摘 要：磁懸浮軸承可有效地提升高速電機(jī)的臨界轉(zhuǎn)速，然而軸向磁懸浮軸承在轉(zhuǎn)子高轉(zhuǎn)速和材料實心的情況下渦流效應(yīng)顯著。針對該情況下實心軸向磁懸浮軸承的建模問題，使用等效磁路法建立軸向磁懸浮軸承模型時常會忽略渦流效應(yīng)，導(dǎo)致理論模型與實際模型存在較大誤差。為了得到更貼近實際的軸向磁懸浮軸承精確模型，針對一種混合型三自由度磁懸浮軸承的軸向部分采用系統(tǒng)辨識的方法進(jìn)行了閉環(huán)辨識，研究了分?jǐn)?shù)階模型階次的確定流程和誤差準(zhǔn)則，得到了軸向磁懸浮軸承的數(shù)學(xué)模型。結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型能夠彌補(bǔ)整數(shù)階模型在高頻段上的相位特性誤差，在整個頻域上有著更高的精確度。

關(guān)鍵詞：高速電機(jī)；磁懸浮軸承；三自由度混合型磁懸浮軸承；數(shù)學(xué)模型；系統(tǒng)辨識；分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)

DOI：10.15938/j.emc.2024.10.008

中圖分類號：TH133.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-449X（2024）10-0076-09

收稿日期： 2016-01-01

基金項目：

作者簡介：宋學(xué)濤（1999—），男，碩士，研究方向為磁懸浮軸承建模及其控制；

鄧智泉（1969—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為無軸承電機(jī)、高速電機(jī)、交流電機(jī)控制等。

通信作者：鄧智泉

Research of modeling axial magnetic bearing based on system identification

SONG Xuetao， DENG Zhiquan

（College of Automation Engineering， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 211106， China）

Abstract：Magnetic bearings can effectively increase the critical speed of high-speed motors，but axial magnetic bearings have a significant eddy current effect at high rotor speeds and solid materials. For the modeling of solid axial magnetic bearings， the eddy current effect is often ignored when using the equivalent magnetic circuit method to establish the axial magnetic bearing model， resulting in a large error between the theoretical model and the actual model. In order to obtain an accurate model of axial magnetic bearings closer to the reality， the axial part of a hybrid 3-degree-of-freedom magnetic bearing was identified， and the determination process and error criteria of the fractional order model were studied. The mathematical model of axial magnetic levitation bearing was derived. The results show that the fractional-order system model can compensate for the phase characteristic error of the integer-order model in the high frequency band， and has higher accuracy in the entire frequency domain.

Keywords：high-speed motors; magnetic bearings; hybrid 3-DOF magnetic bearing; mathematical model; system identification; fractional-order system

0 引 言

磁懸浮軸承相比機(jī)械軸承可以避免因摩擦而導(dǎo)致的壽命縮短、噪聲大和轉(zhuǎn)速限制等問題^［1］。目前磁懸浮軸承憑借其優(yōu)良的特性，廣泛應(yīng)用在航空航天、醫(yī)療和高速透平機(jī)械等場合^［2-4］。磁懸浮軸承常使用實心材料作為其結(jié)構(gòu)部件，在磁懸浮高速電機(jī)中，轉(zhuǎn)子極高的轉(zhuǎn)速對磁懸浮軸承的建模產(chǎn)生了許多影響，例如渦流效應(yīng)、磁通飽和、氣隙漏磁和邊緣效應(yīng)等會顯著提升，影響著磁懸浮軸承的模型精確度，其中高速旋轉(zhuǎn)下渦流效應(yīng)的影響最為顯著^［5］。研究者們在徑向磁懸浮軸承的磁極和轉(zhuǎn)子外層處使用疊片的結(jié)構(gòu)，從而降低渦流效應(yīng)^［6］。但該舉措僅在徑向磁懸浮軸承上具有良好的抑制效果，對于軸向磁懸浮軸承，由于其存在軸向上的磁通路徑，故難以在軸向磁懸浮軸承中使用疊片的方式降低渦流效應(yīng)。因此軸向磁懸浮軸承受渦流效應(yīng)影響更為顯著，影響著其建模準(zhǔn)確性。

磁懸浮軸承的建模方法主要分為解析法和數(shù)值法，前者包含磁路法^［7］和子域模型法^［8］，后者主要是有限元法^［9］。目前較為成熟且運用廣泛的解析方法是磁路法，它通過分析磁軸承的靜態(tài)磁場得到氣隙處的磁通量，最后通過磁共能的方式求得電磁力，經(jīng)過線性化后得到磁懸浮軸承的數(shù)學(xué)模型。經(jīng)過不斷發(fā)展，該方法能夠考慮的影響因素已十分豐富。例如，文獻(xiàn)［10］中ZHU L等學(xué)者提出根據(jù)磁通分布劃分區(qū)域，并找到了每個部件磁通路徑與頻率相關(guān)的磁阻，推導(dǎo)了考慮渦流效應(yīng)的解析模型。文獻(xiàn)［11］中對一種實心混合型軸向-徑向磁懸浮軸承進(jìn)行了考慮漏磁的磁路模型建模，得到了該結(jié)構(gòu)的磁場分布和承載力。

然而上述方法中對于氣隙和軟磁材料的磁阻計算過程十分復(fù)雜。部分學(xué)者們提出從實驗的角度出發(fā)，通過實驗測量輸入輸出數(shù)據(jù)以獲取模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，該方法稱為系統(tǒng)辨識。傳統(tǒng)磁路法中的電流剛度和位移剛度概念在控制中的成熟應(yīng)用，學(xué)者們對系統(tǒng)辨識得到這兩個參數(shù)的方法進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)［12］中采用了兩種不同的方法，即電磁力測量法和自由振蕩法對磁軸承的兩個剛度進(jìn)行了參數(shù)辨識。文獻(xiàn)［13］基于沖擊響應(yīng)的參數(shù)辨識方法，再結(jié)合沖擊響應(yīng)理論公式計算了磁軸承的支承參數(shù)。隨著系統(tǒng)辨識計算的不斷發(fā)展，研究者在模型結(jié)構(gòu)及其參數(shù)的確定上進(jìn)行了新的研究。文獻(xiàn)［14］對一臺實心同極性磁懸浮軸承的徑向部分進(jìn)行了閉環(huán)頻域辨識，獲得了與實際系統(tǒng)誤差極小的模型。文獻(xiàn)［15］對電壓和電流驅(qū)動下的磁懸浮軸承進(jìn)行了系統(tǒng)辨識，得出了渦流改變了電流驅(qū)動下模型階次，修正了電壓驅(qū)動下模型系數(shù)的結(jié)論，對于電流驅(qū)動下的辨識結(jié)果與實際系統(tǒng)仍存在較大誤差。以上文獻(xiàn)的辨識都是基于整數(shù)階模型和徑向磁懸浮軸承所得出的結(jié)果，然而對于渦流效應(yīng)更為顯著的軸向磁懸浮軸承建模和模型精確度提升的研究目前較少。

本文以一種軸向-徑向混合型磁懸浮軸承為研究對象，首先介紹其基本結(jié)構(gòu)、工作原理和實驗平臺。其次針對軸向部分磁軸承的模型建立，介紹閉環(huán)頻域系統(tǒng)辨識建模方法的基本原理，模型結(jié)構(gòu)組成和辨識算法，對混合型磁懸浮軸承的軸向部分進(jìn)行系統(tǒng)辨識，并分析不同模型間的誤差原因和特性。結(jié)果表明，對于軸向磁懸浮軸承，系統(tǒng)辨識模型與實驗測量得到的系統(tǒng)誤差較小，分?jǐn)?shù)階模型相較于整數(shù)階模型具有更高的精確度。

1 混合型三自由度磁懸浮軸承結(jié)構(gòu)與工作原理

1.1 混合型三自由度磁懸浮軸承的結(jié)構(gòu)

混合型軸向-徑向三自由度永磁偏置磁軸承的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，其具有結(jié)構(gòu)緊湊、功率密度高的特性。它主要由定子套筒、永磁體、徑向磁軛、徑向磁極、定子圓盤、軸向線圈、徑向線圈和實心轉(zhuǎn)子組成。以結(jié)構(gòu)功能劃分，主要可以分為軸向和徑向部分。其中徑向部分的磁通由套筒內(nèi)側(cè)貼有的4片環(huán)狀永磁體片產(chǎn)生，永磁體的剩磁特性提供持續(xù)的磁場偏置磁通。永磁體的充磁方向為平行充磁，永磁體環(huán)的N極朝向套筒內(nèi)壁，S極朝向徑向磁軛的外層；前后兩個對稱的定子圓盤與徑向磁軛之間的內(nèi)腔內(nèi)設(shè)置軸向控制線圈，以通入可變電流產(chǎn)生可控的軸向控制磁場；4個相同的徑向磁極周圍纏繞有匝數(shù)確定的徑向控制線圈，以提供可控的徑向控制磁通，且徑向磁極在徑向上與轉(zhuǎn)子的外壁之間留有氣隙；

實驗所研究的磁懸浮軸承實驗平臺由磁懸浮軸承和高速無刷電機(jī)共同組成，其中磁懸浮軸承部分使用兩個混合型三自由度磁懸浮軸承，它們安裝在高速永磁無刷直流電機(jī)兩側(cè)，使用同一根轉(zhuǎn)軸將各個部分進(jìn)行連接。

1.2 混合型三自由度磁懸浮軸承工作原理

對混合型三自由度磁懸浮軸承三維圖進(jìn)一步展開，得到如圖2所示的詳細(xì)結(jié)構(gòu)圖。該結(jié)構(gòu)同時兼具徑向和軸向兩個方向上的磁場路徑，現(xiàn)分別介紹偏置磁場和控制磁場的路徑。偏置磁場的建立由貼附在套筒內(nèi)側(cè)的環(huán)狀永磁體片產(chǎn)生，通過套筒從其兩側(cè)經(jīng)過兩個對稱的定子圓盤，在經(jīng)過前后兩個軸向氣隙進(jìn)入到實心轉(zhuǎn)子中，最后匯集經(jīng)過徑向氣隙、徑向磁極和徑向磁軛后回到永磁體中，形成一個閉環(huán)的回路，其環(huán)路如圖2中實線部分所示。而對于控制磁場主要分為軸向與徑向兩個磁場路徑。軸向控制磁場由通入有電流的兩個軸向線圈產(chǎn)生，其經(jīng)過的路徑為套筒、前定子圓盤、前軸向氣隙、實心轉(zhuǎn)子、后軸向氣隙和后定子圓盤，其環(huán)路如圖2中虛線部分所示。徑向控制磁場由圍繞在徑向磁極周圍通入有電流的徑向線圈產(chǎn)生，其磁場路徑與軸向控制磁場不在同一個平面內(nèi)，主要經(jīng)過上端徑向磁極后分成兩部分通過徑向磁軛的軸向部分，最后在另一端匯集后再經(jīng)過下端徑向磁極、下端氣隙、實心轉(zhuǎn)子和上端氣隙后形成環(huán)路。

由于徑向磁懸浮軸承可以使用軟磁材料疊片的方式大幅度降低渦流損耗，而軸向磁懸浮軸承無法使用該方式進(jìn)行渦流損耗的降低，故主要分析混合型三自由度磁懸浮軸承的軸向部分。圖2中可以看出軸向和徑向控制磁場相互獨立，軸向和徑向的偏置磁場有所耦合，但是偏置磁場路徑中存在著軸向和徑向的獨立氣隙，在相應(yīng)的氣隙處的兩個磁場疊加不受影響，故在分析該磁軸承時，可將徑向和軸向獨立進(jìn)行分析，根據(jù)文獻(xiàn)［16］中對工作點進(jìn)行近似線性之后，磁力表達(dá)式可以寫成

f_z=k_aii_a+k_zx。（1）

列寫軸向磁軸承動力學(xué)方程

mx··=f_z=k_aii_a+k_zx。（2）

將其進(jìn)行拉普拉斯變化，整理得到輸入電流I_a與軸向磁軸承位移x之間的傳遞函數(shù)模型為

X（s）I_a（s）=k_ai/ms²－k_z/m。（3）

該模型為開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，需要選用合適的控制器，并通過極點配置法來調(diào)整控制器參數(shù)。實驗中使用的控制器為工業(yè)中常用的PID控制器，其與磁懸浮軸承組成的閉環(huán)控制框圖如圖3所示。

圖3中：P（s）表示了磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性；K_s為電渦流位置傳感器增益，其值有傳感器的性能參數(shù)決定；G_c（s）表示PID控制器傳遞函數(shù)；G_a（s）表示開關(guān)功放傳遞函數(shù)，在理想的條件下，一般認(rèn)為G_a（s）=1。

基于上述算法，搭建的磁懸浮軸承實驗平臺如圖4所示，其主要由兩個三自由度磁懸浮軸承、磁懸浮軸承控制器、開關(guān)功率放大器、位置傳感器、直流電源和示波器組成。其中開關(guān)功率放大器采用三電平采樣-保持控制算法，在工作頻率范圍內(nèi)具有較好的跟蹤精確度和線性度。位置傳感器采用電渦流傳感器，其靈敏度誤差小于百分之三，非線性誤差小于百分之一。

2 掃頻和閉環(huán)辨識方法

2.1 頻率掃描的基本原理

系統(tǒng)辨識的數(shù)據(jù)獲取原理主要為頻域響應(yīng)辨識法。當(dāng)磁懸浮軸承穩(wěn)定地在平衡點附近工作時，在輸入信號不影響穩(wěn)定懸浮的情況下，可以將其視為線性系統(tǒng)。通過對磁懸浮軸承的輸入端施加在工作頻域范圍內(nèi)不同頻率的正弦激勵，并采集輸入輸出信號。對其進(jìn)行離散傅里葉變換后得到對應(yīng)頻率下磁懸浮軸承閉環(huán)系統(tǒng)的幅值和相位信息。使用不同的模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬合，得到模型結(jié)構(gòu)下的最優(yōu)傳遞函數(shù)。頻率掃描的基本流程如下：

1）頻率響應(yīng)的獲取。

磁懸浮軸承可以追蹤參考位移。在正常工作的情況下，其參考位置給定為零。而為了對磁懸浮軸承進(jìn)行頻率掃描，將其輸入更變?yōu)榉禐锳₀，角頻率為ω的正弦激勵信號。在實驗中，需要檢測功率放大器輸入信號S₁和電渦流位移傳感器信號S₂。頻率掃描的原理如圖5所示，可看到，所獲得的頻率響應(yīng)不僅包括磁懸浮軸承本體，還包括功率放大器和電渦流位移傳感器，在正常工作的情況下，這兩部分的傳遞函數(shù)可以等效為固定大小的增益環(huán)節(jié)。

正弦激勵的初始幅值大致確定為磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子最大位移的8%，然后按照能夠保持系統(tǒng)在較高頻率時穩(wěn)定的要求進(jìn)行適當(dāng)減小。激勵的頻率ω選取了10～500 Hz內(nèi)的一系列頻率，并按照固定的比例進(jìn)行變化。并且為了使得采樣時長為信號周期的整數(shù)倍，需要對頻率進(jìn)行修正，這樣能夠在不使用窗函數(shù)的情況下，減小計算量同時得到準(zhǔn)確的結(jié)果。

2）輸入與輸出信號的采集。

實驗中采用示波器對信號S₁和S₂進(jìn)行采集，示波器的采樣頻率為兆赫茲級，遠(yuǎn)高于磁懸浮軸承的工作頻率范圍，故可以忽略由采樣造成的延時誤差。所得到的數(shù)據(jù)為離散的時域序列，需要進(jìn)一步的采用計算機(jī)進(jìn)行離散傅里葉變換，以得到磁懸浮軸承在該頻率范圍下信號的幅值與相位信息。

假設(shè)經(jīng)過離散傅里葉變換后得到的頻率響應(yīng)信息分別為S₁（jω）和S₂（jω），令

S₁（jω）=A₁（ω）+jB₂（ω）； （4）

S₂（jω）=A₂（ω）+jB₂（ω）。（5）

將得到的輸入輸出響應(yīng)進(jìn)行處理，磁懸浮軸承系統(tǒng)的頻率響應(yīng)即可表示為

F（jω）=S₂（jω）S₁（jω）=A_Re（ω）+jB_Im（ω）。（6）

2.2 模型結(jié)構(gòu)及辨識算法

模型結(jié)構(gòu)的選取是系統(tǒng)辨識的前提，實驗得到頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)需要選擇合理的模型結(jié)構(gòu)，之后再計算得到系統(tǒng)最優(yōu)模型。傳遞函數(shù)的一般形式可以用如下的結(jié)構(gòu)進(jìn)行表示：

P^（s）=∑n，mi=1，j=1b_js^β_ja_is^α_i=N^（s）D^（s）。（7）

式中，為保持傳遞函數(shù)的統(tǒng)一性，令a_n=1。對實驗數(shù)據(jù)和擬合模型進(jìn)行作差，且定義為ε（ω），其表達(dá)式為

ε（ω）=A_Re（v）+jB_Im（ω）－N^（jω）D^（jω）。（8）

式（7）的系數(shù)求解問題可以轉(zhuǎn)化為多系數(shù)函數(shù)的最小二乘法求極值問題，即

f（a_u，b_v）=min∑n_fi=1|ε（ω_i）|²。（9）

式中u=0，1，…，m；v=0，1，…，n；n_f表示實驗數(shù)據(jù)中頻率響應(yīng)的個數(shù)。

然而直接對該式求導(dǎo)，所得到的方程為非線性方程，求解較為復(fù)雜。為使得問題簡化，將誤差乘上模型的分母^［17］，這樣轉(zhuǎn)化后的最小二乘極值問題可以用如下式表示：

f_EL（a_u，b_v）=min∑n_fi=1|ε（jω_i）D^（jω_i）|²。（10）

由于不同頻率處的分母不同，會使得擬合模型的誤差增加，因此對不同頻率處的分母引入加權(quán)系數(shù)以減小這種誤差^［18］。加權(quán)系數(shù)W（ω_i）的迭代計算公式如下，其中h表示目前迭代的次數(shù)。在迭代中令初始迭代中的W₁（ω_i）均為1。

至此利用式（11）中的迭代計算公式分別對未知系數(shù)a_u，b_v進(jìn)行求導(dǎo)，獲得線性矩陣方程如下：

C_p，qD_p，q

矩陣中各系數(shù)的詳細(xì)表達(dá)式（13）所示，c_r和d_r為常數(shù)。為了公式表達(dá)簡潔，將|F（jω_i）|簡寫成|F_i|，其他例如Re_i、Im_i和W_i分別是頻率為ω_i時的實驗頻率響應(yīng)的實部、虛部和分母加權(quán)系數(shù)。每次迭代中進(jìn)行該方程的求解，在迭代誤差小于給定值時終止計算，即可得到對應(yīng)誤差最小二乘極值的一組最優(yōu)模型系數(shù)。

3 掃頻結(jié)果的擬合分析

本節(jié)首先使用整數(shù)階的模型結(jié)構(gòu)對模型中的參數(shù)進(jìn)行求解，在1.2節(jié)中確定了理論模型的階次為2，相位為固定值-180°，然而通過實驗獲取到頻率響應(yīng)的相位滯后超過-180°，故需要對理論模型進(jìn)行增加階次等修改措施以擬合實驗數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)［19］提出，實心磁懸浮軸承由于渦流效應(yīng)的影響，會使得系統(tǒng)呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)階的特性，僅提高整數(shù)階模型的階次對擬合精確度的提升有限，故進(jìn)一步地使用了分?jǐn)?shù)階模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬合，以提高系統(tǒng)模型的精確度。最后對兩種模型結(jié)構(gòu)的擬合效果進(jìn)行了綜合分析。

3.1 整數(shù)階模型結(jié)構(gòu)擬合

首先對理論模型中的分母添加一次項，使其相位特性能夠滿足，此時的模型結(jié)構(gòu)為

對該模型結(jié)構(gòu)使用2.2節(jié)中的辨識算法，可以得到在滿足設(shè)定迭代誤差下的模型參數(shù)，具體為b₁=29.69，a₂=-265.31，a₁=-276 529.47。

將該模型結(jié)構(gòu)下的最優(yōu)模型與實驗頻率響應(yīng)繪制在同一伯德圖中，結(jié)果如圖6所示。從圖中可以看出采用分母添加一次項之后的二階模型在工作頻域內(nèi)的幅值特性有著較好的精確度，但在相位上有著較大的誤差，且在頻域的后半段與實際系統(tǒng)在相位上滯后的更多，誤差不斷增大。

為提升辨識模型的精確度，將模型結(jié)構(gòu)的階次提升至3階，此時其表達(dá)式為

P^₃（s）=b₁s³+a₃s²+a₂s¹+a₁。（15）

計算后得到模型中的參數(shù)為b₁=10 401.17，a₃=3 375.76，a₂=-684 713.32，a₁=-974 712 530.29。其最優(yōu)模型的伯德圖如圖7所示。

與二階辨識模型相比，三階辨識模型在幅值特性和相位特性上都能夠更好地描述實際系統(tǒng)，然而在高頻段上相位的描述還是不夠準(zhǔn)確，即100 Hz左右開始出現(xiàn)辨識模型的相位滯后超過實際系統(tǒng)的現(xiàn)象。當(dāng)整數(shù)階擬合模型的階數(shù)繼續(xù)提升時，所得到模型精確度的提升十分有限，通過提升整數(shù)階擬合模型的階數(shù)無法獲得精確度更為理想的模型。文獻(xiàn)［19］通過理論推導(dǎo)得出了模型結(jié)構(gòu)應(yīng)該位于2至3階之間。因此，為了能夠更加準(zhǔn)確地描述實際系統(tǒng)，采用分?jǐn)?shù)階模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)辨識。

3.2 分?jǐn)?shù)階模型結(jié)構(gòu)擬合

分?jǐn)?shù)階模型指式（7）中的α_n不在是整數(shù)，而是處于兩個整數(shù)之間的分?jǐn)?shù)形式。由于分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)并沒有明確的物理意義，模型結(jié)構(gòu)的階次較難直接確定。模型結(jié)構(gòu)的確定主要有兩個部分，一是模型項數(shù)的確定，二是模型階次的確定，即式中m和n的取值，和每項中α_i的確定。

首先是模型項數(shù)的確定，由圖6中的對比結(jié)果可知，實際系統(tǒng)是一個2階以上的系統(tǒng)，故在模型項數(shù)的確定上，根據(jù)模型誤差的變化趨勢依次增加分?jǐn)?shù)階項數(shù)的個數(shù)。其次是模型階次的確定，使用掃描的方法以縮小模型階次的范圍，并按照從高階次到低階次的順序確定每項的階數(shù)值，即先確定分母最高階次α_n，再按照0lt;α₂lt;α₃lt;…lt;α_n條件約束依次取值，該過程流程如圖8所示。

對于誤差準(zhǔn)則的選取，使用較多的準(zhǔn)則是均方差準(zhǔn)則，即式（16）所示。從該式中可以看出該準(zhǔn)則僅考慮了模型的幅值，而對于相位是沒有考慮到的。

f_J=∑Li=1|F（jω）－P^（jω）|²/L。（16）

為解決整數(shù)階模型存在的相位誤差，引入一個輔助準(zhǔn)則，從而使得相位誤差也可以納入到算法的考慮范圍之中。

f_E=∑Li=1|arg［F（jω）－P^（jω）］|/L。（17）

將上述的兩種誤差準(zhǔn)則取幾何平均值f_K，如式（18）所示，將其作為分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識的最終準(zhǔn)則，當(dāng)兩種誤差準(zhǔn)則都達(dá)到最小值時，即f_K最小時所得到的模型為最優(yōu)模型。

f_K=（f_Jf_E）^0.5。（18）

根據(jù)分?jǐn)?shù)階的模型結(jié)構(gòu)按照項數(shù)逐漸增加的形式提出以下3類模型，現(xiàn)對3種模型結(jié)構(gòu)及擬合結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)說明：

1）模型結(jié)構(gòu)P_f1。

P^_f1（s）=b₁s^α₃+a₂s+a₁。（19）

從整數(shù)階辨識結(jié)果中判斷，α₃所在的范圍為［2，3］，在該范圍內(nèi)使用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識掃描算法得出該范圍模型下的誤差f_K隨模型階次α₃的變化曲線如圖9所示。

從圖9中可以得到一個較小的范圍區(qū)間即2.2～2.3，以此類推，縮小步長對該區(qū)間進(jìn)一步的掃描。當(dāng)達(dá)到設(shè)定的迭代次數(shù)時，停止計算，得出系統(tǒng)在該模型結(jié)構(gòu)下的最優(yōu)模型參數(shù)為α₂=2.30，b₁=206.26，a₂=-597.87，a₁=-2 030 172.51。f₁結(jié)構(gòu)最優(yōu)模型的伯德圖如圖10所示。

由圖10中可以看出采用f₁模型結(jié)構(gòu)時，兩者在幅值上的誤差較小，在相位上仍存在較大的誤差，但與2階模型相比，其相位在高頻段時，能夠更好地描述實際系統(tǒng)。其原因是與2階辨識系統(tǒng)相比，f₁模型結(jié)構(gòu)的階次更高，描述系統(tǒng)的變量更多。但f₁只采用了一個未知階次變量α₃，并不能在整個頻域內(nèi)保持較好的相位誤差，故進(jìn)一步添加未知階次變量，即f₂模型結(jié)構(gòu)。

2）模型結(jié)構(gòu)P_f2。

P^_f2（s）=b₁s^α₃+a₂s^α₂+a₁。（20）

對于該模型掃描的基本步驟為先確定α₃的值，再確定α₂的值。設(shè)定α₃的初始范圍仍然為［2，3］，其初始掃描的步長設(shè)為0.1，然后在每個確定的α₃下對α₂進(jìn)行掃描計算，為了盡可能地包含各個階次組合，選取α₂的范圍為［0.1，α₃-λ］。當(dāng)?shù)谝淮螔呙柰瓿珊?，根?jù)誤差f_K確定一個比初始范圍小的范圍區(qū)間，將這個新的范圍區(qū)間作為α₃的范圍并縮小步長再一次進(jìn)行掃描計算，直到達(dá)到設(shè)定的迭代次數(shù)。取最后一次計算中的誤差f_K最小時對應(yīng)的α₃作為該結(jié)構(gòu)模型的最優(yōu)參數(shù)。當(dāng)確定了α₃的系數(shù)后，采用1）中的算法對α₂進(jìn)行迭代計算，獲取最優(yōu)參數(shù)。

通過迭代的方式最終計算得到在f₂模型結(jié)構(gòu)下的最優(yōu)模型參數(shù)為α₃=2.30，α₂=0.66，b₁=215.08，a₂=-5 750.94，a₁=-2 028 527.03。f₂最優(yōu)模型的伯德圖如圖11所示。

由圖11中可以看出，f₂模型結(jié)構(gòu)在幅值和相位的描述上相對于f₁模型結(jié)構(gòu)在擬合精確度上都有一定程度的提升。從結(jié)果上來看，提高分?jǐn)?shù)階模型的階次項可以增加模型在整個頻域上的擬合精確度；與整數(shù)階模型中的3階模型相比，其相位特性不僅在低頻段上能夠被較好地描述，在高頻段上也能夠保持一定的精確度。然而，對于更高頻域的相位描述，該模型結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)誤差逐漸增大的趨勢。因此，為了消除該趨勢并提升模型精確度，進(jìn)一步增加項數(shù)。

3）模型結(jié)構(gòu)P_f3。

P^_f3（s）=b₁s^α₄+a₃s^α₃+a₂s^α₂+a₁。（21）

該模型結(jié)構(gòu)的參數(shù)算法與2）中的類似，即α₄、α₃和α₂依次確定。掃描中α₄的初始范圍設(shè)置為［2，3］，并按照α₄gt;α₃gt;α₂的約束進(jìn)行迭代計算。

最終通過計算得到在f₂模型結(jié)構(gòu)下的最優(yōu)模型參數(shù)為α₄=2.50，α₃=1.63，α₂=1.52，b₁=1 499.30，a₃=1 545.09，a₂=-2 856.97，a₁=-14 640 476.76。f₂結(jié)構(gòu)最優(yōu)模型的伯德圖如圖12所示。

模型結(jié)構(gòu)f₃能夠達(dá)到較高的一致性，與f₂類辨識模型相比無論是在幅值還是在相位上都有著更高的精確度，能夠很好地描述實際系統(tǒng)。理論上可以通過再增加分?jǐn)?shù)階模型的項數(shù)以提高模型的整體精確度，但是過于復(fù)雜的模型對于控制器和算法設(shè)計上沒有意義。

3.3 辨識結(jié)果分析

綜合系統(tǒng)辨識結(jié)果可以看出，磁路法理論推導(dǎo)出的2階模型無法準(zhǔn)確地描述實際系統(tǒng)。這種情況的原因是在磁懸浮軸承在實際運行過程中，為應(yīng)對轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)帶來的不平衡振動等因素，線圈中的控制電流通常不是一個穩(wěn)定的直流，而是幅值和頻率存在變化的電流。在磁路模型的建立中忽略的渦流、磁滯、磁飽和、漏磁、邊緣效應(yīng)和過盈裝配等因素會被放大，從而導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)幅值和相位的改變，這種現(xiàn)象在采用實心材料的軸向磁懸浮軸承中更為明顯。

從兩種模型結(jié)構(gòu)的擬合結(jié)果中可以看出，隨著模型中項數(shù)不斷增加，擬合精確度也隨之增加。該現(xiàn)象的原因是分母項數(shù)增加使得系統(tǒng)模型描述整個頻域的自由度增多，使得系統(tǒng)模型能夠在各頻段下準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)特性，從而達(dá)到較高的精確度。在綜合兩種類別的結(jié)果后，可以發(fā)現(xiàn)整數(shù)階系統(tǒng)在中低頻段時，幅值特性的描述已經(jīng)能夠達(dá)到一定的精確度，但相位特性的描述還存在一定的誤差。分?jǐn)?shù)階的模型結(jié)構(gòu)能夠彌補(bǔ)整數(shù)階模型在相位特性描述上的問題，使得模型的精確度進(jìn)一步提高。但是其系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)也更為復(fù)雜。對于選擇合適的模型進(jìn)行控制器的設(shè)計也是一個值得研究的問題，然而分?jǐn)?shù)階模型在整數(shù)階模型無法繼續(xù)提高精確度的情況下，為更加精確的模型建立提供了另一種方式，這對設(shè)計高性能控制和接近更加真實情況下的仿真提供了參考。

4 結(jié) 論

本文針對由于實心軸向磁懸浮軸承渦流效應(yīng)顯著而帶來的建模問題，采用了閉環(huán)頻域系統(tǒng)辨識的方法對一種混合型磁懸浮軸承的軸向部分進(jìn)行了建模。由于整數(shù)階模型難以準(zhǔn)確描述系統(tǒng)相位特性，在整數(shù)階模型辨識算法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了分?jǐn)?shù)階模型辨識算法，對其誤差準(zhǔn)則和辨識流程進(jìn)行了定義和闡述。結(jié)果表明，整數(shù)階模型對于系統(tǒng)幅值特性描述較好，而相位特性存在較大誤差。分?jǐn)?shù)階模型相較于整數(shù)階在相同的項數(shù)下有著更高的幅值和相位精確度。

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（編輯：劉素菊）