摘 要：模糊賦范Riesz空間是一個(gè)結(jié)合了模糊數(shù)學(xué)理論和經(jīng)典Riesz空間理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其中的范數(shù)是一個(gè)模糊數(shù)，而非實(shí)數(shù)。模糊Riesz-Fischer性則定義在這樣的空間中，強(qiáng)調(diào)了模糊度在序列收斂過程中的作用。通過對(duì)Riesz-Fischer性的研究，給出了模糊賦范Riesz空間上模糊Riesz-Fischer性的定義，繼而討論了模糊Riesz-Fischer性的基本性質(zhì)，并用Riesz-Fischer性刻畫了模糊賦范Riesz空間的完備性，豐富和推廣了已有結(jié)論。

關(guān)鍵詞：模糊賦范Riesz空間;模糊Riesz-Fischer性;模糊弱Riesz-Fischer性

中圖分類號(hào)：O177" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1674-0033（2024）06-0023-05

引用格式：鄭富麗，程娜，劉艷麗.模糊賦范Riesz空間上模糊Riesz-Fischer性的基本性質(zhì)[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào)，2024，38（6）：23-27.

The Basic Property of Fuzzy Riesz-Fischer Property on Fuzzy Normed Riesz Spaces

ZHENG Fu-li， CHENG Na， LIU Yan-li

（College of Science， Xihua University， Chengdu" 610039， Sichuan）

Abstract： Fuzzy Normed Riesz space is a mathematical structure that combines fuzzy mathematical theory and classical Riesz space theory， where the norm is a fuzzy number rather than a real number. The fuzzy Riesz-Fischer property is defined in such a space， emphasizing the role of ambiguity in the sequence convergence process. Through the study of the Riesz-Fischer property， the definition of fuzzy Riesz-Fischer property in fuzzy normed Riesz space is given， and then the basic properties of fuzzy Riesz-Fischer property are discussed， and the completeness of fuzzy normed Riesz space is described by Riesz-Fischer property， which enriches and generalizes the existing conclusions.

Key words： fuzzy normed Riesz space; fuzzy Riesz-Fischer property; fuzzy weak Riesz-Fischer property

設(shè)uα：α∈A是Hilbert空間H中規(guī)范正交集，P是由uα有限線性組合生成的空間，則?x∈H，| [x]（α）|2≤|| x|| 2成立，而H到L2（A）的映射x→ [x]稱為Riesz-Fischer定理。在Hilbert空間中，因Riesz-Fischer序列與Bessel序列，Riesz序列和框架有密切聯(lián)系[1-5]。Dan Tomescu給出LP空間上的半范數(shù)具有Riesz-Fischer性的定義，且給出LP空間上半范數(shù)具有Riesz-Fischer性的充要條件[6]。此后，有關(guān)空間上Riesz-Fischer性的研究較少。鑒于此，本文通過引入模糊數(shù)和模糊范數(shù)，建立模糊賦范Riesz空間的理論基礎(chǔ)，探討模糊賦范Riesz空間中模糊序列的收斂性，以及模糊Riesz-Fischer性質(zhì)在空間中的應(yīng)用，有助于人們更好地理解模糊環(huán)境中的序列收斂行為，為模糊數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用提供理論支持。

1" 預(yù)備知識(shí)

定義1[7]" "設(shè)X是R上線性空間，N是X×R的模糊子集。若對(duì)任意的x，y∈X和c∈R，有

[N1]" ?t∈R且t≤0，有N（x，t）=0;

[N2]" ?t∈R且tgt;0，有N（x，t）=1當(dāng)且僅當(dāng)x=θ;

[N3]" ?t∈R且tgt;0，如果c≠0，有N（cx，t）=

Nx，

;如果c=0，有N（cx，t）=1;

[N4]" ?s，t∈R，有N（x+y，t+s）≥

min{N（x，t），N（y，s）};

[N5]" N（x，·）是R上的左連續(xù)不減函數(shù)，且[[t→∞][lim]][N（x，t）=1]。

則稱N為X上的模糊范數(shù)，（X，N）為模糊賦范線性空間。

定義2[8] 若E是模糊賦范Riesz空間，若每個(gè)模糊范Cauchy序列有模糊范極限，則稱E是模糊Banach格。

定義3[8] 設(shè)E是模糊賦范Riesz空間，{fn}n是E上序列，如果?f∈E使得對(duì)?t，有[n→∞][lim]N（fn-f，t）=1，則稱{fn}n是模糊范收斂的。

定義4[8-9] 設(shè)E是Riesz空間，N是E上的模糊范數(shù)。若N滿足條件（N12）當(dāng)|x|≤|y|，有N（x，t）≥N（y，t），其中x，y∈E和s，t∈R，則稱N為模糊Riesz范數(shù)。

定義5[8，11-12] 設(shè)E是Riesz空間，N是X×R的模糊子集，若對(duì)任意的x，y∈E和s，t∈R，滿足：

[N6] N（x，t）=0，對(duì)?t≤0;

[N7] N（x，t）=1，?tgt;0，當(dāng)且僅當(dāng)x=θ;

[N8] N（cx，t）=Nx，

，如果c≠0;

[N9] N（x+y，t+s）≥min{N（x，t），N（y，s）};

[N10] N（x，·）是R上一個(gè)非遞減函數(shù)，且[[t→∞][lim]][N（x，t）=1];

[N11]" 當(dāng)x≠θ時(shí)，N（x，·）是在R上連續(xù);

[N12]" N（x，t）≥N（y，t）當(dāng)且僅當(dāng)|x|≤|y|;

則稱N為E上的模糊范數(shù)，（E，≤，N）是模糊賦范Riesz空間。

定義6[10，13] 設(shè)E是模糊賦范Riesz空間，{fn}是E中序列。若fn↑并且fn模糊范收斂于f，記為fn[→][FN]f，則fn↑f0。

定義7[10] 設(shè)E是模糊賦范空間，{fn}n是E上序列，若?α∈（0，1）和tgt;0，?n0，使得當(dāng)m，n≥n0，有N（fm-fn，t）≥1-α，則稱{fn}n為模糊范Cauchy序列。

引理1[10，14] 設(shè)E是模糊賦范Riesz空間，{fn}n是E中的序列，如果fn↑并且fn[→][FN]f，則fn↑f。

未經(jīng)解釋的定義參見文獻(xiàn)[7]。

2" 模糊Riesz-Fischer性的基本性質(zhì)

定義8 假設(shè)E是模糊賦范Riesz空間，若N（fn，t）收斂，?tgt;0，則fn序收斂，則稱模糊賦范Riesz空間有模糊Riesz-Fischer性。

實(shí)例" 設(shè)X=C（[0，1]），?f∈C（[0，1]），定義|| f || =max（| f（x）|：x∈[0，1]），則X是賦范Riesz空間，N：X×R→[0，1]，定義如：

N（f，t）=

， t gt; 0

0，" " " t≤0，

則N（f，t）是模糊Riesz范數(shù)。

證明：定義5的[N6] ～[N11]顯然由文獻(xiàn)[7]可得。假設(shè)對(duì)?x，y∈X，有|x|≤|y|，因X是賦范Riesz空間，則|| x|| ≤|| y|| ，故≥，?tgt;0。因此N（x，t）≥N（y，t），?tgt;0，則N（f，t）是模糊Riesz范數(shù)，因此X是模糊賦范Riesz空間。

引理2" 假設(shè)E是模糊賦范Riesz空間，如果E有模糊Riesz-Fischer性，則對(duì)?tgt;0，有

N

fn，t≥N（fn，t）。

證明：反證法。假設(shè)存在{fn}n∈E+，n=1，2，…，?εgt;0，使得對(duì)?tgt;0，有

N

fn，t≥ε+N（fn，t）。

由于fk收斂，則對(duì)?tgt;0，有

N

fk，t-N

fk，t≥N

fk-

fk，t。

記sk=fn，將Sk中出現(xiàn)的所有fn排成一個(gè)序列，得到序列{wn}，n=1，2，…，

因此，對(duì)?tgt;0，有

Nwn，t=N

fn，t，

N

fn，t≥N（fn，t），

N（fn，t）≥N

，t，

則有

Nfn，t≥N

，t，

由于sk↓，將k個(gè)sk相加得：

k·sk=sk+sk+…+sk≤s1+s2+…+sk=sm，

因此對(duì)?tgt;0，有

N（k·sk，t）≥N

sm，t，

故有N

fn，t≥Nfn，t，?tgt;0。

引理3" 若E是模糊Banach空間，且對(duì)?tgt;0，有Nfn，t收斂，則有N

fn，t收斂。相反地，若E是模糊賦范線性空間，且對(duì)?tgt;0，N（fn，t）收斂，有N

fn，t收斂，則E是模糊Banach空間。

證明：若E是模糊Banach空間，且對(duì)?tgt;0，有Nfn，t收斂，令sn=fk，n=1，2，…，?α∈（0，1），?tgt;0，存在sα，使得當(dāng)sm≥sα，sn≥sα?xí)r，有

N（sm-sn，t）=Nsm-sα+sα-sn，

+

≥

minNsm-sα，

，Nsn-sα，

≥1-α

因此snn是模糊范柯西列，故snn的模糊范極限存在。

而snn單調(diào)遞增，由定義6可得：N

fn，t收斂。

相反地，假設(shè)fnn是模糊柯西列，n=1，2，…，存在子列 [k][fn][{" "}]，k=1，2，…，對(duì)n1lt;n2lt;…，有

N（ [k+1][fn]-[k][fn]，t）≥N（，t），?tgt;0，?k，

故N

（[k+1][fn]-[k][fn]），t收斂，因此對(duì)?tgt;0，有

[k→∞][lim]N（[k][fn]-f0，t）=1。

于是N

fn，t收斂，因此E是模糊Banach格。

定理1 設(shè)E是模糊賦范Riesz空間，則E是模糊Banach格當(dāng)且僅當(dāng)E有模糊Riesz-Fischer性。

證明：假設(shè)E是模糊Banach格，且設(shè)fn∈E+，n=1，2，…，且?tgt;0，N（fn，t）有限。對(duì)?tgt;0，mgt;0及pgt;0，令sn=fk，n=1，2，…

則

N（sn+p-sn，m+t）=N（sn+p-s+s-sm，m+t）≥

minN（sn+p-s，m），N（s-sn，t）=

minN（sn+p-sn，m），N（sn-s，t）。

因此

[n→∞][lim]N（sn+p-sn，m+t）≥

min[n→∞][lim]N（sn+p-s，m），[n→∞][lim]N（s-sn，t）。

又因[n→∞][lim]N（sn+p-s，m）=1。

于是，對(duì)?tgt;0，mgt;0和pgt;0，有[n→∞][lim]N（sn+p-sn，m+t）≥1。

即[n→∞][lim]N（sn+p-sn，m+t）=1。故sn是模糊范柯西列。

由E的完備性，可知sn有模糊范收斂極限s。因sn↑，根據(jù)引理1可得sn↑s，即fn序收斂。因此E有模糊Riesz-Fischer性。

假設(shè)E有模糊Riesz-Fischer性，fn∈E+，n=1，2，…，且?tgt;0，N（fn，t）收斂。令sn=f1+f2+…+fn，則sn↑，因E有模糊Riesz-Fischer性，則s=fn存在，且s-sm=fk。則s-sm=sup（sn-sm）=fk，?tgt;0。

由引理2可知：對(duì)?tgt;0，有

N（s-sm，t）≥N（fk，t）。

又因N（fn，t）收斂，于是N（fk，t）=1（m→∞）。即N

fn ， t收斂，由引理3可知：

E是模糊Banach格。

定義9" 假設(shè)E是模糊賦范Riesz空間，若?tgt;0，Mgt;0，?fn∈E有N（fn，t）gt;M，則稱fn是模糊有界的。

定義10 假設(shè)E是模糊賦范Riesz空間，若?tgt;0，N（fn，t）收斂，有sn=f1+f2+…+fn模糊有界，則稱E具有模糊弱Riesz-Fischer性。

定理2" 假設(shè)E是模糊賦范Riesz空間，若fn∈E+，N（fn，t）有限，?tgt;0，存在w∈E+，使得fn≤w，n=1，2，…，則E有模糊弱Riesz-Fischer性。

證明：設(shè)0≤fn∈E，且N（fn，t）有限，故存在n1lt;n2lt;…，有N（fj，t）≥N（C·4-k，t），其中C是常數(shù)且滿足N（C，t）≤4N（fj，t），

令νk=fj，k=1，2，…，則對(duì)?tgt;0有

N（2kνk，t）=N2k·

fj，t，

N2k·

fj，t≥N（2k·fj，t），

N（2k·fj，t）≥N

C·2-k，t，

即N（2kνk，t）有限，故存在w∈E，使得對(duì)?tgt;0，?k，有

2k·νk≤w，

而對(duì)于給定n，存在k，使得

f1+f2+…+fn≤ν1+ν2+…+νk

則

0≤f1+…+fn≤ν1+…+νk≤（2-1+…+2-k）w≤w。

故E有模糊弱Riesz-Fischer性。

定理3 假設(shè)E是模糊賦范Riesz空間，若E是Dedekind σ-完備的，且有模糊弱Riesz-Fischer性，則E是模糊Banach格。

證明：?tgt;0，fn∈E+且N（fn，t）收斂。因E有模糊弱Riesz-Fischer性，則sn=f1+…+fn模糊有界，即：?t0gt;0，M0gt;0，使得N（fn，t0）gt;M0。

又因sn↑，而E是模糊Dedekind σ-完備的，因此sn有上確界，記為s，即sn↑s。

故fn收斂，即E有模糊Riesz-Fischer性。由定理1得：E是模糊Banach格。

定理4 假設(shè)E是模糊賦范Riesz空間，若E是模糊一致完備的且具有模糊弱Riesz-Fischer性，則E是模糊Banach格。

證明：?tgt;0，假設(shè)0≤fn∈E，N（ fn，t）收斂。

令νk=fj，則

N（2k·νk，t）=N2k·

fj，t，?tgt;0

因N2k·

fj，t≥N（2k·fj，t），

N（2k·fj，t）≥N

C·2-k，t。

其中C是常數(shù)且4N（fj，t）≤C。因此

N（2k·νk，t）≥C2-k。

由定理2可知，?w∈E+，有（2k·νk≤w），?k，?tgt;0成立。

令sn=ν1+ν2+…+νn，則對(duì)?εgt;0，?N（ε）gt;0，使得對(duì)?pgt;0，lt;ε則

N（sn+p-sn，t）=N（νn+1+…+νn+p，t）≥

N

+…+

，t，

即：N（sn+p-sn，t）≤εw，則sn是w一致柯西列。

又因E是一致完備的，且sn↑，因此存在s∈E，使得sn↑s。

由此可知fn收斂，即E有模糊Riesz-Fischer性，

由定理1知E是模糊Banach格。

3" 結(jié)語

模糊賦范Riesz空間上的模糊Riesz-Fischer性質(zhì)的引入，標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)在泛函分析領(lǐng)域的深入發(fā)展。這一性質(zhì)不僅擴(kuò)展了經(jīng)典Riesz-Fischer定理的適用范圍，還為處理模糊度量空間中的序列收斂問題提供了理論基礎(chǔ)。模糊賦范Riesz空間作為模糊數(shù)學(xué)與泛函分析融合的產(chǎn)物，為研究模糊環(huán)境下的泛函分析提供了新的視角。本研究所得結(jié)果統(tǒng)一和推廣了文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[10]的結(jié)論。

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收稿日期：2024-06-14

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11801454）

作者簡介：鄭富麗，女，四川宜賓人，碩士研究生