基于稀疏恢復(fù)的快速高精度DOA估計(jì)算法
2024-11-25 00:00:00劉魯濤徐國(guó)珩王振
系統(tǒng)工程與電子技術(shù) 2024年11期
摘要： 傳統(tǒng)的基于稀疏恢復(fù)的波達(dá)方向（direction of arrival， DOA）估計(jì)算法使用密集的采樣網(wǎng)格，導(dǎo)致計(jì)算量顯著增加，且對(duì)鄰近入射信號(hào)的估計(jì)精度不高。針對(duì)這一問題，提出一種快速高精度DOA估計(jì)算法。該算法首先使用網(wǎng)格進(jìn)化方法降低網(wǎng)格點(diǎn)總數(shù)。然后，對(duì)噪聲方差和信號(hào)功率進(jìn)行二次估計(jì)，進(jìn)而使用離網(wǎng)求根稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（off-grid root sparse Bayesian learning， OGRSBL）技術(shù)來實(shí)現(xiàn)入射角的精確估計(jì)。仿真表明，相比傳統(tǒng)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)類算法，所提算法計(jì)算效率高，同時(shí)對(duì)緊鄰信號(hào)有著更好的估計(jì)能力。
關(guān)鍵詞： 波達(dá)方向估計(jì); 離網(wǎng); 網(wǎng)格進(jìn)化; 稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)
中圖分類號(hào)： TN911.7
文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A
DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.11.05
Fast and high precision DOA estimation algorithm based on sparse recovery
LIU Lutao*， XU Guoheng， WANG Zhen
（College of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）
Abstract： The conventional direction of arrival （DOA） estimation algorithm based on sparse recovery uses dense sampling grids， resulting in significantly increased computational complexity and low estimation accuracy for adjacent signals. To address this issue， this manuscript proposes a fast and high accuracy DOA estimation algorithm. Firstly， starting from sparse grids， the grid evolution method is used to reduce the total number of grid points. Noise variance and signal power are estimated again， then use off-grid root sparse Bayesian learning （OGRSBL） technique to calculate the accurate estimation of incident angle. Simulation results show that compared to conventional sparse Bayesian learning algorithms， the proposed algorithm has higher computational efficiency with higher accuracy for closely spaced signals.
Keywords： direction of arrival （DOA） estimation; off-grid; grid evolution; sparse Bayesian learning （SBL）
0 引 言
波達(dá)方向（direction of arrival， DOA）估計(jì)技術(shù)是陣列信號(hào)處理的重要內(nèi)容，一直被廣泛地應(yīng)用在天線、雷達(dá)、通信［1］等領(lǐng)域。許多子空間類算法，如多信號(hào)分類（multiple signal classification， MUSIC）［2］等，在近幾十年來一直受到大量學(xué)者的關(guān)注。這類算法與波束形成類算法相比具有超分辨能力，然而在低信噪比、小快拍數(shù)等環(huán)境下，這類算法的估計(jì)精度會(huì)顯著下降。
近年來，學(xué)者們將稀疏表示理論引入DOA估計(jì)并得到大量研究成果，主要有貪婪追蹤類［3-6］、凸松弛類［7-8］和稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（sparse Bayesian learning， SBL）類算法。前兩類算法在目標(biāo)估計(jì)、雷達(dá)成像等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用［9-11］。SBL類算法最初由Tipping［12］在2001年為了解決機(jī)器學(xué)習(xí)中的回歸與分類問題，基于相關(guān)向量機(jī)（relevance vector machine， RVM）模型提出，之后Tipping等人又提出快速SBL（fast SBL， FSBL）算法［13］，在迭代過程中不斷增加或刪減基向量，減少了計(jì)算量，從而加快算法的收斂速度。文獻(xiàn)［14］首次將SBL理論引入壓縮感知領(lǐng)域，在貝葉斯框架下，研究壓縮感知的信號(hào)重構(gòu)問題，并提出一種單任務(wù)貝葉斯壓縮感知（single-task Bayesian compress sensing， ST-BCS）算法;之后又針對(duì)多快拍模型，提出一種多任務(wù)貝葉斯壓縮感知（multi-task Bayesian compress sensing， MT-BCS）方法［15］。文獻(xiàn)［16］通過分層方式對(duì)信號(hào)賦予拉普拉斯先驗(yàn)，提高重建性能。文獻(xiàn)［17］將SBL用于DOA估計(jì)，提出RVM-DOA算法，并提出一種精細(xì)的一維搜索方法來計(jì)算離網(wǎng)誤差。文獻(xiàn)［18］通過泰勒一階展開的方法將離網(wǎng)誤差加入到過完備字典中，提出離網(wǎng)稀疏貝葉斯推斷（off-grid sparse Bayesian inference， OGSBI）算法，該算法能夠在粗糙網(wǎng)格上實(shí)現(xiàn)對(duì)入射角度的精確估計(jì)。文獻(xiàn)［19］使用多項(xiàng)式求根的方法來求解離網(wǎng)誤差，提出離網(wǎng)求根SBL（off-grid root sparse Bayesian learning， OGRSBL）方法，相比OGSBI方法降低了建模誤差以及計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)［20］將各種SBL類算法的運(yùn)算復(fù)雜度進(jìn)行對(duì)比，為算法的應(yīng)用提供了參考。文獻(xiàn)［21］根據(jù)OGRSBL提出一種能夠在存在幅相誤差的條件下進(jìn)行DOA估計(jì)的方法。文獻(xiàn)［22］通過酉變換將估計(jì)模型實(shí)數(shù)化，提高計(jì)算速度。文獻(xiàn)［23］提出一種對(duì)于非均勻線陣接收信號(hào)模型也能夠進(jìn)行實(shí)數(shù)化的方法，并且該方法對(duì)于噪聲也有一定的抑制作用。文獻(xiàn)［24］將SBL類算法引入到壓縮陣列中，在避免了孔徑降低的同時(shí)得到優(yōu)秀的估計(jì)精度。文獻(xiàn)［25］將廣義雙Pareto先驗(yàn)應(yīng)用于SBL算法中，提高估計(jì)精度;文獻(xiàn)［26］提出一種基于sinc函數(shù)插值的離網(wǎng)模型，降低離網(wǎng)誤差。
以上介紹的基于SBL的DOA估計(jì)算法都是基于網(wǎng)格模型的，難以兼顧估計(jì)精度和算法速度，為提高估計(jì)精度采用密集的網(wǎng)格會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量增加，從而犧牲計(jì)算速度。而且，傳統(tǒng)的SBL類算法對(duì)緊鄰的兩個(gè)入射信號(hào)的分辨能力不佳。本文提出一種計(jì)算速度快并且對(duì)緊鄰信號(hào)區(qū)分能力較強(qiáng)的算法：首先采用網(wǎng)格進(jìn)化方法［27］，從一個(gè)非常粗糙的網(wǎng)格開始，不斷分裂，向目標(biāo)角度位置處加入新的網(wǎng)格點(diǎn)，但總體網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)保持在一個(gè)較小的水平;其次使用最大似然方法對(duì)噪聲方差進(jìn)行二次估計(jì)，提高對(duì)緊鄰信號(hào)的分辨能力;最后對(duì)于分裂得到的新網(wǎng)格，使用OGRSBL方法進(jìn)行超參數(shù)二次估計(jì)，得到精確的DOA估計(jì)值。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新之處在于：改進(jìn)網(wǎng)格進(jìn)化方法中對(duì)潛在可分裂網(wǎng)格點(diǎn)的選取，并使用網(wǎng)格進(jìn)化方法對(duì)文獻(xiàn)［28］中的網(wǎng)格插值方法進(jìn)行優(yōu)化，在SBL算法的收斂過程中不斷加入新網(wǎng)格點(diǎn)；同時(shí)保持總體網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)較小，兼顧估計(jì)精度及計(jì)算速度。仿真表明，相比較其他SBL類算法，該算法的計(jì)算速度較快，在處理緊鄰信號(hào)時(shí)，能得到更顯著的空間譜譜峰，同時(shí)估計(jì)誤差更小。
1 離網(wǎng)信號(hào)模型
考慮有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)同時(shí)入射到一個(gè)由M個(gè)陣元組成的均勻線陣上，入射角分別為θ=［θ1，θ2，…，θK］，則入射信號(hào)的接收模型可以表示為
式中：陣列接收的總快拍數(shù)為L(zhǎng)；y（t）=［y1（t），y2（t），…，yM（t）］T，s（t）=［s1（t），s2（t），…，sK（t）］T和e（t）=［e1（t），e2（t），…，eM（t）］T分別是第t個(gè)快拍陣列的輸出、入射信號(hào)以及高斯白噪聲向量，入射信號(hào)與噪聲相互獨(dú)立，噪聲方差為σ2；A（θ）=［a（θ1），a（θ2），…，a（θK）］表示陣列流形矩陣，其中的元素a（θk）=［1，e－j2πd sin（θk）/λ，…，e－j2π（M－1）d sin（θk）/λ］T表示入射角度為θk時(shí)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量，d為均勻線陣兩個(gè)相鄰陣元的間隔，λ為波長(zhǎng)，在本文中，d=1/2λ。
為了構(gòu)建信號(hào)的稀疏表示模型，首先將空間角度［－90°，90°］均勻劃分為N個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，其中Klt;lt;N，得到網(wǎng)格θ～=［θ～1，θ～2，…，θ～N］。隨后，將式（1）中的接收模型轉(zhuǎn)化為過完備稀疏表示：
式中：A（θ～）=［a（θ～1），a（θ～2），…，a（θ～N）］;x（t）是一個(gè)稀疏向量，其中大部分元素為0，只有少數(shù)元素不為0，非零元素的位置對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)可以用于估計(jì)入射角度。由于入射角度一般不會(huì)恰好落在網(wǎng)格點(diǎn)處，因此存在離網(wǎng)誤差，即入射角度與離其最近的網(wǎng)格點(diǎn)之間的誤差。通過泰勒一階展開，對(duì)稀疏表示模型進(jìn)行線性近似：
式中：b（θ～nk）=a′（θ～nk）；θ～nk表示距離入射角度θk最近的網(wǎng)格點(diǎn)角度，則θk－θ～nk就是該網(wǎng)格角度的離網(wǎng)誤差βn。令A(yù)=［a（θ～1），a（θ～2），…，a（θ～N）］，B=［b（θ～1），b（θ～2），…，b（θ～N）］，β=［β1，β2，…，βN］，Φ（β）=A+B diag（β），其中diag（·）表示將向量轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)角矩陣。對(duì)于n=1，2，…，N，有
將修改后的過完備字典代入式（2）得到單快拍模型：
當(dāng)收集到L個(gè)快拍時(shí)，式（5）變?yōu)槎嗫炫哪Ｐ停仃囆问奖磉_(dá)式［18］為
式中：Y=［y（1），y（2），…，y（L）］;X=［x（1），x（2），…，x（L）］;E=［e（1），e（2），…，e（L）］。
2 SBL模型
由于假設(shè)噪聲為圓對(duì)稱復(fù)高斯白噪聲，因此得到
式中：α0=σ－2表示噪聲的精度;σ2是噪聲的方差;CN（·）表示復(fù)高斯分布。
在圓對(duì)稱復(fù)高斯白噪聲的假設(shè)下，得到式（6）中測(cè)量矩陣Y的表達(dá)式：
假設(shè)噪聲精度α0未知，由于Gamma超先驗(yàn)是高斯分布的共軛先驗(yàn)，因此為α0賦予Gamma超先驗(yàn)：
式中：Γ{·}表示Gamma函數(shù);Γ（α0|c，d）=［Γ（c）］－1·dcαc－10exp［－dα0］，c和d是兩個(gè)極小的正數(shù)。
對(duì)于聯(lián)合稀疏矩陣X，假設(shè)不同快照之間的信號(hào)是獨(dú)立的，并且采取兩階段分層先驗(yàn)分布：p（X;ρ）=∫p（X|α）p（α;ρ）dα，ρgt;0，α∈RN，Λ=diag（α），且：
式中：α表示源信號(hào)空間功率。因此，α能夠控制X的稀疏度。與α0同理，為α賦予Gamma超先驗(yàn)p（α;ρ）=∏Nn=1Γ（αn|1，ρ）。
對(duì)于離網(wǎng)誤差β，假設(shè)服從一個(gè)均勻先驗(yàn)分布。首先，計(jì)算各網(wǎng)格點(diǎn)與臨近網(wǎng)格點(diǎn)之間的距離，得到一個(gè)向量：
一般認(rèn)為，離網(wǎng)誤差不超過左右兩邊網(wǎng)格間距的一半，因此得到離網(wǎng)誤差的先驗(yàn)分布為
將分層貝葉斯模型的各個(gè)階段組合，聯(lián)合概率密度函數(shù)［18］為
3 快速高精度SBL算法
傳統(tǒng)算法依賴一個(gè)密集的網(wǎng)格來得到較高估計(jì)精度，但犧牲了計(jì)算速度，且對(duì)緊鄰信號(hào)的分辨能力不佳。針對(duì)這些問題進(jìn)行改進(jìn)，本文提出快速高精度SBL算法。首先，在預(yù)估計(jì)階段，通過網(wǎng)格進(jìn)化的方法，在入射角度估計(jì)值附近加入精細(xì)的網(wǎng)格點(diǎn)，使得總體網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)較小，降低計(jì)算復(fù)雜度;其次，對(duì)噪聲方差進(jìn)行二次估計(jì)，提高對(duì)緊鄰信號(hào)的分辨能力;最后，在新網(wǎng)格上使用OGRSBL［19］方法，進(jìn)一步提高估計(jì)精度，得到精確的DOA估計(jì)值。
3.1 SBL
網(wǎng)格進(jìn)化［27］方法結(jié)合網(wǎng)格細(xì)化與SBL，在網(wǎng)格分裂前需要通過SBL得到各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的空間功率和離網(wǎng)誤差，下面首先介紹SBL過程。
根據(jù)參考文獻(xiàn)［14］和文獻(xiàn)［16］類似的推斷方法可以得到X的后驗(yàn)分布是一個(gè)復(fù)高斯分布：
可見，在最初的迭代步驟中，后驗(yàn)均值和方差能夠通過初始化的超參數(shù)α0，α，β計(jì)算得到，在之后的迭代中，通過上次迭代后更新的超參數(shù)計(jì)算得到。接下來，需要對(duì)超參數(shù)α0，α，β進(jìn)行更新。文獻(xiàn)［18］使用期望最大化（expectation-maximization， EM）算法，得到超參數(shù)的更新方法，α0，α的更新如下：
對(duì)于超參數(shù)β，其估計(jì)值通過式（13）使得E{lg p（Y|X，α0，β）p（β）}達(dá)到最大值，從而最小化：
式中：C是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，與β無關(guān)。P是一個(gè)半正定矩陣，關(guān)于P和v的計(jì)算公式如下：
式中：{·}表示復(fù)共軛；U=［μ（1），μ（2），…，μ（L）］。由此可以得到超參數(shù)β的更新規(guī)則如下：
實(shí)際應(yīng)用中，由于β與X聯(lián)合稀疏這一事實(shí)，β的K個(gè)非零位置對(duì)應(yīng)K個(gè)源信號(hào)入射角位置，而超參數(shù)α表示網(wǎng)格點(diǎn)的空間功率，因此向量α的K個(gè)最大值對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)即為存在離網(wǎng)誤差的網(wǎng)格點(diǎn)，其他網(wǎng)格點(diǎn)的離網(wǎng)誤差設(shè)置為0，這樣使得參與計(jì)算的β，P和v的維度減少為K或K×K。文獻(xiàn)［18］給出了式（17）的詳細(xì)推導(dǎo)以及維度降低后超參數(shù)β的一種有效的計(jì)算方式。
3.2 網(wǎng)格進(jìn)化
各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的空間功率以及離網(wǎng)誤差已經(jīng)計(jì)算完畢，下面對(duì)網(wǎng)格如何進(jìn)化進(jìn)行詳細(xì)介紹。網(wǎng)格點(diǎn)能夠分裂的兩個(gè)條件是網(wǎng)格點(diǎn)必須網(wǎng)格能量高，同時(shí)網(wǎng)格點(diǎn)能量必須是局部最大值［27］。前文得到了存在離網(wǎng)誤差的K個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，這些網(wǎng)格點(diǎn)滿足網(wǎng)格能量高的條件，接下來對(duì)這幾個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)及其兩側(cè)的空間功率進(jìn)行檢測(cè)，若網(wǎng)格點(diǎn)能量為局部最大值，則該網(wǎng)格點(diǎn)被確定能夠分裂。
在確定哪些網(wǎng)格點(diǎn)能夠分裂后，如果該網(wǎng)格點(diǎn)是所有網(wǎng)格中的第n個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)θ～n，離網(wǎng)誤差βngt;0，表明實(shí)際的DOA大于θ～n，則在θ～n與θ～n+1的中間插入一個(gè)新網(wǎng)格點(diǎn)，網(wǎng)格點(diǎn)的具體位置為θ～n+r（n）/2，r為式（11）提到的離網(wǎng)誤差向量，使得θ～n與θ～n+1之間的區(qū)域網(wǎng)格點(diǎn)更加密集，能夠更好地對(duì)信號(hào)進(jìn)行估計(jì);同理，若離網(wǎng)誤差βnlt;0，則在θ～n－1與θ～n的中間插入一個(gè)新網(wǎng)格點(diǎn)θ～n－r（n－1）/2。需要注意的是，網(wǎng)格分裂后，離網(wǎng)誤差向量，網(wǎng)格數(shù)及網(wǎng)格序號(hào)都會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化。隨著迭代過程的進(jìn)行，信號(hào)入射處附近的網(wǎng)格點(diǎn)將變得越來越密集，對(duì)信號(hào)入射角的估計(jì)精度以及對(duì)緊鄰信號(hào)的分辨能力也隨之上升。
網(wǎng)格點(diǎn)分裂后，為了SBL算法能夠繼續(xù)進(jìn)行，已分裂的網(wǎng)格點(diǎn)以及新產(chǎn)生的網(wǎng)格點(diǎn)都需要用合適的超參數(shù)賦予先驗(yàn)分布，才能用到下一次的迭代中。根據(jù)噪聲的先驗(yàn)概率密度式（7），每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)都存在相同功率的噪聲分量，因此可以假設(shè)分裂的網(wǎng)格點(diǎn)以及新網(wǎng)格點(diǎn)的噪聲方差與其他網(wǎng)格點(diǎn)保持一致，通過式（16）得到更新的超參數(shù)α0賦予網(wǎng)格中所有網(wǎng)格點(diǎn)。超參數(shù)β依舊滿足式（12）賦予的均勻分布先驗(yàn)，需要注意的是，由于網(wǎng)格點(diǎn)總數(shù)N發(fā)生變化，因此存在離網(wǎng)誤差的網(wǎng)格點(diǎn)的序號(hào)可能隨之改變，同時(shí)式（11）表示的網(wǎng)格間隔向量r也需要重新計(jì)算。
式（10）表示信號(hào)X的先驗(yàn)分布，為保證分裂前后X的先驗(yàn)分布保持不變，p（α）也應(yīng)該不變。假設(shè)第n個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)θ～n分裂為θ～n1和θ～n2兩個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，則
式中：α－n表示向量α刪去第n個(gè)元素形成的向量。由Gamma函數(shù)可以推出：
αn的值在式（16）中給出了迭代結(jié)果，如果沒有其他信息，為了不失一般性，可以設(shè)置：
由于網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)量過多會(huì)顯著增加計(jì)算量，同時(shí)過于密集的網(wǎng)格點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致估計(jì)性能下降，因此網(wǎng)格不能無限細(xì)分下去，需要在網(wǎng)格進(jìn)化到合適的程度后停止分裂。針對(duì)這兩個(gè)問題，提出兩個(gè)終止條件。
條件 1 網(wǎng)格總數(shù)限制。在本文的DOA估計(jì)模型中，陣列為M個(gè)陣元組成的均勻線陣，字典矩陣的秩最大為M，最多可以估計(jì)M－1個(gè)參數(shù)［29］。網(wǎng)格初始化時(shí)，采用M個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，均勻分布在角度空間中?？紤]一種最極限的情況，即存在M－1個(gè)待估計(jì)參數(shù)，且這些參數(shù)全部位于一個(gè)初始網(wǎng)格的網(wǎng)格間隔內(nèi)，這樣經(jīng)過M－2次分裂后，每一個(gè)待估計(jì)參收都位于不同的網(wǎng)格間隔中，最后網(wǎng)格數(shù)將變?yōu)?M－2。因此，網(wǎng)格總數(shù)門限設(shè)為Nmax=2M－2，當(dāng)網(wǎng)格總數(shù)達(dá)到該門限Nmax后，網(wǎng)格將不再分裂。注意，該設(shè)定只是一個(gè)下界，實(shí)際應(yīng)用中可以適當(dāng)增加網(wǎng)格總數(shù)來提高魯棒性。
條件 2 最小可分裂間隔準(zhǔn)則。由于網(wǎng)格總數(shù)已經(jīng)受到限制，如果某一個(gè)能量較大的網(wǎng)格點(diǎn)一直分裂下去，不僅會(huì)占用總網(wǎng)格數(shù)目，使得其他網(wǎng)格點(diǎn)的分裂機(jī)會(huì)減少，同時(shí)過于密集的網(wǎng)格點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致稀疏重構(gòu)的精度下降。因此，還要加入最小可分裂間隔準(zhǔn)則：設(shè)置一個(gè)最小可分裂間隔rmin，當(dāng)?shù)趎個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)θ～n進(jìn)行分裂時(shí)，離網(wǎng)誤差βngt;0且網(wǎng)格間隔r（n）gt;rmin，則在θ ～n與θ～n+1之間插入新網(wǎng)格點(diǎn)，若網(wǎng)格間隔r（n）lt;rmin，則θ～n不分裂;同理，離網(wǎng)誤差βnlt;0且網(wǎng)格間隔r（n－1）gt;rmin，則在θ ～n－1與θ ～n之間插入一個(gè)新網(wǎng)格點(diǎn)，若r（n－1）lt;rmin，則θ～n不分裂?？梢姡瑀min的物理意義是期望的分辨力，當(dāng)很小的網(wǎng)格間隔內(nèi)存在兩個(gè)甚至更多入射信號(hào)時(shí)，受到該準(zhǔn)則限制，無法插入網(wǎng)格點(diǎn)來將這些鄰近信號(hào)進(jìn)一步區(qū)分開來。
3.3 超參數(shù)二次估計(jì)
上述步驟收斂后，超參數(shù)α中存在K個(gè)譜峰，譜峰所在的網(wǎng)格點(diǎn)角度對(duì)應(yīng)DOA預(yù)估計(jì)的結(jié)果為θ^1，θ^2，…，θ^K。首先，進(jìn)行噪聲方差的2次估計(jì)，這是因?yàn)闇?zhǔn)確的噪聲方差可以提供更好的稀疏重構(gòu)效果［17］。使用最大似然方法對(duì)噪聲方差進(jìn)行估計(jì)，得到
式中：?K=［a（θ^1），a（θ^2），…，a（θ^K）］是近似的陣列流形矩陣;RY=YYH/L是樣本協(xié)方差矩陣。
接下來，使用OGRSBL算法對(duì)網(wǎng)格點(diǎn)能量以及離網(wǎng)誤差進(jìn)行二次求解。在前文中通過網(wǎng)格進(jìn)化，獲得了不均勻網(wǎng)格?～=［?～1，?～2，…，?～Nmax］，使用該網(wǎng)格建立信號(hào)的稀疏表示模型：
式中：A（?～）=［a（?～1），a（?～2），…，a（?～Nmax）］。OGRSBL算法和OGSBI算法的區(qū)別在于采用求根方法直接計(jì)算并更改網(wǎng)格點(diǎn)角度，相當(dāng)于模型中離網(wǎng)誤差β=0。在網(wǎng)格點(diǎn)能量以及噪聲方差的迭代計(jì)算方面，兩種算法基本一致。首先，按照式（10）的方法，將預(yù)估計(jì)得到的各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的超參數(shù)初始值α以及初始噪聲方差σ^2作為初始化的超參數(shù)建立分層先驗(yàn)?zāi)Ｐ?。然后，代入式?5）計(jì)算后驗(yàn)均值μ（t）（t=1，2，…，L）和后驗(yàn)方差Σ，最后通過式（16）完成對(duì)超參數(shù)α0，α的迭代更新。
接下來，更新存在離網(wǎng)誤差的網(wǎng)格=點(diǎn)。忽略與?～無關(guān)的對(duì)數(shù)項(xiàng)，將最大化：
3.4 算法流程
通過網(wǎng)格進(jìn)化、超參數(shù)二次估計(jì)以及使用OGRSBL技術(shù)進(jìn)行DOA估計(jì)值的計(jì)算，本文提出快速高精度SBL算法，該算法流程總結(jié)如下：
算法 1 快速高精度SBL算法步驟 1 輸入：Y，網(wǎng)格間隔為180°/M－1的均勻網(wǎng)格點(diǎn)集θ～
步驟 2 初始化：α0=1，α=∑Lt=1AH（θ～）Y|/L，c=d=1×10－4，ρ=0.01，迭代次數(shù)iter1=0;計(jì)算離網(wǎng)誤差向量r，建立過完備陣列流形矩陣A（θ～）;
步驟 3 算法第1次迭代：
步驟 3.1 根據(jù)式（15）計(jì)算后驗(yàn)均值μ（t）和后驗(yàn)方差Σ;
步驟 3.2 根據(jù)式（16）更新超參數(shù)α0，α;
步驟 3.3 尋找存在離網(wǎng)誤差的網(wǎng)格點(diǎn)，根據(jù)式（20）計(jì)算離網(wǎng)誤差β;
步驟 3.4 判斷網(wǎng)格點(diǎn)能否分裂，若滿足分裂條件，則根據(jù)第3.2節(jié)介紹的方法增加網(wǎng)格點(diǎn)，根據(jù)式（23）為分裂的網(wǎng)格點(diǎn)及新網(wǎng)格點(diǎn)賦予超參數(shù)，并更新此時(shí)的離網(wǎng)誤差向量r、網(wǎng)格數(shù)以及網(wǎng)格序號(hào)，若不滿足分裂條件，則跳轉(zhuǎn)至步驟3.5;步驟 3.5 iter1=iter1+1，若αnew－αold2/αold2gt;ε且iter1≤Imax，返回步驟3.1;
第1次迭代結(jié)束，輸出分裂后的網(wǎng)格點(diǎn)集?～，各網(wǎng)格點(diǎn)超參數(shù)α。
步驟 4 根據(jù)式（24）計(jì)算精確的噪聲誤差σ^2
步驟 5 初始化α0=1/σ^2，c=d=1×10－4，ρ=0.01，迭代次數(shù)iter2=0;通過網(wǎng)格點(diǎn)集?～建立過完備陣列流形矩陣A（?～）
步驟 6 算法第2次迭代：
步驟 6.1 根據(jù)式（15）計(jì)算后驗(yàn)均值μ（t）和后驗(yàn)方差Σ;
步驟 6.2 根據(jù)式（16）更新超參數(shù)α0，α;
步驟 6.3 根據(jù)式（28）和式（29）計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)的更新值?～newi*，并判斷網(wǎng)格點(diǎn)集?～是否更新;
步驟 6.4 iter2=iter2+1，若αnew－αold2/αold2gt;ε且iter2≤Imax，返回步驟6.1;
步驟 7 輸出：網(wǎng)格點(diǎn)集?～以及對(duì)應(yīng)的α、μ和Σ
4 仿真分析
各算法的估計(jì)誤差使用均方根誤差RMSE=∑Ri=1∑Kk=1（θik－θ^ik）2/RK來表示，其中R表示蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)，本文中使用R=150;θik和θ^ik分別表示第i次實(shí)驗(yàn)中第k個(gè)入射角的真實(shí)角度和估計(jì)角度。所有仿真使用陣元數(shù)M=10，陣元間距為半波長(zhǎng)的均勻線陣，快拍數(shù)L=200，信源數(shù)K=2。對(duì)比算法為OGSBI［18］、OGRSBL［19］、perturbed SBL（PSBL）［30］、grid evolution-OGSBI（GE-OGSBI）［27］、網(wǎng)格插值-多快拍稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（grid interpolation-MBSL， GI-MSBL）［28］，各種算法迭代門限統(tǒng)一設(shè)置為ε=1×10－4，Imax=500。網(wǎng)格進(jìn)化方法的初始網(wǎng)格采用一個(gè)網(wǎng)格間隔為20°的均勻網(wǎng)格［-90°，-70°，…，70°，90°］，最小可分裂間隔為rmin=1°。以復(fù)數(shù)乘法次數(shù)作為計(jì)算復(fù)雜度的衡量標(biāo)準(zhǔn)，各算法的計(jì)算復(fù)雜度如表1所示，其中GI-MSBL的N表示第2次迭代采用的網(wǎng)格數(shù)，N0表示計(jì)算離網(wǎng)誤差時(shí)搜索網(wǎng)格數(shù)。由于網(wǎng)格進(jìn)化類方法在迭代初期網(wǎng)格數(shù)小于門限Nmax，因此實(shí)際計(jì)算量要略小于表1中所給出的計(jì)算量。下面通過仿真實(shí)驗(yàn)將從分辨能力、估計(jì)精度以及運(yùn)算效率方面將本文所提算法與其他算法進(jìn)行對(duì)比。
4.1 分辨能力對(duì)比
考慮兩個(gè)獨(dú)立等功率的窄帶信號(hào)緊鄰，分別從0°和（0+Δ）入射到陣列上，DOA間隔Δθ從1°增加到4°，每個(gè)Δθ下分別進(jìn)行多次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。信噪比為5 dB，將本文所提算法與GE-OGSBI算法、使用1°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法和GI-MSBL算法以及使用2°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法進(jìn)行對(duì)比，設(shè)θ3=（θ1+θ2）/2，若空間譜譜值}lt;（P（θ1）+P（θ2））/2則成功分辨兩個(gè)信號(hào)。仿真結(jié)果如圖1所示。
根據(jù)前文的理論分析，本文所提算法期望的分辨力上限與使用1°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法相同。仿真結(jié)果表明，本文算法的角度分辨能力顯著優(yōu)于使用2°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法，也比使用1°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法略高。由于本文算法對(duì)噪聲方差進(jìn)行二次估計(jì)，獲得了更好的稀疏重構(gòu)效果，使得角度分辨能力優(yōu)于GE-OGSBI算法。與同樣進(jìn)行二次估計(jì)的GI-MSBL算法相比，在DOA間隔較小的條件下分辨成功率更高。
4.2 不同信噪比下的性能對(duì)比
兩個(gè)獨(dú)立等功率的窄帶信號(hào)，入射角度為（－3+Δ）和（3+Δ），Δ為（-1，1）中的隨機(jī)數(shù)，使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果更具普遍性。每次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)都重新選取。信噪比從-4 dB逐步增大到10 dB，將本文所提算法與GE-OGSBI算法、使用1°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法和GI-MSBL算法、以及使用2°網(wǎng)格間隔的傳統(tǒng)SBL類算法進(jìn)行對(duì)比。圖2（a）顯示了各算法的估計(jì)誤差隨信噪比的變化，圖2（b）顯示各算法的運(yùn)行時(shí)間隨信噪比的變化。
通過對(duì)比可見，在估計(jì)精度方面，與其他算法相比，本文所提算法對(duì)超參數(shù)進(jìn)行二次估計(jì)，改善了稀疏重構(gòu)效果，因此在不同信噪比下對(duì)緊鄰信號(hào)都具有優(yōu)秀的估計(jì)性能。在運(yùn)算速度方面，采用網(wǎng)格進(jìn)化的方法能夠顯著降低網(wǎng)格數(shù)，因此所提算法與GE-OGSBI算法的運(yùn)算時(shí)間顯著小于使用1°網(wǎng)格的傳統(tǒng)SBL類算法，這些傳統(tǒng)SBL類算法采用更粗糙的網(wǎng)格（2°）能夠加快算法運(yùn)算，但是估計(jì)精度會(huì)降低。本文所提算法與GE-OGSBI相比，雖然改進(jìn)了可分裂網(wǎng)格點(diǎn)的選取，無需對(duì)大量活動(dòng)網(wǎng)格點(diǎn)的能量進(jìn)行計(jì)算，但需要對(duì)超參數(shù)進(jìn)行二次估計(jì)增加計(jì)算量，總體計(jì)算量高于GE-OGSBI算法。本文所提算法的優(yōu)勢(shì)在于增加了較少的計(jì)算量換取估計(jì)精度的較大提高。與GI-MSBL算法相比，在信噪比較低時(shí)所提算法估計(jì)精度更高;由于GI-MSBL算法在二次估計(jì)時(shí)僅考慮目標(biāo)附近的幾個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的網(wǎng)格能量，參與迭代的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)進(jìn)一步降低，獲得了更快的計(jì)算速度。
4.3 不同DOA間隔下的性能對(duì)比
考慮兩個(gè)獨(dú)立等功率的窄帶信號(hào)，入射角度分別為（3+Δ）和（3+Δ+θ），其中Δ同上文，DOA間隔Δθ從4°增加到8°，每個(gè)Δθ下分別進(jìn)行多次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。固定信噪比為5 dB，非網(wǎng)格進(jìn)化類算法使用1°網(wǎng)格間隔。圖3表示各算法估計(jì)誤差隨DOA間隔的變化。
從圖3中可以看出，本文所提算法對(duì)于不同DOA間隔下的緊鄰入射信號(hào)都有著優(yōu)秀的估計(jì)能力，尤其在DOA間隔較小時(shí)，估計(jì)性能的優(yōu)勢(shì)更加明顯，再次證明算法使用網(wǎng)格進(jìn)化方法以及對(duì)超參數(shù)進(jìn)行二次估計(jì)能夠顯著提高稀疏重構(gòu)的效果。
5 結(jié) 論
為了提高SBL類算法對(duì)于空間緊鄰信號(hào)的估計(jì)能力，本文使用網(wǎng)格進(jìn)化的方法來完成入射信號(hào)附近的網(wǎng)格點(diǎn)細(xì)化，并對(duì)噪聲方差以及超參數(shù)進(jìn)行二次估計(jì)，得到改進(jìn)算法。仿真結(jié)果表明，本文提出的快速高精度SBL算法與采用1°網(wǎng)格的經(jīng)典SBL類算法相比，運(yùn)算速度顯著提高，對(duì)空間緊鄰信號(hào)的估計(jì)誤差也更低，在不同信噪比下所提算法有更高的角度分辨成功率。與采用2°網(wǎng)格的經(jīng)典SBL類算法相比，運(yùn)算速度仍舊有優(yōu)勢(shì)，估計(jì)誤差顯著降低并且分辨能力大幅提高。與GE-OGSBI算法相比，對(duì)超參數(shù)的二次估計(jì)增加了一定的計(jì)算量，但是對(duì)鄰近角度的估計(jì)精度和分辨能力都有較大的提高。與GI-MSBL算法相比，運(yùn)算速度較慢，但是角度分辨成功率更高，同時(shí)在較低信噪比條件下的DOA估計(jì)能力更強(qiáng)。
參考文獻(xiàn)
［1］KRIM H， VIBERG M. Two decades of array signal processing research： the parametric approach［J］. IEEE Signal Processing Magazine， 1996， 13（4）： 67-94.
［2］SCHMIDT R. Multiple emitter location and signal parameter estimation［J］. IEEE Trans.on Antennas amp; Propagation， 1986， 34（3）： 276-280.
［3］MALLAT S G， ZHANG Z. Matching pursuits with time-frequency dictionaries［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 1993， 41（12）： 3397-3415.
［4］TROPP J A， GILBERT A C. Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit［J］. IEEE Trans.on Information Theory， 2007， 53（12）： 4655-4666.
［5］NEEDELL D， VERSHYNIN R. Signal recovery from incomplete and inaccurate measurements via regularized orthogonal matching pursuit［J］. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing， 2010， 4（2）： 310-316.
［6］KARABULUT G Z， KURT T， YONGACOGLU A. Angle of arrival detection by matching pursuit algorithm［C］∥Proc.of the IEEE 60th Vehicular Technology Conference， 2004： 324-328.
［7］MALIOUTOV D， CETIN M， WILLSKY A S. A sparse signal reconstruction perspective for source localization with sensor arrays［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2005， 53（8）： 3010-3022.
［8］LU H T， LONG X Z， LV J Y. A fast algorithm for recovery of jointly sparse vectors based on the alternating direction methods［C］∥Proc.of the 14th International Conference on Artificial Intelligence and Statistics， 2011， 15： 461-469.
［9］王庚， 李浩， 何翼， 等. 最優(yōu)冗余線陣欠定信號(hào)雙重構(gòu)DOA估計(jì)方法［J］. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2023， 45（1）： 49-55.
WANG G， LI H， HE Y， et al. Underdetermined DOA estimation of optimal redundancy array via double reconstruction［J］. Systems Engineering and Electronics， 2023， 45（1）： 49-55.
［10］曹若石， 趙永波， 邱雨鋮. 基于改進(jìn)SP算法的多目標(biāo)DOA估計(jì)方法［J］. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2024， 46（7）： 2294-2300.
CAO R S， ZHAO Y B， QIU Y C， Multi-target DOA estimation method based on improved SP algorithm［J］. Systems Engineering and Electronics， 2024， 46（7）： 2294-2300.
［11］唐軍奎， 劉崢， 冉磊， 等. 基于稀疏和低秩先驗(yàn)的雷達(dá)前視超分辨成像方法［J］. 雷達(dá)學(xué)報(bào)， 2023， 12（2）： 332-342.
TANG J K， LIU Z， RAN L， et al. Radar forward-looking super-resolution imaging method based on sparse and low-rank priors［J］. Journals of Radars， 2023， 12（2）： 332-342.
［12］TIPPING M E. Sparse Bayesian learning and the relevance vector machine［J］. Journal of Machine Learning Research， 2001， 1（3）： 211-244.
［13］TIPPING M E， FAUL A C. Fast marginal likelihood maximisation for sparse bayesian models［C］∥Proc.of the 9th International Workshop on Artificial Intelligence amp; Statistics， 2003
［14］JI S， XUE Y， CARIN L. Bayesian compressive sensing［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2008， 56（6）： 2346-2356.
［15］JI S， DUNSON D， CARIN L. Multitask compressive sensing［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2009， 57（1）： 92-106.
［16］BABACAN S D， MOLINA R， KATSAGGELOS A K. Fast Bayesian compressive sensing using Laplace priors［C］∥Proc.of the IEEE International Conference on Acoustics， 2009.
［17］LIU Z M， HUANG Z T， ZHOU Y Y. An efficient maximum likelihood method for direction-of-arrival estimation via sparse Bayesian learning［J］. IEEE Trans.on Wireless Communications， 2012， 11（10）： 1-11.
［18］YANG Z， XIE L H， ZHANG C S. Off-grid direction of arrival estimation using sparse Bayesian inference［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2013， 61（1）： 38-43.
［19］DAI J S， BAO X， XU W C， et al. Root sparse Bayesian learning for off-grid DOA estimation［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2016， 24（1）： 46-50.
［20］SHAO Y Y， MA H， LIU H W. A study and comparison of different sparse Bayesian learning algorithms in DOA estimation［C］∥Proc.of the IEEE International Conference on Information Communication and Signal Processing， 2022.
［21］YU D， WANG X， FANG W W， et al. DOA estimation based on root sparse Bayesian learning under gain and phase error［J］. Journal of Communications and Information Networks， 2022， 7（2）： 202-213.
［22］DAS A. Real-valued sparse Bayesian learning for off-grid direction-of-arrival （DOA） estimation in ocean acoustics［J］. IEEE Journal of Oceanic Engineering， 2021， 46（1）： 172-182.
［23］DAI J S， SO H C. Real-valued sparse Bayesian learning for DOA estimation with arbitrary linear arrays［J］. IEEE Trans.on Signal Processing： a publication of the IEEE Signal Processing Society， 2021， 69（1）： 4977-4990.
［24］GUO L M， XIAO S Q， GUO M R. Off-grid sparse Bayesian learning algorithm for compressed sparse array［C］∥Proc.of the CIE International Conference on Radar， 2021.
［25］WANG Q S， YU H， LI J， et al. Sparse Bayesian learning using generalized double pareto prior for DOA estimation［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2021， 28： 1744-1748.
［26］FU H S， WANG Y Y， DAI F Z. Off-grid error calibration for single snapshot DOA estimation based on sparse Bayesian learning［C］∥Proc.of the 5th International Conference on Information Communication and Signal Processing， 2022.
［27］WANG Q， ZHAO Z， CHEN Z M， et al. Grid evolution method for DOA estimation［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2018， 66（9）： 2374-2383.
［28］王琦森， 余華， 李杰， 等. 基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的空間緊鄰信號(hào)DOA估計(jì)算法［J］. 電子與信息學(xué)報(bào)， 2021， 43（3）： 708-716.
WANG Q S， YU H， LI J， et al. Sparse Bayesian learning based algorithm for DOA estimation of closely spaced signals［J］. Journal of Electronics amp; Information Technology， 2021， 43（3）： 708-716.
［29］BRESLER Y， MACOVSKI A. On the number of signals resolvable by a uniform linear array［J］. IEEE Trans. Acoustic. Speech， Signal Processing， 2003， 34（6）： 1361-1375.
［30］WU X H， ZHU W P， YAN J. Direction of arrival estimation for off-grid signals based on sparse Bayesian learning［J］. IEEE Sensors Journal， 2016， 16（7）： 2004-2016.
作者簡(jiǎn)介
劉魯濤（1977—），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)閷拵盘?hào)檢測(cè)與識(shí)別、陣列信號(hào)處理。
徐國(guó)珩（1999—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)椴ㄟ_(dá)方向估計(jì)。
王 振（2003—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理。
