在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）中，將“建模思想”作為學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分。在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程中，建模思想扮演著至關(guān)重要的角色。信息技術(shù)的發(fā)展，為課程教學(xué)帶來(lái)更多的改革契機(jī)，其中，微課程的應(yīng)用備受關(guān)注。在培養(yǎng)學(xué)生建模思想的過(guò)程中應(yīng)用微課程，能夠讓抽象問(wèn)題具象化，更貼合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與能力基礎(chǔ)，并保證學(xué)生參與的積極性和自主探究空間，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?；诖?，本文基于建模思想，探索了開(kāi)發(fā)初中數(shù)學(xué)微課程資源的原則以及具體做法。

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生建模思想的意義

建模思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，旨在應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法解答實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)做到簡(jiǎn)化與類比問(wèn)題，讓數(shù)學(xué)解題過(guò)程更便捷。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的建模思想，不僅吻合新課標(biāo)的具體要求，也能讓學(xué)生在思考中感受數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值所在以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，對(duì)于提高學(xué)生的分析能力與思維能力大有裨益。

二、基于建模思想開(kāi)發(fā)初中數(shù)學(xué)微課程資源的原則

建模思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中占有重要地位。微課程的應(yīng)用，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更加形象化，且符合學(xué)生的興趣點(diǎn)?；诮Ｋ枷胩剿鞒踔袛?shù)學(xué)微課程的開(kāi)發(fā)策略，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生建模思想乃至學(xué)科核心素養(yǎng)具有深遠(yuǎn)意義。在基于建模思想開(kāi)發(fā)初中數(shù)學(xué)微課程資源時(shí)，教師需要把握并遵循以下原則：

（一）表達(dá)與思維訓(xùn)練相結(jié)合

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生不僅需要獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，還要建立數(shù)學(xué)思維并做到遷移運(yùn)用。所以，在編制建模類的微課資源時(shí)，教師要關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生站在數(shù)學(xué)的角度思考生活問(wèn)題，助力學(xué)生表達(dá)與思維能力實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化發(fā)展。

（二）自主探究與合作相結(jié)合

在編制微課時(shí)，數(shù)學(xué)教師需要綜合考慮教師的“教”以及學(xué)生的“學(xué)”，并體現(xiàn)學(xué)生的“主體地位”。首先，教師要為學(xué)生提供合作空間，讓學(xué)生在合作中提高學(xué)習(xí)效率。同時(shí)，也要激勵(lì)學(xué)生自主思考與判斷，促進(jìn)學(xué)生對(duì)模型思想的感悟和體驗(yàn)，進(jìn)而讓學(xué)生內(nèi)化為素養(yǎng)與品質(zhì)。

（三）模型抽象與經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合

模型相當(dāng)于概括了某一事物在數(shù)量關(guān)系以及空間形式上的關(guān)系，并用概念或者符號(hào)進(jìn)行表示。對(duì)此，在編制微課程時(shí)，教師要注意學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，將其作為編制微課的出發(fā)點(diǎn)，讓原本抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象、具體。這樣，學(xué)生可以由此形成感性認(rèn)識(shí)，也為遷移運(yùn)用模型思想打好基礎(chǔ)。

三、基于建模思想的初中數(shù)學(xué)微課程資源開(kāi)發(fā)策略探索

在建模思想引導(dǎo)下的初中數(shù)學(xué)微課程資源開(kāi)發(fā)過(guò)程中，教師需要緊扣新課標(biāo)中有關(guān)建模思想的培養(yǎng)要求，合理安排微課內(nèi)容。在此基礎(chǔ)上，優(yōu)化微課中的題目資源，讓學(xué)生在題目中獲得更多參與和探究數(shù)學(xué)知識(shí)的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。另外，教師要在綜合實(shí)踐應(yīng)用課程中應(yīng)用微課程資源，讓微課在綜合性活動(dòng)中發(fā)揮引導(dǎo)作用。關(guān)于微課程資源的開(kāi)發(fā)策略，具體如下：

（一）深入解讀新課標(biāo)，明確建模思想的要求

在新課標(biāo)中，將建模思想作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。嚴(yán)格貫徹落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)，可以真正培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。在開(kāi)發(fā)微課程時(shí)，大部分教師更傾向于依仗個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，往往對(duì)涉及模型思想的教學(xué)內(nèi)容處理不當(dāng)，降低了微課程的開(kāi)發(fā)質(zhì)量。教師要深入理解新課標(biāo)，精準(zhǔn)把握建模思想的核心，由此明確微課程的開(kāi)發(fā)方向。

以“垂線段最短定理”為例，大部分教師會(huì)直接將教材案例融合在微課中，然后讓學(xué)生自行練習(xí)并得出結(jié)論。此類講述模式看似清晰到位，但不符合新課標(biāo)中“學(xué)會(huì)獨(dú)立思考、體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式”的要求，未能保證學(xué)生的自主探究時(shí)間與空間。結(jié)合這種微課程資源，學(xué)生只能按照教師的思路走下去，難以深入理解“垂線段最短定理”這一概念。在遇到問(wèn)題時(shí)，大部分學(xué)生無(wú)法聯(lián)系定理模型，做到遷移運(yùn)用。所以，教師在開(kāi)發(fā)微課程前，一定要深入分析新課標(biāo)中有關(guān)“建模思想”的表述。例如，新課標(biāo)中提到“模型思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在高層次上的抽象與概括”，可見(jiàn)微課的開(kāi)發(fā)不能局限在應(yīng)用層面，需要體現(xiàn)多樣性、深層次特征。為此，在開(kāi)發(fā)新課、鞏固課、復(fù)習(xí)課等多種課程的微課時(shí)，教師可以滲透模型思想。例如，教師可以在微課中創(chuàng)設(shè)“垂線段最短定理”的問(wèn)題情境，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)微課時(shí)，參與建模過(guò)程并做到求解驗(yàn)證，讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)模型思想。

（二）靈活利用教材資源，合理安排微課內(nèi)容

魯教版初中數(shù)學(xué)教材的諸多章節(jié)均與建模思想關(guān)系密切，滲透程度也比較深。然而，由于教師對(duì)建模思想的重視程度不足，沒(méi)有深入、細(xì)致分析建模思想，導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)出現(xiàn)偏差。例如，有的教師將“培養(yǎng)模型思想”作為高階教學(xué)目標(biāo)，認(rèn)為“模型思想很深?yuàn)W”，這是錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。分析中考題后不難看出，建模思想多出現(xiàn)在基礎(chǔ)題和中等難度的題型中，可見(jiàn)初中階段的模型思想是學(xué)生需要形成的基本素養(yǎng)。在開(kāi)發(fā)微課程時(shí)，教師要立足于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，合理安排微課內(nèi)容并把握建模思想的要求，將建模思想滲透到基本概念、簡(jiǎn)單問(wèn)題的微課程中。此外，在基于模型思想開(kāi)發(fā)微課時(shí)，教師還要結(jié)合教材的編排順序，做到循序漸進(jìn)、螺旋上升。換言之，教師要從模型思想的角度分析每一章的內(nèi)容，合理把握每一章中滲透的建模思想，進(jìn)而形成循序漸進(jìn)的建模思想培養(yǎng)體系。

以“方程思想”為例，關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容有一元一次方程、二元一次方程組、分式方程等，分配在不同年級(jí)。每一部分內(nèi)容都以“定義”為開(kāi)端，然后講述方程解法并設(shè)計(jì)了遷移運(yùn)用內(nèi)容。在學(xué)習(xí)方程的相關(guān)章節(jié)時(shí)，學(xué)生能夠經(jīng)歷“建立方程模型—解方程—應(yīng)用方程模型”等過(guò)程。為此，在編制微課時(shí)，教師可以參照上述過(guò)程或者結(jié)合“一次整式方程—有理方程—二次整式方程”的順序，在微課中體現(xiàn)不同方程模型的異同點(diǎn)與聯(lián)系性，進(jìn)而完善學(xué)生對(duì)建模思想的認(rèn)知，促使他們掌握“方程”與“數(shù)學(xué)模型”之間的關(guān)系。

（三）適當(dāng)改編題目，增強(qiáng)題目應(yīng)用效力

數(shù)學(xué)例題最能體現(xiàn)建模思想的價(jià)值和作用，也是教師在微課中滲透建模思想的關(guān)鍵素材。教材中與建模有關(guān)的問(wèn)題有例題、課后習(xí)題等，都能用來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的建模思想。

需要注意的是，部分微課的編制都需要經(jīng)過(guò)“現(xiàn)實(shí)抽象”這一過(guò)程，盡管優(yōu)化了情境，也能讓數(shù)據(jù)信息更明確，但題目開(kāi)放度不足。學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)以及固定的套路就能解決問(wèn)題，難以進(jìn)行數(shù)學(xué)建模練習(xí)，不利于他們形成建模思想。久而久之，學(xué)生會(huì)認(rèn)為“建模思想僅僅是解題工具”，進(jìn)而對(duì)建模思想形成狹隘的認(rèn)知。而且，很多學(xué)生的建模意識(shí)薄弱，遇到問(wèn)題時(shí)也不知該如何建立模型。對(duì)此，數(shù)學(xué)教師結(jié)合多年教學(xué)活動(dòng)中積累的豐富典型例題，將其加入微課中，并進(jìn)行適當(dāng)改編，讓題目更加現(xiàn)實(shí)、模糊、開(kāi)放，同時(shí)提高問(wèn)題難度。在解題過(guò)程中，學(xué)生也要經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，并在潛移默化中挖掘題目的內(nèi)在價(jià)值。如圖1所示，該題目考查學(xué)生對(duì)全等三角形知識(shí)的遷移運(yùn)用情況，也是全等三角形的典型例題。題目中沒(méi)有復(fù)雜的情境，只對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行了簡(jiǎn)單描述，而且數(shù)據(jù)信息清晰明確。學(xué)生無(wú)須假設(shè)模型、建立模型，便可順利求解題目。更重要的是，微課題目中直接給出了模型，學(xué)生直接應(yīng)用全等三角形的相關(guān)知識(shí)便可以解答并闡述模型的意義。此類題目能夠鞏固學(xué)生在課堂學(xué)到的知識(shí)，但是缺乏建模過(guò)程，難以培養(yǎng)學(xué)生的建模思想。

圖1 全等三角形例題

針對(duì)此題目，教師可以利用微課制作技術(shù)的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行改編。具體如下：景區(qū)內(nèi)有一個(gè)天然湖泊，圖形不規(guī)則。景點(diǎn)管理人員希望在湖泊兩端甲、乙位置之間建立一座橋梁，但是自身?xiàng)l件有限，無(wú)法直接測(cè)量甲乙間距。此時(shí)讓學(xué)生化身景區(qū)工作人員，自行設(shè)計(jì)測(cè)量方案并闡述依據(jù)。

改編后的微課題目情境更豐富。首先，給出了“讓景點(diǎn)更具觀賞性”的目標(biāo)，讓學(xué)生在題目與實(shí)際生活之間建立聯(lián)系。其次，教師利用微課技術(shù)，加入了觀賞性圖片，提升了“顏值”。最后，也是最關(guān)鍵的部分，題目中沒(méi)有具體的數(shù)據(jù)信息，需要學(xué)生實(shí)際測(cè)量才能獲取數(shù)據(jù)，題目描述更模糊，也更加開(kāi)放。在處理改編后的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需要處理很多現(xiàn)實(shí)因素，同時(shí)測(cè)量工具也會(huì)影響最終結(jié)果。在問(wèn)題解決之前，學(xué)生要準(zhǔn)備好工具，還要掌握景區(qū)所在區(qū)域的地形情況；開(kāi)始構(gòu)建模型時(shí)，學(xué)生需要將景區(qū)地勢(shì)轉(zhuǎn)化為平面，使用測(cè)量工具測(cè)量地面隨意兩點(diǎn)的距離，隨后建立直角三角形、全等三角形等多種模型，通過(guò)求解并驗(yàn)證等確定最終方案。在此類微課題目中，學(xué)生能夠親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，經(jīng)歷提出假設(shè)并建立模型，然后調(diào)整、校正模型等過(guò)程，在潛s0fYBB1QyUeigI6P/pHN0TzEcTtiu9+S1hniwcVlFWk=移默化中滲透并促進(jìn)學(xué)生形成建模思想。同時(shí)，改編后的題目更有深度，也更能鍛煉學(xué)生的解題能力。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生探索不同的解題方式，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更加貼合新課標(biāo)的要求，并讓建模思想根植于學(xué)生內(nèi)心。

（四）設(shè)計(jì)綜合實(shí)踐類的微課，促進(jìn)學(xué)生綜合發(fā)展

學(xué)生形成建模思想，與“圖形與幾何”模塊關(guān)系密切。教師設(shè)計(jì)“圖形與幾何”模塊的微課資源時(shí)，要注重讓學(xué)生了解幾何知識(shí)的背景，并保證學(xué)生有自主感受與操作的空間，使其體會(huì)幾何知識(shí)在生活中的應(yīng)用價(jià)值。新課標(biāo)明確了“綜合實(shí)踐活動(dòng)”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的關(guān)鍵作用，而微課資源的應(yīng)用，也為教師設(shè)計(jì)綜合實(shí)踐活動(dòng)提供了更多便利。所以，在微課環(huán)境中安排一系列活動(dòng)，教師可以讓學(xué)生遷移運(yùn)用課程知識(shí)，并處理實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、分析數(shù)據(jù)信息的過(guò)程中，提高思維能力并推理事物的發(fā)展趨勢(shì)，在潛移默化中強(qiáng)化學(xué)生的建模意識(shí)、空間觀念以及符號(hào)意識(shí)。而且，學(xué)生在親歷活動(dòng)的過(guò)程中，可以獲得成功體驗(yàn)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。

例如，在開(kāi)發(fā)“制作盡可能大的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子”的微課程時(shí)，由于學(xué)生此前已經(jīng)積累了簡(jiǎn)單幾何體、代數(shù)式等知識(shí)以及探索經(jīng)驗(yàn)，且具備探索與研究能力和自主學(xué)習(xí)的品質(zhì)，所以教師結(jié)合上述學(xué)情按照以下步驟開(kāi)發(fā)微課程：

第一，創(chuàng)設(shè)情境。在微課中安排剪紙視頻，讓學(xué)生思考剪紙的由來(lái)，體會(huì)該藝術(shù)形式的魅力，并體會(huì)數(shù)學(xué)與剪紙藝術(shù)之間的關(guān)系。教師可以在微課中提出以下問(wèn)題：“如何使用一張正方形紙板，制作無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子？怎樣讓盒子容積更大？”讓學(xué)生嘗試剪一剪。

第二，化簡(jiǎn)情境。該環(huán)節(jié)則是建立微課活動(dòng)與數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。在微課中，教師可以提供以下問(wèn)題鏈“如何將正方形剪成長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖”“長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的特征有哪些”“何種長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的制作難度更小”“剪掉的部分是何種形狀”，讓學(xué)生圍繞問(wèn)題剪一剪。在觀察微課視頻中的長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)去掉的圖形全是長(zhǎng)方形，剩下的為五個(gè)長(zhǎng)方形，其中又有四個(gè)長(zhǎng)方形與底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相同。此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試以下回答：“如何用正方形卡紙制作無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子”，并引導(dǎo)學(xué)生將自己的想法付諸現(xiàn)實(shí)。這樣，設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)的微課內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)觀察、積極嘗試、大膽猜想、歸納分析，在潛移默化中提高學(xué)生的實(shí)踐與推理能力。

第三，情境的數(shù)學(xué)化處理。此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)獲得了長(zhǎng)方體盒子的展開(kāi)圖，且微課中出現(xiàn)了“正方形和小正方形的長(zhǎng)、寬、高都是哪條邊”“如果大、小正方形的邊長(zhǎng)分別表示為a、b，長(zhǎng)方體體積為V，如何表示體積”等問(wèn)題，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生建立兩類正方形邊長(zhǎng)與長(zhǎng)方體盒子長(zhǎng)寬高的聯(lián)系。當(dāng)學(xué)生列出V與a、b的關(guān)系后，教師可以利用微課視頻提出“當(dāng)b增加時(shí)，V如何變化”的問(wèn)題。微課中的問(wèn)題層層逐漸深入，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)，基于情境和經(jīng)驗(yàn)抽象出數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)化處理得出答案的同時(shí)，也提高了學(xué)生的建模與假設(shè)能力。

第四，模型評(píng)估。在上一步，學(xué)生求得了V=（a-2b）2b的容積求解公式。此時(shí)，教師可以借助微課提出“正方形紙板的邊長(zhǎng)為30cm”，讓學(xué)生求出b的取值范圍。學(xué)生依次假設(shè)b為1～10，然后按照公式求解每一種情況下的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子底面積與容積。隨后，教師可以出示下一個(gè)問(wèn)題：“使用統(tǒng)計(jì)圖表示b與V的變化情況”，讓學(xué)生動(dòng)腦分析。事實(shí)上，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了建立模型、解決實(shí)際問(wèn)題的主要過(guò)程，能夠利用建立的模型解釋這一問(wèn)題。例如，微課中提到“當(dāng)b=3cm時(shí)，V是否為最大”“當(dāng)b=3.1cm時(shí)，V是否為最大”等，讓學(xué)生一步步驗(yàn)證模型并處理信息，然后得到結(jié)論并引發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑。

在上述過(guò)程中，教師可以結(jié)合幾何體課程知識(shí)以及學(xué)生的思維特征，通過(guò)微課發(fā)布了綜合實(shí)踐活動(dòng)并預(yù)設(shè)一系列問(wèn)題，借助微課引導(dǎo)學(xué)生深入思考、深入探究。在微課情境中，學(xué)生能夠建立模型并推導(dǎo)、驗(yàn)證自己的結(jié)論，進(jìn)而提高學(xué)生的思維能力、創(chuàng)造能力以及檢驗(yàn)反思能力。在編制綜合活動(dòng)類的微課資源時(shí)，教師需要緊密對(duì)接培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，讓學(xué)生在運(yùn)用建模思想解決活動(dòng)中問(wèn)題，同時(shí)加深學(xué)生對(duì)建模思想的理解與感悟。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，培養(yǎng)建模思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵任務(wù)。以新課標(biāo)為基礎(chǔ)，圍繞該目標(biāo)探索微課程資源的開(kāi)發(fā)策略，能夠讓建模思想的培養(yǎng)過(guò)程更鮮活生動(dòng)，更加貼合學(xué)生的興趣與認(rèn)知規(guī)律。在微課的引導(dǎo)下，學(xué)生會(huì)積極、主動(dòng)地參與建?；顒?dòng)并經(jīng)歷應(yīng)用建模思想的全過(guò)程，對(duì)于學(xué)生形成建模思想以及發(fā)展綜合素養(yǎng)具有重要意義。

注：本文系淄博市周村區(qū)教育科學(xué)規(guī)劃課題“基于建模思想的初中數(shù)學(xué)微課程資源開(kāi)發(fā)研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：2024ZHJKJ05）的研究成果。