摘 要：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[0，1]，設(shè)x=[b1（x），b2（x），…]為其Engel連分?jǐn)?shù)展式。為探究Engel連分?jǐn)?shù)展式中數(shù)字序列的增長(zhǎng)速度問(wèn)題。研究了Engel連分?jǐn)?shù)展式中l(wèi)nbn（x）以線性速度增長(zhǎng)時(shí)相關(guān)例外集E（α，β）={x∈[0，1）：=α，=β}的Hausdorff維數(shù)，通過(guò)構(gòu)建例外集的Cantor子集并利用質(zhì)量分布原理，給出了對(duì)任意的0≤α≤β≤∞，例外集E（α，β）都是滿維的結(jié)果，該結(jié)果補(bǔ)充了Engel連分?jǐn)?shù)展式中數(shù)字序列增長(zhǎng)速度問(wèn)題的研究。

關(guān)鍵詞：Engel連分?jǐn)?shù)展式;Hausdorff維數(shù);例外集

中圖分類號(hào)：O156 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" 文章編號(hào)：1674-0033（2024）06-0028-07

引用格式：胡林.Engel連分?jǐn)?shù)展式中數(shù)字序列的增長(zhǎng)速度[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào)，2024，38（6）：28-34.

The Growth Rate of Number Sequence in

Engel Continued Fraction

HU Lin

（College of Mathematical Science， Chongqing Normal University， Shapingba" 401331， Chongqing）

Abstract： For any real number x∈[0，1）， let x=[b1（x），b2（x），…] be its Engel continued fraction. To explore the growth rate of number sequence in Engel continued fraction expansion， this study mainly describes the Hausdorff dimension of the relevant exception set E（α，β）={x∈[0，1）：=α， =β}when lnbn（x） in Engel continued fractional expansion grows at a linear rate. By constructing the Cantor subset of the exception set and using the mass distribution principle， the result that the exception set" E（α，β）is full dimension for any 0≤α≤β≤∞ is given. This result complements the research on the growth rate of number sequences in Engel continued fraction expansion.

Key words： Engel continued fractions; Hausdorff dimension; exceptional set

實(shí)數(shù)有不同的表示形式，如十進(jìn)制展開(kāi)式、連分?jǐn)?shù)展開(kāi)式、Lüroth級(jí)數(shù)、Engel級(jí)數(shù)和Sylvester級(jí)數(shù)展開(kāi)式等[1-3]，這些表示形式成為研究實(shí)數(shù)算術(shù)性質(zhì)的重要工具。Hartono等[4]引入了一種具有非遞減部分商的連分?jǐn)?shù)展式，稱Engel連分?jǐn)?shù)展式。Engel連分?jǐn)?shù)展式由變換TE：[0，1）→[0，1），TE（0）：=0;TE（x）=

-

，x≠0生成，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x∈[0，1），其Engel展式：

x=，

其中b（x）= []稱為Engel連分?jǐn)?shù)展式的部分商，且滿足1≤b（x）≤b（x）≤…。為方便起見(jiàn)，將x的Engel連分?jǐn)?shù)展式記作[b（x），b（x），…，b（x），…]。

近年來(lái)，Engel連分?jǐn)?shù)展式引起了廣泛的關(guān)注。Hartono等[4]研究了變換TE的算術(shù)性質(zhì)與遍歷性質(zhì)。接著，Kraaikamp等[5]研究了部分商序列{b（x）：n≥1}的度量性質(zhì)。Fan等[6]進(jìn)一步建立了lnbn（x）的中心極限定理。Fang等[7-9]考慮了ECF展開(kāi)的大偏差和中等偏差原則。對(duì)于Engel連分?jǐn)?shù)展式中某些集合的Hausdorff維數(shù)，Zhong等[10]證明了正則連分?jǐn)?shù)和Engel連分?jǐn)?shù)展式在Hirst問(wèn)題上存在差異。Hu等[11]研究了通過(guò)ECF的收斂性來(lái)逼近實(shí)數(shù)的效率。進(jìn)一步，F(xiàn)ang等[12]研究了Engel連分?jǐn)?shù)展式中部分商增長(zhǎng)率相關(guān)的某些集合的Hausdorff維數(shù)，這推廣了Zhong等[10]及Hu等[11]的結(jié)論。呂美英等[13]考慮了lnbn（x）以對(duì)數(shù)速度增長(zhǎng)的例外集的維數(shù)結(jié)果。Engel 連分?jǐn)?shù)展式和Sylvester連分?jǐn)?shù)展式是Oppenheim連分?jǐn)?shù)展式的特殊形式[14-16]。鑒于此，本文在文獻(xiàn)[5]結(jié)論的基礎(chǔ)上，考慮集合{}的上下極限不相等時(shí)，例外集的Hausdorff維數(shù)。

定理" 當(dāng) 0≤α≤β≤∞時(shí)，設(shè)x=[b（x），b（x），…]是x的Engel連分?jǐn)?shù)展式，集合E（α，β）的定義如：

E（α，β）={x∈[0，1）：=α，

=β}，

則有dimHE（α，β）=1，即E（α，β）的Hausdorff維數(shù)是滿維的。

1" 預(yù)備知識(shí)

Engel連分?jǐn)?shù)展式的一些基本性質(zhì)和結(jié)論。記" " " =

為x的n階收斂因子。約定P（x）：=0，Q（x）：=1，則對(duì)于任意n≥2，有

Pn（x）=b（x）P（x）+b（x）P（x），

Qn（x）=b（x）Q（x）+b（x）Q（x）。

且滿足P（x）Q（x）-Pn-1（x）Qn（x）=（-1）n-1bj（x）。

命題1[4]" 設(shè)x∈[0，1）為實(shí)數(shù)，那么x具有有限ECF展開(kāi)式（即，對(duì)于某些n≥1，TEn（x）=0）當(dāng)且僅當(dāng)x是有理數(shù)。

定義1[4]" "給定自然數(shù)序列（b，b，…，b），若存在實(shí)數(shù)x∈（0，1），其Engel連分?jǐn)?shù)展式滿足：

bj（x）=bj，1≤j≤n，則（b，b，…，b）稱為n-階可允許序列。

定義2[4]" 若自然數(shù)序列（b，b，…，bn，…）滿足對(duì)任意的n≥1，（b，b，…，b）都是n-階可允許序列，則稱（b，b，…，bn，…）為可允許序列。

命題2[4]" 序列（b，b，…，bn，…）是可允許序列，當(dāng)且僅當(dāng)1≤b1≤b2≤…≤bn≤…。

定義3[4]" "對(duì)于任意的可允許序列（b，b，…，bn，）∈n，定義n-階基本柱集：

I（b，b，…，bn）=

{x∈（0，1）：b（x）=b，b（x）=b，…，bn（x）=bn}。

命題3[4]" I（b，b，…，bn）是以點(diǎn)[b，b，…，bn]和[b，b，…，bn+1]為端點(diǎn)的區(qū)間，且滿足：

|I（b，b，…，bn）|=，

由Qn的遞推公式，可得bb…bn≤Qn≤2nbb…bn。

引理1[14]" 令E是一個(gè)Borel集，μ是一個(gè)質(zhì)量分布且滿足μ（E）gt;0，如果對(duì)任何x∈E，有

≥s，

其中B（x，r）是以x為球心，r為半徑的開(kāi)球，那么有dimHE≥s。

本文中，用|·|表示集合的長(zhǎng)度，用“cl”表示集合的閉包，用dimH表示Hausdorff維數(shù)，有關(guān)Hausdorff維數(shù)的定義及性質(zhì)參見(jiàn)文獻(xiàn)[14-15]。

2" 定理的證明

因?yàn)镋（α，β）是[0，1）區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)集，那么dimHE（α，β）≤1。所以只需要考慮集合E（α，β）的Hausdorff維數(shù)下界是1即可。對(duì)于集合Hausdorff維數(shù)的下界的估計(jì)，利用質(zhì)量分布原理解決，因此需要構(gòu)造集合E（α，β）的一個(gè)合適的子集。本文通過(guò)對(duì)α和β的取值范圍進(jìn)行討論，構(gòu)建不同情況下的子集。

令{Mn}是一個(gè)正的遞增序列，記

Dn={（σ1，…，σn）∈n：kMklt;σk≤（k+1）Mk，?k∈+}，令

D=Dn （D0=?），

對(duì)任意的（σ1，…，σn）∈Dn，定義n階基本區(qū)間Jn為：

Jn= [（n+2）Mn+1][k=[（n+1）Mn+1]+1][]cl{x∈[0，1）：b1（x）=σ1，…，bn（x）=σn，bn+1（x）=k}，

定義W=[][（σ1，…，σn）∈Dn][]Jn，那么有

W={x∈[0，1）：nMnlt;bn（x）≤（n+1）Mn，?n≥1}。

由命題3可知n階柱集的長(zhǎng)度范圍為：

≤|

{x∈[0，1）：b1（x）=σ1，…，bn（x）=σn，bn+1（x）=k}|≤，

從而|Jn|的上界和下界為：

|Jn|≤[（n+2）Mn+1][k=[（n+1）Mn+1]+1][]≤

（-）≤

，

|Jn|≥[（n+2）Mn+1][k=[（n+1）Mn+1]+1][]≥

[（n+2）Mn+1][k=[（n+1）Mn+1]+1][]（-）=

（-）≥

（-）=

。

綜上可得|Jn|的范圍為：

≤|Jn|≤

（1）

將對(duì)α和β的取值范圍進(jìn)行討論。

情況1" 當(dāng)0lt;α≤βlt;∞時(shí)，定義正的遞增序列{Mn}：

當(dāng)n=1時(shí)，令M1=eα。

當(dāng)ngt;1時(shí)，

1）若Mn-1=e（n-1）α，則Mn=enβ。

2）若Mn-1=emβ，且emβ≥enα，其中m是不大于n-1的整數(shù)，則Mn=emα。

3）若Mn-1=emβ，且emβlt;enα，其中m是不大于n-1的整數(shù)，則Mn=enα。

先證明集合W?E（α，β）。由{Mn}的定義可知，

當(dāng)n=1時(shí)，eαlt;bn（x）≤2eα。

當(dāng)ngt;1時(shí)，

1）若（n-1）e（n-1）αlt;bn-1≤ne（n-1）α，則nenβlt;bn（x）≤（n+1）enβ。

2）若（n-1）emβlt;bn-1≤nemβ，且emβ≥enα，其中m是不大于n-1的整數(shù)，則nemβlt;bn（x）≤（n+1）emβ。

3）若（n-1）emβlt;bn-1≤nemβ，且emβlt;enα，其中m是不大于n-1的整數(shù)，則nenαlt;bn（x）≤（n+1）enα。

由此可得，對(duì)任意的n≥1，都有

nenαlt;bn（x）≤（n+1）enβ，那么存在子列{n′}和{n″}使得

n′en′αlt;bn′（x）≤（n′+1）en′α，n″e(cuò)n″βlt;bn″（x）≤（n″+1）en″β成立。再由迫斂性可得：

=α，=β。

又因?yàn)榧蟵bn′（x）}和{bn″（x）}是集合{bn（x）}的子集，故有

=α， =β。

所以集合W?E（α，β）。

再計(jì)算集合W的Hausdorff維數(shù)的下界。由nMnlt;σn≤（n+1）Mn和{Mn}的定義可知，對(duì)任意的n≥1，都有nenαlt;σn（x）≤（n+1）enβ，因此

|Jn|≤≤≤e，

|Jn|≥·≥

·≥

（2n+3）-（n+3）·e。

即|Jn|的范圍為：

（2n+3）-（n+3）·e≤|Jn|≤e

（2）

定義集合W上的一個(gè)質(zhì)量分布μ，

μ（Jn）=， （#D0=1）

其中#Dn是集合Dn中點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由Dn的定義可知，存在一個(gè)不依賴于n的正整數(shù)c使得

c-ne≤#Dn≤cne" " " " " " " " " " "（3）

設(shè)B（x，r）是以x為球心，r為半徑的開(kāi)球，那么當(dāng)rlt;e-12α且n≥3時(shí)，有

elt;r≤e" " " " " " " " " " "（4）

由式（2）和式（4）可知，B（x，r）最多插入22n+3（2n+3）n+3·ee個(gè)基本區(qū)間，從而有

≥

=1。

由引理1可得dimHW=1。由于當(dāng)0lt;α≤βlt;∞時(shí)W?E（α，β），故dimHE（α，β）=1。

情況2" 當(dāng)0=αlt;βlt;∞時(shí)，定義正的遞增序列{Mn}：

當(dāng)n=1時(shí)，令M1=eβ。

當(dāng)n=2時(shí)，令M2=e。

當(dāng)ngt;2時(shí)，

1）若Mn-1=e，則Mn=enβ。

2）若Mn-1=e且e≥e，其中m≠且m是不大于n-1的整數(shù)，則Mn=e。

3）若Mn-1=e且elt;e，其中m≠且m是不大于n-1的整數(shù)，則Mn=e。

先證明集合W?E（α，β）。由{Mn}的定義可知，

當(dāng)n=1時(shí)，eβlt;bn（x）≤2eβ。

當(dāng)n=2時(shí)，2elt;bn（x）≤3e。

當(dāng)ngt;2時(shí)，

1）若（n-1）elt;bn-1≤ne，則

nelt;bn（x）≤（n+1）e。

2）若（n-1）emβlt;bn-1≤nemβ且nemβ≥e，其中m≠且m是不大于n-1的整數(shù)，則

nemβlt;bn（x）≤（n+1）emβ。

3）若（n-1）emβlt;bn-1≤nemβ且emβlt;e，其中m≠且m是不大于n-1的整數(shù)，則

nelt;bn（x）≤（n+1）e。

由此可得，對(duì)任意的n?1，都有

nelt;bn（x）≤（n+1）enβ，那么存在子列{n′}和{n″}使得

n′elt;bn′（x）≤（n′+1）e，n″e(cuò)n″blt;bn″（x）≤

（n″+1）en″β成立。再由迫斂性可得

=0，=β。

又因?yàn)榧蟵bn′（x）}和{bn″（x）}是集合{bn（x）}的子集，故有

=0，=β。

所以集合W?E（α，β）。

再計(jì)算集合W的Hausdorff維數(shù)的下界。由nMnlt;σn≤（n+1）Mn和{Mn}的定義可知，對(duì)任意的n≥1，都有nelt;σn（x）≤（n+1）enβ，因此|Jn|的上界為：

|Jn|≤≤（n！e）-1≤e。

即|Jn|的范圍為：

（2n+3）-（n+3）·e≤|Jn|≤e" " " "（5）

定義集合W上的一個(gè)質(zhì)量分布μ，

μ（Jn）=，（#D0=1），

其中#Dn是集合Dn中點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由Dn的定義可知，存在一個(gè)不依賴于n的正整數(shù)c使得

c-ne≤#Dn≤cne" " " " " " " " " " " " （6）

設(shè)B（x，r）是以x為球心，r為半徑的開(kāi)球，那么當(dāng)rlt;e-12β且n≥3時(shí)，有

elt;r≤e" " " " " " " " " " " "（7）

由式（5）和式（7）可知，B（x，r）最多插入

22n+3（2n+3）（n+3）·ee個(gè)基本區(qū)間，從而有

≥

=1。

由引理1可得dimHW=1。由于當(dāng)0=αlt;βlt;∞時(shí)W?E（α，β），故dimHE（α，β）=1。

情況3" 當(dāng)α=β=0時(shí)，此E（α，β）={x∈[0，1）：=0}時(shí)。令Mn=e，根據(jù)集合W的定義，易知集合W?E（α，β）。進(jìn)一步，估計(jì)n階基本區(qū)間Jn的長(zhǎng)度，對(duì)于對(duì)任意的n≥1，都有

nelt;σn≤（n+1）e，那么

|Jn|≥·≥

·≥

（2n+3）-（n+3）·e。

從而|Jn|的范圍為：

（2n+3）-（n+3）·e≤|Jn|≤e" " " " （8）

定義集合W上的一個(gè)質(zhì)量分布μ，

μ（Jn）=， （#D0=1）

其中#Dn是集合Dn中點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由Dn的定義可知，存在一個(gè)不依賴于n的正整數(shù)c使得

c-ne≤#Dn≤cne

（9）

設(shè)B（x，r）是以x為球心，r為半徑的開(kāi)球，那么當(dāng)rlt;e-12且n≥3時(shí)，有

elt;r≤e" " " " " " " " " " " "（10）

由式（8）和式（10）可知，B（x，r）最多插入

22n+3（2n+3）（n+3）·ee個(gè)基本區(qū)間，從而有

≥

=1。

由引理1可得dimHW=1。又由于當(dāng)α=β=0時(shí)W?E（α，β），故dimHE（α，β）=1。

情況4" 當(dāng)0lt;αlt;β=∞時(shí)，定義正的遞增序列{Mn}：

當(dāng)n=1時(shí)，令M1=eα。

當(dāng)n=2時(shí)，令M2=e。

當(dāng)ngt;2時(shí)，

1）若Mn-1=e（n-1）α，則Mn=e。

2）若Mn-1=e且e≥e，其中m是不大于n-1的整數(shù)，則Mn=e。

3）若Mn-1=e且elt;e，其中m是不大于n-1的整數(shù)，則Mn=e。

由{Mn}的定義可知，對(duì)任意的n≥1，都有nelt;bn（x）≤（n+1）e，與情況1證明同理可得集合W?E（α，β）。由nMnlt;σn≤（n+1）Mn和{Mn}的定義可知，對(duì)任意的n≥1，都有nenαlt;σn（x）≤（n+1）e，因此有

|Jn|≥·≥

·≥

（2n+3）-（n+3）·e。

即|Jn|的范圍為：

（2n+3）-（n+3）·e≤

|Jn|≤e" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（11）

定義集合W上的一個(gè)質(zhì)量分布μ，

μ（Jn）=，（#D0=1），

其中#Dn是集合Dn中點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由Dn的定義可知，存在一個(gè)不依賴于n的正整數(shù)c使得

c-ne≤#Dn≤ce " " " " " " " "（12）

設(shè)B（x，r）是以x為球心，r為半徑的開(kāi)球，那么當(dāng)rlt;e-60α且n≥3時(shí)，有

elt;r≤enbsp; " " " " " （13）

由式（11）和式（13）可知，B（x，r）最多插入

22n+3（2n+3）（n+3）·ee個(gè)基本區(qū)間，從而有

≥

=1。

由引理1可得dimHW=1。由于當(dāng)0lt;αlt;β=∞時(shí)W?E（α，β），故dimHE（α，β）=1。

情況5" 當(dāng)a=0，β=∞時(shí)，定義正的遞增序列{Mn}：

當(dāng)n=1時(shí)，令M1=e。

當(dāng)n=2時(shí)，令M2=e。

當(dāng)ngt;2時(shí)，

1）若Mn-1=e，則Mn=e。

2）若Mn-1=em且em≥e，其中m≠，則Mn=em。

3）若Mn-1=em且emlt;e，其中m≠，則Mn=e。

由{Mn}的定義可知，對(duì)任意的n≥1，都有nelt;bn（x）≤（n+1）e，與情況2證明同理可得集合W?E（α，β）。由nMnlt;σn≤（n+1）Mn和{Mn}的定義可知，對(duì)任意的n≥1，都有nelt;σn（x）≤（n+1）e，因此|Jn|的范圍為：

（2n+3）·e≤|J|≤e

（14）

定義集合W上的一個(gè)質(zhì)量分布μ，

μ（Jn）=， （#D0=1），

其中#Dn是集合Dn中點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由Dn的定義可知，存在一個(gè)不依賴于n的正整數(shù)c使得

c-ne≤#Dn≤ce" " " " " " " " "（15）

設(shè)B（x，r）是以x為球心，r為半徑的開(kāi)球，那么當(dāng)rlt;e-60且n≥3時(shí)，有

elt;r≤e" " " " " " " "（16）

由式（14）和式（16）可知，B（x，r）最多插入

22n+3（2n+3）（n+3）·ee個(gè)基本區(qū)間，從而有

≥

=1。

由引理1可得dimHW=1。又由于當(dāng)α=0， β=∞時(shí)W?E（α，β），故dimHE（α，β）=1。

情況6" 當(dāng)α=β=∞時(shí)，此時(shí)E（α，β）={x∈[0，1）：=∞}。令Mn=[e][n2]，根據(jù)集合W的定義，易知集合W?E（α，β）。由于對(duì)任意的n≥1，都有nelt;σn≤（n+1）[e][n2]，那么

（2n+3）·e≤

|J|≤e" " " " " " " " " " " " " " " " " " （17）

定義集合W上的一個(gè)質(zhì)量分布μ，

μ（Jn）=， （#D0=1），

其中#Dn是集合Dn中點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由Dn的定義可知，存在一個(gè)不依賴n于的正整數(shù)c使得

c-ne≤#Dn≤cne " " " " "（18）

設(shè)B（x，r）是以x為球心，r為半徑的開(kāi)球，那么當(dāng)rlt;e-60且n≥3時(shí)，有

elt;r≤e" " " " " " " " （19）

由式（17）和式（19）可知，B（x，r）最多插入

22n+3（2n+3）（n+3）·ee個(gè)基本區(qū)間，從而有

≥

=1。

由引理1可得dimHW=1。又由于當(dāng)α=β=∞時(shí)W?E（α，β），故dimHE（α，β）=1。

可見(jiàn)，對(duì)任意的0≤α≤β≤∞，都有

dimHE（α，β）=1。

3" 結(jié)語(yǔ)

本文在文獻(xiàn)[5]結(jié)論的基礎(chǔ)上，主要研究了Engel連分?jǐn)?shù)展式中數(shù)字序列上下極限不同時(shí)相關(guān)例外集的Hausdorff維數(shù)，根據(jù)α和β的不同取值范圍來(lái)構(gòu)建例外集的Cantor子集，再運(yùn)用質(zhì)量分布原理對(duì)例外集的Hausdorff維數(shù)的下界進(jìn)行估計(jì)，證明了例外集的Hausdorff維數(shù)是滿維的。該結(jié)果說(shuō)明[0，1）區(qū)間可以寫(xiě)成不可數(shù)個(gè)維數(shù)為1的集合的不交并，揭示了Engel連分?jǐn)?shù)展式中數(shù)字序列增長(zhǎng)性質(zhì)的有趣分形結(jié)構(gòu)。

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（責(zé)任編輯：李堆淑）

收稿日期：2024-08-02

基金項(xiàng)目：重慶市教育委員會(huì)科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（KJQN202100528）

作者簡(jiǎn)介：胡林，女，陜西安康人，碩士研究生