摘要： 針對當(dāng)前算法在實(shí)現(xiàn)雙基地電磁矢量傳感器多輸入多輸出（electromagnetic vector sensors multiple input multiple output， EMVS-MIMO）雷達(dá)的多維參數(shù)估計(jì)時(shí)計(jì)算代價(jià)較高的問題，通過利用降維變換技術(shù)來實(shí)現(xiàn)低復(fù)雜度的角度參數(shù)和極化參數(shù)求解。針對陣列接收數(shù)據(jù)維度較大問題，通過設(shè)計(jì)相應(yīng)的波束空間變換矩陣來實(shí)現(xiàn)對陣列接收數(shù)據(jù)的降維處理。針對算法本身的較高計(jì)算復(fù)雜度問題，采用低計(jì)算復(fù)雜度的平行因子分解算法。所提算法能夠精確地實(shí)現(xiàn)對發(fā)射因子矩陣和接收因子矩陣的求解。同時(shí)，通過新的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系構(gòu)建新的估計(jì)信號參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)對發(fā)射/接收俯仰角的求解。進(jìn)一步，發(fā)射/接收方位角、發(fā)射/接收極化角和發(fā)射/接收極化相位差的估計(jì)可以通過發(fā)射/接收空間響應(yīng)矩陣的重構(gòu)來實(shí)現(xiàn)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提算法在降低計(jì)算復(fù)雜度的同時(shí)能夠保持優(yōu)越的多維參數(shù)估計(jì)性能。

關(guān)鍵詞： 雙基地電磁矢量傳感器多輸入多輸出（electromagnetic vector sensors multiple input multiple output， EMVS-MIMO）雷達(dá); 多維參數(shù)估計(jì); 波束空間變換; 平行因子分解算法

中圖分類號： TN 958

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.06.08

High resolution multidimensional parameter estimation for low complexity bistatic EMVS-MIMO radar based on reduced-dimensional transformation

XIE Qianpeng¹， DU Yihang²， SUN Bing³， YAN Hua¹， PAN Xiaoyi^4，*， ZHAO Feng⁴

（1. Unit 95913 of the PLA， Shenyang 110041， China; 2. The Sixty-Third Research Institute， National University of Defense Technology， Nanjing 210007， China; 3. China Satellite Maritime Tracking and Control Department， Jiangyin 214430， China; 4. State Key Laboratory of Complex Electromagnetic Environment Effects on Electronics and Information System， National University of Defense Technology， Changsha 410073， China）

Abstract： To solve the high computational cost problem of the current algorithm to achieve multi-dimensional parameter estimation of bistatic electromagnetic vector sensors multiple input multiple output （EMVS MIMO） radar， the dimensionality-reduction transformation technology is utilized to achieve low complexity angle and polarization parameter solutions. To address the issue of large dimensionality in array received data， a corresponding beamspace transformation matrix is designed to achieve dimensionality-reduction processing of array received data. To address the high computational complexity of the algorithm itself， a parallel factor decomposition algorithm with low computational complexity is adopted. The proposed algorithm can accurately solve the transmission factor matrix and reception factor matrix. Moreover， by constructing a new estimating signal parameter via rotational invariance techniques （ESPRIT） relationship， the solution of the transmit/receive pitch angle can be achieved. Furthermore， the estimation of the transmit/receive azimuth angle， transmit/receive polarization angle and transmit/receive polarization phase difference can be achieved through the reconstruction of the transmit/receive spatial response matrix. Simulation experiments show that the proposed algorithm can maintain superior multidimensional parameter estimation performance while reducing computational complexity.

Keywords： bistatic electromagnetic vector sensors multiple input multiple output （EMVS-MIMO） radar; multi-dimensional parameter estimation; beamspace spatial transformation; parallel factor decomposition algorithm

0 引 言

雙基地多輸入多輸出（multiple input multiple output，MIMO）雷達(dá)作為一種新體制雷達(dá)技術(shù)，通過發(fā)收陣列的分離能夠?qū)崿F(xiàn)精確的角度參數(shù)估計(jì)^［1-5］。雙基地MIMO雷達(dá)根據(jù)其陣元性質(zhì)又可以分為雙基地標(biāo)量陣列MIMO雷達(dá)和雙基地電磁矢量傳感器（electromagnetic vector sensors， EMVS） MIMO雷達(dá)。不同于標(biāo)量陣列，EMVS通過其包含的三正交電偶極子和三正交磁偶極子能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)對電場矢量和磁場矢量的測量。因此，相比于雙基地標(biāo)量陣列MIMO雷達(dá)，雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)在目標(biāo)參數(shù)估計(jì)、檢測和干擾抑制方面展現(xiàn)出良好的特性^［6-8］。通過對EMVS的研究，能夠?qū)崿F(xiàn)對更多目標(biāo)參數(shù)信息的獲取。

近年來，對于雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中二維發(fā)射角（two dimensional direction-of-departure， 2D-DOD）、發(fā)射極化角、發(fā)射極化相位差和二維接收角（two dimensional direction-of-arrival， 2D-DOA）、接收極化角、接收極化相位差的多維參數(shù)估計(jì)問題，文獻(xiàn)［9］首先提出利用旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)信號參數(shù)（estimating signal parameter via rotational invariance techniques，ESPRIT），其通過從發(fā)射EMVS陣列和接收EMVS陣列中提取相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系來對雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中的2D-DOD和2D-DOA進(jìn)行估計(jì)。該算法巧妙地利用估計(jì)得到的DOD和DOA信息對EMVS空間響應(yīng)矩陣進(jìn)行重構(gòu)，進(jìn)而得到相應(yīng)的極化角和極化相位差。但是，由于陣列接收數(shù)據(jù)維度較高，文獻(xiàn)［9］所提出的旋轉(zhuǎn)不變算法計(jì)算復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)［10］提出低計(jì)算復(fù)雜度的傳播算子（propagator method， PM）算法。文獻(xiàn)［11］提出具有自動(dòng)參數(shù)配對的PM算法來實(shí)現(xiàn)發(fā)射角和接收角的自動(dòng)參數(shù)配對。文獻(xiàn)［12］提出三線性平行因子分解（parallel factor analysis， PARAFAC）算法。所提出的PARAFAC算法在保持較高估計(jì)精度的同時(shí)具有較低的計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)［13］利用四維張量結(jié)構(gòu)提出高階奇異值分解（higher order singular value decomposition，HOSVD）算法，相比于文獻(xiàn)［9-12］中的算法，該算法具有最好的發(fā)射四維參數(shù)和接收四維參數(shù)測量性能。但是，HOSVD算法的不足之處在于其具有最高的計(jì)算代價(jià)。針對相關(guān)信源的八維參數(shù)估計(jì)問題，文獻(xiàn)［14］提出利用空間平滑技術(shù)來實(shí)現(xiàn)對DOD和DOA的角度參數(shù)估計(jì)。文獻(xiàn)［15］通過把接收EMVS陣列和發(fā)射EMVS陣列劃分成多個(gè)子陣，然后利用極化多樣性平滑技術(shù)來實(shí)現(xiàn)解相關(guān)處理。文獻(xiàn)［16］通過把接收EMVS陣列和發(fā)射EMVS陣列的空間響應(yīng)矢量合并到信號矩陣中對相關(guān)信源進(jìn)行處理。相比文獻(xiàn)［15］只使用部分子陣，文獻(xiàn)［16］利用全部收發(fā)陣列來進(jìn)行角度參數(shù)估計(jì)，其能夠?qū)崿F(xiàn)更多的目標(biāo)探測。但是，文獻(xiàn)［14-16］所提的方法只能實(shí)現(xiàn)對DOD和DOA的估計(jì)，無法估計(jì)出極化角和極化相位差。文獻(xiàn)［17］通過對接收EMVS陣列和發(fā)射EMVS陣列構(gòu)建廣義空間平滑矩陣，實(shí)現(xiàn)了對發(fā)射四維參數(shù)和接收四維參數(shù)的有效估計(jì)。為了提升雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)多維參數(shù)估計(jì)精度，文獻(xiàn)［18-20］通過對發(fā)射陣列和接收陣列進(jìn)行拉伸處理來構(gòu)建稀疏陣列結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)陣列孔徑的提升。相比于均勻線性EMVS發(fā)射陣列和EMVS接收陣列，稀疏陣列利用精粗估計(jì)的結(jié)合可以有效實(shí)現(xiàn)高精度的角度參數(shù)估計(jì)。

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，對于雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)在不同應(yīng)用背景下的多維參數(shù)估計(jì)問題，眾學(xué)者提出了各種不同的算法。但是，由于每個(gè)EMVS都包含6個(gè)陣元，故對于M元發(fā)射EMVS陣列和N元接收EMVS陣列，其單快拍的陣列接收數(shù)據(jù)維度為36MN。一般情況下，單快拍的陣列接收數(shù)據(jù)很難實(shí)現(xiàn)良好的多維參數(shù)估計(jì)性能。為了實(shí)現(xiàn)雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中高分辨的八維參數(shù)估計(jì)，需要多快拍的時(shí)間維采樣，這意味著雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)的陣列接收數(shù)據(jù)維度將會變得很大。較大的陣列接收維度導(dǎo)致各類算法的計(jì)算復(fù)雜度較大。因此，為了降低雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中多維參數(shù)估計(jì)的復(fù)雜度，本文提出相應(yīng)的波束空間變換技術(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)［21-24］， 波束空間變換矩陣可以有效地實(shí)現(xiàn)陣列接收數(shù)據(jù)矩陣維度的降低。因此，本文首先利用波束空間變換矩陣實(shí)現(xiàn)對原始陣列接收數(shù)據(jù)的降維處理。然后，利用低復(fù)雜度的PARAFAC算法實(shí)現(xiàn)對發(fā)射導(dǎo)向矩陣和接收導(dǎo)向矩陣的求解。進(jìn)一步地，通過新的選擇矩陣來實(shí)現(xiàn)對發(fā)射俯仰角和接收俯仰角角度參數(shù)選擇不變關(guān)系的構(gòu)建。相比于當(dāng)前主流算法，本文所提的低復(fù)雜度求解算法能夠有效實(shí)現(xiàn)雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中高精度的發(fā)射四維參數(shù)和接收四維參數(shù)估計(jì)。

文中，（·）^T，（·）^H，（·）^－1和（·）分別表示轉(zhuǎn)置、共軛轉(zhuǎn)置、矩陣求逆和矩陣偽逆操作;⊕，，⊙和°分別表示Ha-damard乘積、Kronecker乘積、Khatri-Rao乘積和矢量外積操作;I和1分別表示單位矩陣和全1矩陣;∠和real（·）分別表示取角度和取實(shí)部操作。

1 信號模型

考慮一個(gè)具有M元半波長均勻發(fā)射EMVS陣列和N元半波長均勻接收EMVS陣列的雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)系統(tǒng)，如圖1所示，其每一個(gè)EMVS都包含三正交電偶極子和三正交磁偶極子。因此，對于每一個(gè)發(fā)射EMVS和接收EMVS，其電偶極子和磁偶極子的空間響應(yīng)分別為

式中：F_t（θ_t，?_t）、F_r（θ_r，?_r）∈C^6×2表示發(fā)射、接收空間角度位置矩陣；g_t（θ_t，?_t）、g_r（θ_r，?_r）∈C^2×1表示發(fā)射、接收極化狀態(tài)矢量；θ_t，θ_r∈［0，π）表示發(fā)射、接收俯仰角；?_t，?_r∈［0，2π）表示發(fā)射、接收方位角;γ_t，γ_r∈［0，π/2）表示發(fā)射、接收極化角;η_t，η_r∈［－π，π）表示發(fā)射/接收極化相位差。

根據(jù)文獻(xiàn)［9］，為了實(shí)現(xiàn)對發(fā)射、接收俯仰角和發(fā)射、接收方位角的求解，可以分別對發(fā)射空間響應(yīng)c_t（θ_t，?_t，γ_t，η_t）和接收空間響應(yīng)c_r（θ_r，?_r，γ_r，η_r）進(jìn)行如下的矢量叉積運(yùn)算：

u_t

式中：e_t、e_h分別表示發(fā)射、接收EMVS中的三正交電偶極子矢量;h_t和h_r分別表示發(fā)射、接收EMVS中的三正交磁偶極子矢量。

因此，對于K個(gè)非相關(guān)目標(biāo)，雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)的EMVS發(fā)射導(dǎo)向矢量和EMVS接收導(dǎo)向矢量可以分別表示為

式中：q_tk=e^{－jπM－12sin θ}_tk，e^{－jπM－22sin θ}_tk，…，e^{jπM－12sin θ}_tk^T，q_rk=e^{－jπN－12sin θ}_rk，e^{－jπN－22sin θ}_rk，…，e^{jπN－12sin θ}_rk^T。對于雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)，經(jīng)過匹配濾波之后的陣列接收數(shù)據(jù)可以表示為

式中：A_t=［a_t1，a_t2，…，a_tK］;A_r=［a_r1，a_r2，…，a_rK］。因此，多采樣快拍陣列接收數(shù)據(jù)可以進(jìn)一步表示為

Y=（A_t⊙A_r）S+N（12）

從式（12）可以看出， A_t⊙A_r的維度為36MN×K。文獻(xiàn)［9-13］所采用的算法均是對維度為36MN×L的陣列接收數(shù)據(jù)Y進(jìn)行處理，這意味著較大的矩陣維度會導(dǎo)致文獻(xiàn)［9-13］中所提的各種算法具有較高的計(jì)算復(fù)雜度。尤其是文獻(xiàn)［9］中的ESPRIT算法和文獻(xiàn)［13］中的HOSVD算法，在對角度參數(shù)和極化參數(shù)進(jìn)行求解時(shí)需要較高的計(jì)算代價(jià)。

為了降低雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中角度參數(shù)和極化參數(shù)求解時(shí)的計(jì)算復(fù)雜度，本文采用降維操作，所采用的降維處理并不會影響最終的角度參數(shù)和極化參數(shù)估計(jì)精度，這里所采用的降維矩陣為波束空間變換矩陣。根據(jù)文獻(xiàn)［21-23］，對于具有中心對稱的發(fā)射EMVS均勻線性陣列和接收EMVS均勻線性陣列，可分別設(shè)計(jì)波束空間變換矩陣如下：

式中：u_t=［0，1，…，M-］，u_r=［0，1，…，N-］，且M-lt;M，N-lt;N。進(jìn)一步地，通過利用Khatri-Rao乘積的性質(zhì)（AB）（C⊙D）=（AC）⊙（BD），為了實(shí)現(xiàn)降維處理，定義降維矩陣如下：

從式（16）和式（17）可以看出，W_t和W_r的每一行元素均具有中心對稱結(jié)構(gòu)。進(jìn)一步地，通過將降維矩陣J與陣列接收數(shù)據(jù)Y相乘，可以得到新的陣列接收數(shù)據(jù)如下：

式中：Q～_t=W_tQ_t=［q～_t1，q～_t2，…，q～_tK］和Q～_r=W_rQ_r=［q～_r1，q～_r2，…，q～_rK］分別表示降維之后的發(fā)射陣列和接收陣列導(dǎo)向矢量矩陣，具體形式如下所示：

進(jìn)一步地，從式（19）和式（20）可以看出，經(jīng)過降維處理之后，新的陣列接收數(shù)據(jù)Y～的維度為36M-N-×L，其陣列維度小于Y。這意味著對于所設(shè)計(jì)的降維矩陣，其相對于原始數(shù)據(jù)降低的維度為36（MN－M-N-）。因此，本文所采用的降維處理能夠有效地降低后續(xù)算法處理陣列接收數(shù)據(jù)的維度。同時(shí)，新構(gòu)建的降維陣列接收數(shù)據(jù)Y～仍滿足多維張量結(jié)構(gòu)。因此，為了充分利用陣列接收數(shù)據(jù)的空時(shí)特性，這里利用PARAFAC算法對新構(gòu)建的降維陣列接收數(shù)據(jù)Y～求解。

2 基于PARAFAC算法的高分辨多維參數(shù)估計(jì)

2.1 角度參數(shù)和極化參數(shù)聯(lián)合估計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)對發(fā)射、接收方位角，發(fā)射、接收俯仰角，發(fā)射、接收極化角和發(fā)射、接收極化相位差的求解，首先構(gòu)建如下三階張量模型：

X=∑Kk=1a～_tk·a～_rk·s_k+n～（21）

式中： a～_tk和a～_rk表示導(dǎo)向矢量矩陣A～_t和A～_r的第k列元素；s_k表示信號矩陣S的第k行元素。進(jìn)一步地，對于三階張量數(shù)據(jù)X，可以構(gòu)建3個(gè)不同維度的聯(lián)立方程如下：

根據(jù)三線性迭代最小二乘算法，通過構(gòu)建關(guān)于A～_t、A～_r和S的最小二乘估計(jì)來實(shí)現(xiàn)對這3個(gè)參數(shù)的求解：

minSY～－（A～_t⊙A～_r）S_F

minA～_tY～_t－（A～_r⊙S^T）A～^T_tF

minA～_rY～_r－（S^T⊙A～_t）A～^T_rF（25）

因此，對于估計(jì)得到的A～_t、A～_r和S，可以得到如下閉式解：

PARAFAC算法利用交替迭代最小二乘算法來實(shí)現(xiàn)對S～、A～_t和A～_r的求解。并且，所求解得到的A～_t和A～_r可以實(shí)現(xiàn)2D-DOD和2D-DOA的自動(dòng)參數(shù)配對。對于A ～_t和A～_r，下面進(jìn)行（θ_t，?_t，γ_t，η_t）和（θ_r，?_r，γ_r，η_r）的求解。

在文獻(xiàn)［9-13］中，為了實(shí)現(xiàn)發(fā)射俯仰角和接收俯仰角的角度參數(shù)求解，均是利用半波長均勻線性陣列發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量矩陣構(gòu)建ESPRIT實(shí)現(xiàn)，其中的選擇矩陣很容易構(gòu)建。但是，由于本文采用波束空間降維變換，降維之后的陣列結(jié)構(gòu)不能簡單地采用文獻(xiàn)［9-13］中的旋轉(zhuǎn)不變矩陣。從式（19）和式（20）也可以看出，在新構(gòu)建的Q～_t和Q～_r中，任意上下兩行元素之間的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系較為復(fù)雜。取Q～_t的第k列元素q ～_tk=［q～_t1，q～_t2，…，q～_tM-］^T，Q～_r的第k列元素q～_rk=［q～_r1，q～_r2，…，q～_rN-］^T，則q～_tk和q～_rk的上下兩個(gè)元素分別滿足如下關(guān)系：

因此，根據(jù)式（27）和式（28），對于Q～_t和Q～_r，可以構(gòu)建旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系如下：

式中：

選擇矩陣Γ_t1，Γ_t2，Γ_r1，Γ_r2的具體形式分別為

式中：c_tm=cos（mπ/M-），m=0，1，…，M-；c_rn=cos（nπ/N-），n=0，1，…，N-;s_tm=sin（mπ/M-），m=0，1，…，M-;s_rn=sin（nπ/N-），n=0，1，…，N-。因此，為了實(shí)現(xiàn)對雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中發(fā)射俯仰角θ_tk（k=1，2，…，K）和接收俯仰角θ_rk（k=1，2，…，K）的求解，進(jìn)一步構(gòu)建旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系如下：

（Γ_t2I₆）A～_t=（Γ_t1I₆）A～_tΦ（θ_t）（37）

（Γ_r2I₆）A～_r=（Γ_r1I₆）A～_rΦ（θ_r）（38）

因此，利用最小二乘估計(jì)可以實(shí)現(xiàn)對Φ（θ_t）和Φ（θ_r）的求解：

進(jìn)一步地，分別對（θ_t）和（θ_r）進(jìn)行奇異值分解，可以得到K個(gè)特征值λ_t1，λ_t2，…，λ_tK和λ_r1，λ_r2，…，λ_rK。因此，估計(jì)得到的高精度發(fā)射俯仰角θ_tk（k=1，2，…，K）和接收俯仰角θ_rk（k=1，2，…，K）可以分別表示為

θ～_tk=arcsin2arctan λ_tkπ， k=1，2，…，K（41）

θ～_rk=arcsin2arctan λ_rkπ， k=1，2，…，K（42）

對于估計(jì)得到的θ～_tk和θ～_rk，可以進(jìn)一步求解得到相應(yīng)的（?_tk，γ_tk，η_tk）和（?_rk，γ_rk，η_rk）。由于對（?_tk，γ_tk，η_tk）和（?_rk，γ_rk，η_rk）的求解過程類似，故本文只給出對于（?_tk，γ_tk，η_tk）的推導(dǎo)過程。

通過利用Khatri-Rao乘積的性質(zhì)，可以通過如下的處理來重構(gòu)發(fā)射空間響應(yīng)C～_t（θ_t，?_t，γ_t，η_t）：

式中： A～_t（6m－5∶6m，∶）表示A～_t的第（6m－5）行到第6m行的元素。與文獻(xiàn)［9-13］不同的是，這里并不需要再乘一個(gè)對角陣，因?yàn)榻?jīng)過降維處理之后的Q～_t中的每個(gè)元素均是實(shí)數(shù)，經(jīng)過矢量叉積算法的處理并不影響最終發(fā)射方位角?_tk（k=1，2，…，K）的求解。

對于重構(gòu)得到的發(fā)射空間響應(yīng)C～_t（θ_t，?_t，γ_t，η_t）， Poynting矢量可以表示為

因此，估計(jì)得到的發(fā)射方位角?_tk（k=1，2，…，K）可以表示為

?～_tk=arctanv～_tku～_tk， k=1，2，…，K（45）

在得到（θ～_tk，?～_tk）（k=1，2，…，K）之后，相應(yīng)的發(fā)射陣列極化狀態(tài)矢量g～_tk（γ～_tk，η～_tk）可以表示為

因此，發(fā)射EMVS陣列的極化參數(shù)（γ～_tk，η～_tk）（k=1，2，…，K）可以表示為

γ～_tk=arctang～_1tkg～_2tk

η～_tk=∠g～_1tk， k=1，2，…，K（47）

最終，經(jīng)過以上的處理過程，可以得到雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中的發(fā)射四維參數(shù)和接收四維參數(shù)。同時(shí)，對以上參數(shù)求解的過程直接實(shí)現(xiàn)了發(fā)收四維參數(shù)的自動(dòng)配對。從詳細(xì)的理論推導(dǎo)可以看出，本文所采用的降維處理算法在對角度參數(shù)和極化參數(shù)進(jìn)行求解時(shí)，并沒有降低角度參數(shù)和極化參數(shù)的估計(jì)精度。

2.2 克拉美羅界以及計(jì)算復(fù)雜度分析

根據(jù)文獻(xiàn)［10］，對于雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)，其關(guān)于發(fā)射四維參數(shù)（θ_t，?_t，γ_t，η_t）和接收四維參數(shù)（θ_r，?_r，γ_r，η_r）的克拉美羅下界可以表示為

CRB=σ²2L［real（（D^HΠ^⊥_AD）⊕（R^T_s1_8×8））］^－1（48）

式中：A=（A～_t⊙A～_r）;Π^⊥_A=I_36MN－AA^?表示A的投影矩陣;R_s表示信號協(xié)方差矩陣;D表示A對四維發(fā)射參數(shù)（θ_t，?_t，γ_t，η_t）和四維接收參數(shù)（θ_r，?_r，γ_r，η_r）的聯(lián)合導(dǎo)數(shù)矢量矩陣。

進(jìn)一步，考慮本文所提算法與文獻(xiàn)［9］中的 ESPRIT算法、文獻(xiàn)［10］中的 PM 算法、文獻(xiàn)［12］中的 PARAFAC算法和文獻(xiàn)［13］中的Tensor 子空間算法的計(jì)算復(fù)雜度對比。各種不同算法的計(jì)算復(fù)雜度如表1所示，其中κ表示算法迭代次數(shù)，這里設(shè)置為200。為了實(shí)現(xiàn)更加直觀的對比，這里給出當(dāng)M=6和N=8，入射信源個(gè)數(shù)K=3，M-=N-=5時(shí)，各種不同算法的計(jì)算復(fù)雜度隨快拍數(shù)L的變化。圖2中的最大計(jì)算復(fù)雜度為1的原因，在于對每種算法在不同采樣快拍下的計(jì)算復(fù)雜度以Tensor子空間的算法復(fù)雜度作為歸一化因子做了歸一化處理。如圖2所示，相比于當(dāng)前主流算法，所提算法具有最低的計(jì)算復(fù)雜度。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

針對雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)角度參數(shù)和極化參數(shù)估計(jì)問題，下面通過仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證本文所提算法與當(dāng)前主流算法在不同場景下的性能對比。對比算法采用的是文獻(xiàn)［9］中的ESPRIT算法、文獻(xiàn)［10］中的PM算法、文獻(xiàn)［12］中的PARAFAC算法和文獻(xiàn)［13］中的Tensor子空間算法。如圖1所示，假設(shè)發(fā)射EMVS陣列的個(gè)數(shù)為6，接收EMVS陣元的個(gè)數(shù)為6，降維矩陣中的M-和N-均設(shè)置為5。

實(shí)驗(yàn) 1 多維參數(shù)自動(dòng)配對特性

下面通過多次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證本文所提算法的空間譜估計(jì)性能。在仿真中，非相關(guān)目標(biāo)的個(gè)數(shù)K設(shè)置為3，其相應(yīng)的（θ_t，?_t，γ_t，η_t）和（θ_r，?_r，γ_r，η_r）分別如表2所示。

快拍數(shù)L設(shè)置為200，信噪比設(shè)置為10 dB。蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)設(shè)置為100。從圖3可以看出，本文所采用的降維處理仍然能夠?qū)崿F(xiàn)發(fā)射四維參數(shù)和接收四維參數(shù)的精確估計(jì)。同時(shí)，利用PARAFAC算法，相應(yīng)的2D-DOD和2D-DOA能夠?qū)崿F(xiàn)自動(dòng)參數(shù)配對。

實(shí)驗(yàn) 2 不同信噪比對所提算法估計(jì)精度的影響

下面驗(yàn)證不同信噪比下本文所提算法的均方誤差估計(jì)性能。均方誤差（root mean square error， RMSE）的定義為

RMSE=1100K∑100i=1－?²

其中，表示估計(jì)得到的角度或極化參數(shù)，?表示真實(shí)的角度或極化參數(shù)。目標(biāo)個(gè)數(shù)的設(shè)置以及相應(yīng)的參數(shù)如表2所示。信噪比的變化范圍為－10～30 dB，變化的步長為5 dB，快拍數(shù)設(shè)置為200。在不同的信噪比下，蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)設(shè)置為100。從圖4可以看出，本文所提算法的角度參數(shù)和極化參數(shù)估計(jì)性能優(yōu)于 ESPRIT算法、PM算法和PARAFAC算法，與Tensor 子空間算法的估計(jì)性能接近。其中，下標(biāo)d表示角度參數(shù)，下標(biāo)p表示極化參數(shù)。

實(shí)驗(yàn) 3 不同快拍數(shù)對所提算法估計(jì)性能的影響

進(jìn)一步地，驗(yàn)證不同采樣快拍數(shù)對所提算法估計(jì)性能的影響。其中，L的取值范圍為100～1 000，步長為100，信噪比設(shè)置為10 dB。其他仿真參數(shù)和實(shí)驗(yàn)2相同。從圖5可以看出，本文所提算法的性能隨快拍數(shù)的增加表現(xiàn)出優(yōu)越的參數(shù)估計(jì)性能，并且相比于當(dāng)前主流算法，本文所提算法在不同采樣快拍數(shù)下，仍然能夠得到良好的角度參數(shù)和極化參數(shù)估計(jì)性能。

實(shí)驗(yàn) 4 不同降維尺度對所提算法估計(jì)性能的影響

在以上仿真實(shí)驗(yàn)中，均假設(shè)M-和N-分別為5，下面考慮3種不同的（M-，N-），即（M-，N-）=（4，5），（M-，N-）=（5，5）和（M-，N-）=（5，6），其他仿真參數(shù)與實(shí)驗(yàn)2相同，這里給出均方誤差性能隨不同降維尺度的變化。從圖6可以看出，不同的降維尺度仍能夠?qū)崿F(xiàn)不錯(cuò)的角度參數(shù)和極化參數(shù)估計(jì)性能。同時(shí)，盡管采用不同尺度的降維，多維參數(shù)的估計(jì)性能仍然優(yōu)越于ESPRIT 算法、PM 算法和PARAFAC算法。在本文研究中，理論上，降維尺度的變化范圍為1lt;M-lt;M，1lt;N-lt;N。但是在實(shí)際應(yīng)用中，較小的降維尺度M-和N-會影響到多維參數(shù)的估計(jì)性能。因此，本文建議為了在實(shí)現(xiàn)降維處理的同時(shí)保持較好的多維參數(shù)估計(jì)性能，降維尺度M-和N-的選擇最好滿足K≤M-lt;M和K≤N-lt;N。實(shí)驗(yàn)1 到實(shí)驗(yàn) 4的結(jié)果驗(yàn)證了本文所提算法在降低計(jì)算復(fù)雜度的同時(shí)保持了良好的角度參數(shù)和極化參數(shù)估計(jì)性能。

4 結(jié) 論

為了降低雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)中角度參數(shù)和極化參數(shù)求解的計(jì)算復(fù)雜度，本文提出一種有效降維變換方法。通過利用所設(shè)計(jì)的降維變換矩陣可以有效降低陣列接收數(shù)據(jù)的維度，經(jīng)過降維變換之后的陣列導(dǎo)向矢量矩陣仍然包含有效的發(fā)射俯仰角和接收俯仰角角度信息。同時(shí)，利用PARAFAC算法能夠有效保持雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)陣列接收數(shù)據(jù)的三階張量結(jié)構(gòu)。本文通過構(gòu)建新的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)對發(fā)射俯仰角和接收俯仰角的角度參數(shù)估計(jì)。并且，本文所提算法能夠避免額外的角度參數(shù)和極化參數(shù)配對過程。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比于當(dāng)前的主流算法，本文所提出的降維處理算法展現(xiàn)出優(yōu)良的多維參數(shù)估計(jì)性能。

參考文獻(xiàn)

［1］XU B Q， ZHAO Y B. Joint transmit-receive B-PARAFAC method for angle estimation in bistatic MIMO radar［J］. Digital Signal Processing， 2019， 92： 54-61.

［2］ALI H， AHME S S， SHARAWI M， et al. Reduced complexity DOA and DOD estimation for a single moving target in bistatic MIMO radar［J］. Signal Processing， 2020， 166： 107276.

［3］MA H H， TAO H H， SU J， et al. DOD/DOA and polarization estimation in MIMO systems with spatially spread dipole quints［J］. IEEE Communications Letters， 2020， 24（1）： 99-102.

［4］SHI J P， WEN F Q， LIU T P. Nested MIMO radar： coarrays， tensor modeling and angle estimation［J］. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems， 2021， 57（1）： 573-585.

［5］WU J L， WEN F Q， SHI J P. Direction finding in bistatic MIMO radar with direction-dependent mutual coupling［J］. IEEE Communications Letters， 2021， 25（7）： 2231-2234.

［6］LU Y W， MA J Z， SHI L F， et al. Multiple interferences suppression with space-polarization 1-decoupling for polarimetrie array［J］. Journal of Systems Engineering and Electronics， 2021， 32（1）： 44-52.

［7］夏德平， 張良， 吳濤， 等. 機(jī)載雙基地極化敏感陣列多干擾抑制［J］. 雷達(dá)學(xué)報(bào)， 2022， 11（3）： 399-407.

XIA D P， ZHANG L， WU T， et al. A multiple interference suppression algorithm based on airborne bistatic polarization radar［J］. Journal of Radars， 2022， 11（3）： 399-407.

［8］ZHENG G M， SONG Y W， CHEN C. Height measurement with meter wave polarimetric MIMO radar： signal model and MUSIC-like algorithm［J］. Signal Processing， 2022， 190： 108344.

［9］CHINTAGUNT S， PONNUSAMY P. 2D-DOD and 2D-DOA estimation using the electromagnetic vector sensors［J］. Signal Processing， 2018， 147： 163-172.

［10］LIU T T， WEN F Q， SHI J P， et al. A computationally economic location algorithm for bistatic EMVS-MIMO radar［J］. IEEE Access， 2019， 7： 120533-120540.

［11］WEN F Q， SHI J P. Fast direction finding for bistatic EMVS-MIMO radar without pairing［J］. Signal Processing， 2020， 173： 10512.

［12］WEN F Q， SHI J P， ZHANG Z J. Joint 2D-DOD， 2D-DOA， and polarization angles estimation for bistatic EMVS-MIMO radar via PARAFAC analysis［J］. IEEE Trans.on Vehicular Technology， 2020， 69（2）： 1626-1638.

［13］MAO C X， SHI J P， WEN F Q. Target localization in bistatic EMVS-MIMO radar using tensor subspace method［J］. IEEE Access， 2019， 7： 163119-163127.

［14］CHINTAGUNT S， PONNUSAMY P. DOD and DOA estimation using the spatial smoothing in MIMO radar with the EMVS sensors［J］. Multidimensional Systems and Signal Processing， 2018， 29（4）： 1241-1252.

［15］CHINTAGUNT S， PONNUSAMY P. Integrated polarisation and diversity smoothing algorithm for DOD and DOA estimation of coherent targets［J］. IET Signal Processing， 2018， 12（4）： 447-453.

［16］PONNUSAMY P， SUBRAMANIAM K， CHINTAGUNT S. Computationally efficient method for joint DOD and DOA estimation of coherent targets in MIMO radar［J］. Signal Processing， 2019， 165： 262-267.

［17］WEN F Q， SHI J P， ZHANG Z J. Generalized spatial smoo-thing in bistatic EMVS-MIMO radar［J］. Signal Processing， 2022， 193： 262-267.

［18］謝前朋， 潘小義， 陳吉源， 等. 基于稀疏陣列的電磁矢量傳感器多輸入多輸出雷達(dá)高分辨角度和極化參數(shù)聯(lián)合估計(jì)［J］. 物理學(xué)報(bào)， 2020， 69（7）： 074302.

XIE Q P， PAN X Y， CHEN J Y， et al. Efficient angle and polarization parameter estimation for electromagnetic vector sensors multiple-input multiple-output radar by using sparse array［J］. Acta Physica Sinica， 2020， 69（7）： 074302.

［19］謝前朋， 潘小義， 陳吉源， 等. 基于新型陣列的雙基地EMVS-MIMO雷達(dá)高分辨角度參數(shù)估計(jì)［J］. 電子與信息學(xué)報(bào)， 2021， 43（2）： 270-276.

XIE Q P， PAN X Y， CHEN J Y， et al. High resolution angle parameter estimation for bistatic EMVS-MIMO radar based on a new designed array［J］. Journal of Electronics amp; Information Technology， 2021， 43（2）： 270-276.

［20］WANG X P， HUANG M X， WAN L T. Joint 2D-DOD and 2D-DOA estimation for coprime EMVS-MIMO radar［J］. Circuits， Systems， and Signal Processing， 2021， 40： 2950-2966.

［21］徐麗琴， 李勇， 劉有耀， 等. 單基地MIMO雷達(dá)波束空間共軛ESPRIT角度估計(jì)方法［J］. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版）， 2022， 52（6）： 1459-1465.

XU L Q， LI Y， LIU Y Y， et al. Beamspace conjugate ESPRIT for angle estimation in monostatic MIMO radar［J］. Journal of Jilin University （Engineering and Technology Edition）， 2022， 52（6）： 1459-1465.

［22］劉東賀， 趙永波， 龐曉嬌， 等. 基于降維波束空間的實(shí)值ESPRIT單基地MIMO雷達(dá)測角算法［J］. 電子與信息學(xué)報(bào)， 2021， 43（12）： 3639-3646.

LIU D H， ZHAO Y B， PANG X J， et al. DOA estimation algorithm based on reduce dimensional beamspace with real-valued ESPRIT for monostatic MIMO radar［J］. Journal of Electronics amp; Information Technology， 2021， 43（12）： 3639-3646.

［23］LIU D H， ZHAO Y B， CAO C H， et al. A novel reduced-dimensional beamspace unitary ESPRIT algorithm for monostatic MIMO radar［J］. Digital Signal Processing， 2021， 114： 2950-2966.

［24］ZHANG J， RAKHIMOY D， HAARDT M. Gridless channel estimation for hybrid mmWave MIMO systems via tensor-ESPRIT algorithms in DFT beamspace［J］. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing， 2021， 15（3）： 816-831.

作者簡介

謝前朋（1991—），男，工程師，博士，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘柼幚怼⒗走_(dá)信號處理。

杜奕航（1991—），男，高級工程師，博士，主要研究方向?yàn)樾盘柼幚怼?/p>

孫 兵（1991—），男，工程師，博士，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘柼幚?、雷達(dá)信號處理。

閆 華（1973—），女，高級工程師，碩士，主要研究方向?yàn)橥ㄐ判盘柼幚怼?/p>

潘小義（1986—），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)镮SAR成像、雷達(dá)信號處理、電子對抗。

趙 鋒（1978—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)殡娮有畔⑾到y(tǒng)仿真建模評估。