蟮木幊碳夹g(shù)和Windows消息驅(qū)動的編程技術(shù)，在C++類庫中有各種API和相關(guān)機制，其被封裝成許多個類。因為它們提供了一個應(yīng)用程序框架，使開發(fā)人員可以省略一些重復(fù)的代碼編寫工作，所以這些類可以幫助開發(fā)人員更方便地編寫Windows應(yīng)用程序。這些類包括大量Windows句柄封裝類和很多Windows的內(nèi)建控件和組件的封裝類[3]，消除了WIN32 API的復(fù)雜性，統(tǒng)一了程序的概念，而且可擴展。總體來說，MFC框架在軟件設(shè)計層面提供了明確的架構(gòu)，并且給出了實現(xiàn)用戶界面的標準方式。開發(fā)者只需要根據(jù)預(yù)定義的接口，將各自應(yīng)用程序特有的元素恰當?shù)靥畛涞竭@個框架中。

2 算法原理

2.1 高斯平均引數(shù)法正算

下面介紹高斯平均引數(shù)法正算過程。首先，將勒讓德級數(shù)在點P1展開，在大地線長度中點M展開，減少級數(shù)的項，收斂速度會更快，而且精度也會更高。其次，為了應(yīng)對求解目標點M的復(fù)雜性，采用一種替代方法，即用大地線兩端點的平均緯度及平均方位角所對應(yīng)的點m來代替M點。通過迭代運算，可成功實現(xiàn)大地主題的正解。這種方法具有實用性和高效性，可以有效地解決大地主題求解問題。大地元素包括橢球的大地經(jīng)緯度（B，L）、大地點的正反方位角（A12，A21）以及大地線弧長S等。若使用P1點的大地坐標（B1，B2）以及起點方位角A12、大地線弧長S來解算其他大地元素，稱為大地主題正算，高斯平均引數(shù)法正算公式如公式（1）～公式（3）所示。

（1）

（2）

（3）

式中：ΔB、ΔL、ΔA分別為緯差、經(jīng)差和方位角差；Bm為平均緯度；tm、ηm為嵌套改正系數(shù)；M為大地線長度中點。

2.2 高斯平均引數(shù)法反算

根據(jù)正算公式推出反算公式，即已知經(jīng)差ΔL，緯差ΔB及平均緯度Bm，求大地線弧長S、正方位角A12和反方位角A21，首先，根據(jù)正算公式（1），推導(dǎo)求出SsinAm、ScosAm和ΔA，在此基礎(chǔ)上求解平均方位角Am具體高斯平均引數(shù)法反算公式，如公式（4）、公式（5）所示。

（4）

（5）

式中：ΔA為大地方位角差；A為大地方位角；S為大地弧長；Am為P1和P2的平均方位角。

3 系統(tǒng)實現(xiàn)

3.1 系統(tǒng)總體框架設(shè)計

本文以微軟VS 2010平臺和C++編程語言為基礎(chǔ)，設(shè)計一個基于CS端的應(yīng)用程序。該程序利用高斯平均引數(shù)，實現(xiàn)了克拉索夫斯基橢球、1975國際75橢球、WGS84橢球、貝塞爾橢球4個橢球的大地主題正反算功能。程序界面清晰易操作，支持單點和批量計算2種方式，并保存計算結(jié)果，如圖1所示。

3.1.1 高斯平均引數(shù)法正算

輸入大地線起點緯度、經(jīng)度、大地方位角和大地線長度。選定橢球類型，給定Bm，Am初值，然后參與迭代計算。當兩次迭代所得結(jié)果相差小于限值時，迭代結(jié)束，判斷A21所在象限，最終計算結(jié)果。

3.1.2 高斯平均引數(shù)法反算

首先，輸入兩端點經(jīng)緯度，將角度轉(zhuǎn)化為弧度參與后續(xù)計算。其次，選定橢球類型，輸入平均緯度及平均緯度處各參數(shù)。再次，分別計算ΔA、SsinAm、ScosAm，再計算大地線長度S，正反方位角A12，A21。最后，判斷方位角象限，最終輸出結(jié)果。

3.2 功能實現(xiàn)

3.2.1 計算方式

系統(tǒng)提供正向和反向2種計算方式。正向計算基于已知大地坐標和橢球參數(shù)來計算目標點的位置坐標；反向計算則根據(jù)目標點的位置坐標反推橢球參數(shù)和大地坐標。這種靈活性使用戶在進行大地測量的過程中更方便。

3.2.2 橢球模型切換

系統(tǒng)提供克拉索夫斯基橢球、1975國際75橢球、WGS84橢球、貝塞爾橢球4種橢球模型，可完成不同橢球模型下的大地主題正反算。這表明該系統(tǒng)具有強大的適應(yīng)性，可滿足不同用戶對于不同橢球模型的需求。

3.2.3 數(shù)據(jù)添加

用戶可以選擇手動輸入單個坐標數(shù)據(jù)或通過導(dǎo)入文件批量添加數(shù)據(jù)。這種設(shè)計使用戶更高效地處理大量數(shù)據(jù)。

3.2.4 保存功能

通過將計算結(jié)果輸出至文件實現(xiàn)保存，方便用戶后續(xù)使用和分析。該系統(tǒng)保存功能靈活，用戶可自由選擇文件格式和存儲位置，便于數(shù)據(jù)管理和使用。

3.3 正算關(guān)鍵代碼

正算關(guān)鍵代碼是根據(jù)高斯平均引數(shù)法，結(jié)合實際結(jié)算經(jīng)驗開發(fā)的，適用于短距離大地主題結(jié)算，其中關(guān)鍵代碼如下。

輔助量計算代碼：

double V1=sqrt（1+ep2*cos（B1）*cos（B1））;

double M1=c/V1/V1/V1;

double N1 =c/V1;

輔助量計算方法是正算關(guān)鍵代碼的重要組成部分。該方法基于高斯平均引數(shù)法，適用于短距離大地主題結(jié)算，并結(jié)合實際結(jié)算經(jīng)驗進行開發(fā)。通過使用輔助量計算方法，可以更準確地計算大地主題的坐標和相關(guān)參數(shù)。具體而言，輔助量計算方法包括以下步驟。首先，根據(jù)已知的大地坐標和相關(guān)參數(shù)，計算所需的輔助量。其次，利用高斯平均引數(shù)法對輔助量進行計算，以獲得更精確的結(jié)果。最后，根據(jù)計算結(jié)果，對大地主題的坐標和相關(guān)參數(shù)進行結(jié)算。在輔助量計算方法的實現(xiàn)過程中，需要考慮各種因素。對這些因素進行分析和處理，可以獲得更準確的結(jié)果。此外，輔助量計算方法還需要考慮到實際應(yīng)用場景的需求，例如計算速度和精度等。對這些需求進行處理，可以獲得更實用的結(jié)果?？傊?，正算關(guān)鍵代碼中的輔助量計算方法是一種基于高斯平均引數(shù)法，適用于短距離大地主題結(jié)算的方法。它結(jié)合實際結(jié)算經(jīng)驗進行開發(fā)，具有思路清晰、邏輯嚴密以及推理精確等特點。使用該方法可以更準確地計算大地主題的坐標和相關(guān)參數(shù)，為各種應(yīng)用場景提供支持。

初值計算關(guān)鍵代碼：

double dB1=1*S*cos（A12）/M1;

double dL1=1*S*sin（A12）/（N1*cos（B1））;

double dA1=dL1*sin（B1）;

計算大地橢球面上的一點，須運用專業(yè)地理學(xué)知識。當計算初值時，需要注意函數(shù)單位以弧度計量。

最終正算結(jié)果計算關(guān)鍵代碼如下。

Vm=sqrt（1+ep2*cos（Bm）*cos（Bm））;

Mm=c/Vm/Vm/Vm;

lingem=sqrt（ep2*cos（Bm）*cos（Bm））;

tm=tan（Bm）;

最后，根據(jù)給定的信息采用M 點輔助計算方法進行精密計算。這種方法能夠計算已知點的大地經(jīng)緯度和大地方位角的結(jié)算真實誤差，并且這些誤差均小于0.0001″。采用高精度的計算方法使結(jié)果更準確、可靠，可以滿足各種高精度應(yīng)用的需求。

3.4 反算關(guān)鍵代碼

反算關(guān)鍵代碼是用于根據(jù)已知的大地坐標計算兩點間的大地線長度和反方位角的程序代碼，其中關(guān)鍵代碼如下。

前置數(shù)據(jù)計算關(guān)鍵代碼如下。

double Bm=（B1+B2）/2;

double Lm=（L1+L2）/2;

double dB=B2-B1;

double dL=L2-L1;

double tm=tan（Bm）;

double lingem=sqrt（ep2*cos（Bm）*cos（Bm））;

double Vm=sqrt（1+ep2*cos（Bm）*cos（Bm））;

double Nm=c/Vm;

前置數(shù)據(jù)計算部分涉及解析和轉(zhuǎn)換大地坐標，提取經(jīng)度、緯度、高度等有效坐標信息，以及地球橢球體模型的相關(guān)參數(shù)。這些數(shù)據(jù)是后續(xù)數(shù)據(jù)處理和分析的基礎(chǔ)，其作用是計算兩點間的大地線長度和反方位角。保證大地線長度和反方位角正確計算的關(guān)鍵步驟是反算關(guān)鍵代碼的前

置數(shù)據(jù)計算。

SsinAm、ScosAm、A計算關(guān)鍵代碼：

doubleSsinAm=r01*dL+r21*pow（dB，2）*dL+r03*pow（dL，3）;

doubleScosAm=s10*dB+s12*dB*pow（dL，2）+s30*pow（dB，3）;

doubledA=t01*dL+t21*pow（dB，2）*dL+t03*pow（dL，3）;

利用高斯平均引數(shù)最小二乘法或數(shù)值積分反算大地方位角和大地距離，最終能夠計算出大地主題解算反算結(jié)果的的精度，大地距離達到0.001m，大地方位角度0.001″。同時也驗證了高斯平均引數(shù)大地主題解算適用于短距離的大地主題解算，解算精度與距離有關(guān)。

程序運行后，所有解算結(jié)果可以保存為報告輸出到指定位置，在報告中包括大地主題解算的原始數(shù)據(jù)、解算結(jié)果、真誤差、計算橢球以及橢球參數(shù)、迭代次數(shù)等，提高工作效率，避免重復(fù)勞動，使用戶能夠解決復(fù)雜的地質(zhì)問題。生成的報告不僅提供了詳細的數(shù)據(jù)，還通過清晰的圖表和可視化界面展示了結(jié)果，使用戶能夠更直觀地理解解算結(jié)果。

3.5 案例分析

在本文的大地主題正算中，為了準確評估系統(tǒng)的適用性，隨機選取3個已知點進行測試。經(jīng)過解算，控制已知點的大地經(jīng)緯度以及大地方位角的真實誤差均在0.0001″內(nèi)。其中，P2點的大地經(jīng)度之差ΔL2達到0.0006″，而最小誤差為0。此外，各點間的大地線長度均小于500 km，進一步證實高斯平均引數(shù)法在短距離大地主題解算中的適用性。選取點的參數(shù)見表1。

根據(jù)表2、表3中的數(shù)據(jù)可知，大地坐標的正反方位角的計算真實誤差達到0.0001″，距離真誤差達到米級。

在這3個實例中，P3的誤差最大，距離、大地坐標方位角誤差等都大于前 2個例子的誤差。經(jīng)過分析，P3中大地線長度為1 000 km，超過了高斯平均引數(shù)法解算的要求。這表明本程序使用高斯平均引數(shù)大地主題解算的距離和角度精度達到 0.001m和 0.0001\"，同時也驗證了高斯平均引數(shù)大地主題解算適用于短距離的大地主題解算。在選擇大地坐標的過程中，需要考慮大地線長度范圍是否適合解算方法。

4 結(jié)語

本文采用高斯平均引數(shù)法作為數(shù)學(xué)模型，采用坐標轉(zhuǎn)換程序使大地主題正反算精度滿足大地測量的要求。其角度為0.000 1″、距離0.001m。因為高斯平均引數(shù)法在應(yīng)用范圍存在一定的局限性，僅適用于短距離大地主題解算，所以下一步將貝塞爾方法和嵌套系數(shù)法算法引入大地主題正反算系統(tǒng)中，進一步擴充系統(tǒng)適應(yīng)性。隨著技術(shù)的不斷發(fā)展，利用計算機進行迭代計算將更高效，計算精度會更高。

參考文獻

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