摘" 要：

本文對(duì)G-混合冗余策略下可修系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行了研究，該系統(tǒng)由4個(gè)部件和1個(gè)修理工組成，修理工采用多重休假策略，以使人力資源得到充分利用。模型中各類隨機(jī)變量用PH（phase-type）分布來描述，由此建立了通用性較好的系統(tǒng)可靠性模型，并運(yùn)用矩陣分析的方法推導(dǎo)出系統(tǒng)在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)情形下的一些可靠性指標(biāo)。最后，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了模型的適用性，并對(duì)G-混合冗余策略下系統(tǒng)的可靠性與K-混合冗余策略下系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，所提出的可靠性模型在G-混合冗余策略下的可靠性明顯高于在K-混合冗余策略下的可靠性。

關(guān)鍵詞：

PH分布; 多重休假; G-混合冗余策略; 可修系統(tǒng)

中圖分類號(hào)：

F 254.3， O 213

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.07.20

Reliability of multi-state repairable systems under G-mixed

redundancy strategy

WEN Yanqing1， LIU Baoliang1，*， SHI Haiyan1， QIU Qing’an2， GAO Caiwen1

（1. College of Mathematics and Statistics， Shanxi Datong University， Datong 037009， China;

2. School of Management and Economics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China）

Abstract：

In this paper， the reliability for a repairable system under G-mixed redundancy strategy is investigated. The system consists of four components and a repairman， in which the multiple vacation policy of the repairman is adopted so that the human resources can be fully utilized. The phase-type （PH） distribution is used to describe various random variables in the model. A system reliability model with better commonality is developed， and some reliability indexes of the system are obtained in both transient and stationary regimes by employing matrix-analytic method. Finally， the applicability of the model is verified by numerical examples， and the system reliability under G-mixed redundancy strategy is compared with that under K-mixed redundancy strategy. The results show that the proposed reliability model under G-mixed redundancy strategy is significantly higher than that under the K-mixed redundancy strategy.

Keywords：

phase-type （PH） distribution; multiple vacation; G-mixed redundancy strategy; repairable system

0" 引" 言

對(duì)于高科技工業(yè)的系統(tǒng)設(shè)計(jì)師來說，如何提高系統(tǒng)的可靠性是一個(gè)至關(guān)重要的問題，通過使用可靠性高的部件或者冗余部件是經(jīng)常采用的方法［12］。這些方法在容錯(cuò)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)、微電網(wǎng)配電和飛機(jī)液壓系統(tǒng)中有廣泛的應(yīng)用。但是，增加冗余部件往往導(dǎo)致系統(tǒng)費(fèi)用、體積、重量也隨之增加。因此，在不增加系統(tǒng)費(fèi)用的前提下設(shè)法使系統(tǒng)的可靠性達(dá)到最優(yōu)，這是研究者們一直關(guān)注的問題。一般地，主動(dòng)冗余策略和貯備冗余策略是常用的提高系統(tǒng)可靠性的冗余策略。根據(jù)環(huán)境條件對(duì)貯備部件性能影響的不同，貯備冗余策略可以分為冷貯備、溫貯備、熱貯備3種模式［35］。

Ardakan等［6］2014年在傳統(tǒng)主動(dòng)冗余策略和貯備冗余策略的基礎(chǔ)上提出了第3種冗余策略，稱為混合冗余策略。在混合冗余策略下，系統(tǒng)初始時(shí)刻同時(shí)包含活躍部件和貯備部件，當(dāng)最后一個(gè)活躍部件故障時(shí)，第一個(gè)貯備部件替換故障部件進(jìn)行在線工作。直到所有的貯備部件故障，系統(tǒng)才停止工作?；旌先哂嗖呗允侵鲃?dòng)冗余策略和貯備冗余策略的一般形式［78］。

Peiravi等［9］在混合冗余策略的基礎(chǔ)上提出了一種新的冗余策略：K-混合冗余策略。不同于混合冗余策略，K-混合冗余策略設(shè)法保持系統(tǒng)中初始活躍部件的個(gè)數(shù)，K-混合冗余策略是混合冗余策略更一般的形式。最近，Sedaghat等［10］提出了一種新的穩(wěn)健的冗余策略：G-混合冗余策略，G-混合冗余策略是先前所有冗余策略的更一般形式。到目前為止，研究者們把混合冗余策略、K-混合冗余策略、G-混合冗余策略主要用于冗余分配問題［1112］和可靠性優(yōu)化問題［1314］。Sharifi等［15］采用混合冗余策略優(yōu)化了n中取k負(fù)載共享系統(tǒng)的周期檢查間隔。Peiravi等［16］采用K-混合冗余策略討論了可靠性優(yōu)化中的冗余分配問題。Juybari等［17］利用矩陣分析的方法研究了混合冗余策略下三部件可修系統(tǒng)的可靠性，并與主動(dòng)冗余策略下系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行了比較，結(jié)果表明混合冗余策略下系統(tǒng)的可靠性高于主動(dòng)冗余策略下系統(tǒng)的可靠性。Liu等［18］采用K-混合冗余策略和多重休假策略建立了三部件可修系統(tǒng)模型，模型中涉及到的隨機(jī)時(shí)間分布都假定服從phase-type（PH）分布，并把K-混合冗余策略下系統(tǒng)的可靠性與混合冗余策略下系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行了比較，結(jié)果表明K-混合冗余策略下系統(tǒng)有較高的可靠性。

由于PH分布具有以任意精度近似任何非負(fù)隨機(jī)變量的特點(diǎn)，且PH分布在運(yùn)算上具有封閉性，與其他分布相比，其通用性更好，理論上更易于處理。因此，PH分布已廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域。在可靠性理論中，隨機(jī)時(shí)間的分布采用PH分布，可以得到有用的結(jié)果。尹東亮等［19］利用PH分布建立了多維修臺(tái)異步單重休假的溫貯備冗余系統(tǒng)可靠性模型。陳童等［20］利用PH分布研究了n中取k系統(tǒng)的可靠性。Liu等［21］利用PH分布和馬爾可夫到達(dá)過程建立了修理工工作休假和多重休假的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性模型。溫艷清等［22］把離散PH分布引入兩部件冷貯備可修系統(tǒng)模型中。其他一些利用PH分布進(jìn)行可靠性建模的文獻(xiàn)，可參見文獻(xiàn)［2327］。

以往的研究主要集中在采用混合冗余策略或者K-混合冗余策略不可修系統(tǒng)的冗余分配問題和故障特征上，或者是傳統(tǒng)冗余策略下的可修系統(tǒng)，如冷貯備可修系統(tǒng)、溫貯備可修系統(tǒng)、n中取k：G可修系統(tǒng)，而G-混合冗余策略下的可修系統(tǒng)沒有受到關(guān)注?；诖?，本文對(duì)G-混合冗余策略下的四部件可修系統(tǒng)進(jìn)行建模和可靠性評(píng)估，模型中由PH分布描述各類時(shí)間隨機(jī)變量，修理工采用多重休假策略，利用矩陣分析的方法推導(dǎo)出系統(tǒng)在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)下的一些可靠性指標(biāo)，并且對(duì)G-混合冗余策略下系統(tǒng)的可靠性與K-混合冗余策略下系統(tǒng)可靠性進(jìn)行了比較。

1" G-混合冗余策略的運(yùn)行機(jī)制

為了更好地理解G-混合冗余策略的運(yùn)行機(jī)制，以四部件組成的系統(tǒng)為例，說明前面提到的5個(gè)不同的冗余策略：主動(dòng)冗余策略、貯備冗余策略、混合冗余策略、K-混合冗余策略以及G-混合冗余策略。表1是由四部件組成的系統(tǒng)在不同冗余策略下活躍部件數(shù)nA和貯備部件數(shù)ns取值情況。為了與后續(xù)討論一致，在G-混合冗余策略中，系統(tǒng)盡可能保持活躍模式的部件數(shù)取值為nG=2。

從圖1可以看出，在混合冗余策略下，當(dāng)部件2發(fā)生故障時(shí)，貯備部件4并不對(duì)故障部件2進(jìn)行替換，只有當(dāng)在線工作的3個(gè)部件都發(fā)生故障時(shí)，貯備部件才替換故障部件在線工作;而在K-混合冗余策略下，當(dāng)部件2發(fā)生故障時(shí)，貯備部件4立刻替換故障部件2在線工作，因?yàn)镵-混合冗余策略是設(shè)法保持系統(tǒng)中初始活躍部件的個(gè)數(shù)，如圖2所示。從圖3可以看出，與K-混合冗余策略不同，G-混合冗余策略設(shè)法保持系統(tǒng)中工作的部件數(shù)nG=2，所以當(dāng)部件2發(fā)生故障時(shí)，貯備部件4不對(duì)其進(jìn)行替換，而當(dāng)部件1發(fā)生故障時(shí)，貯備部件4立刻對(duì)其進(jìn)行替換在線工作，確保在線工作的部件數(shù)等于2。

2 模型構(gòu)建

2.1" 模型假設(shè)

考慮一個(gè)由4個(gè)部件、1個(gè)維修工以及1個(gè)開關(guān)組成的可修系統(tǒng)，為了提高系統(tǒng)的可靠性，減少系統(tǒng)由于突然停機(jī)造成的經(jīng)濟(jì)損失，系統(tǒng)模型采用G-混合冗余策略模式（見圖3，nG=2），維修工休假采用多重休假策略［5，21，25］。假設(shè)在任意時(shí)刻開關(guān)完好的概率為p，故障的概率為q=1－p，模型的具體假設(shè)如下。

假設(shè) 1" 在初始時(shí)刻t=0，系統(tǒng)中4個(gè)部件都是新的，且開關(guān)完好，部件1～部件3在線開始工作，部件4冷貯備，維修工離開系統(tǒng)開始他的第1次休假。系統(tǒng)運(yùn)行一段時(shí)間后，如果在線工作部件有一個(gè)發(fā)生了故障（例如部件2故障），而部件1和部件3仍然正常工作，那么根據(jù)G-混合冗余策略，貯備部件4不對(duì)故障部件進(jìn)行替換。如果另一個(gè)也發(fā)生了故障（例如部件1故障），那么貯備部件4替換故障部件1在線開始工作（如果此時(shí)開關(guān)完好），因?yàn)镚-混合冗余策略設(shè)法保持系統(tǒng)中工作的部件數(shù)nG=2。當(dāng)系統(tǒng)中所有部件都發(fā)生了故障時(shí)，系統(tǒng)就停止工作。

假設(shè) 2" 當(dāng)維修工從他的第1次休假返回，如果系統(tǒng)中此時(shí)沒有故障的部件等待維修，那么其立即進(jìn)行第2次休假;如果系統(tǒng)中此時(shí)有故障的部件等待維修，那么其停止休假，先維修開關(guān)（如果開關(guān)不可用），再按照“先進(jìn)先出”的規(guī)則，立即對(duì)故障的部件進(jìn)行維修，且修復(fù)如新，直到系統(tǒng)中所有部件和開關(guān)都完好，才進(jìn)行第2次休假，即維修工采用多重休假策略。

假設(shè) 3" 開關(guān)的維修時(shí)間忽略不計(jì)。

假設(shè) 4" 在線工作部件的壽命服從階數(shù)為m的PH分布，表示為PH（α，H）;維修工的休假時(shí)間服從階數(shù)為n1的PH分布，表示為PH（β，S）;故障部件的維修時(shí)間服從階數(shù)為n2的PH分布，表示為PH（γ，T）。

假設(shè) 5" 系統(tǒng)中所有隨機(jī)變量相互獨(dú)立。

以上所建立的系統(tǒng)模型可用于微電網(wǎng)配電［28］、飛機(jī)液壓動(dòng)力系統(tǒng)［29］和油輪的發(fā)電機(jī)組［30］等實(shí)際工程系統(tǒng)中。

在能源短缺的發(fā)展中國(guó)家提供經(jīng)濟(jì)環(huán)保的電力是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題，可以通過部署微電網(wǎng)技術(shù)來解決。通常，每個(gè)微電網(wǎng)由若干可再生能源組成，這些可再生能源發(fā)電以滿足電力需求。每個(gè)可再生能源，如光伏、風(fēng)力渦輪機(jī)、電池存儲(chǔ)和水力發(fā)電，可被視為獨(dú)立發(fā)電的冗余單元。為了提高微電網(wǎng)的可靠性，建議研究所有可能的冗余策略并選擇最佳方案，G-混合冗余策略是優(yōu)選方案之一。此外，由于可再生能源容易發(fā)生故障，因此需要一名維修人員對(duì)微電網(wǎng)執(zhí)行維保活動(dòng)。當(dāng)微電網(wǎng)中沒有故障的可再生能源時(shí)，維修人員將執(zhí)行其他分配的職責(zé)（如預(yù)防性維護(hù)），這表明維修人員正在休假。因此，可以在有修理工的G-混合冗余策略下研究微電網(wǎng)結(jié)構(gòu)，這與以上提出的可靠性模型相吻合。因此，本模型可能有助于優(yōu)化微電網(wǎng)的性能。

根據(jù)模型的假設(shè)，系統(tǒng)可以用一個(gè)連續(xù)時(shí)間馬爾可夫過程{X（t），t≥0}來刻畫，且系統(tǒng)的狀態(tài)空間可以表示為Ω={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10，S11，S12，S13，S14}。為了便于討論，定義位相{（i1，i2，i3，l，k）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1，1≤k≤n2}。其中i1，i2，i3分別表示在線工作部件1～部件3的工作位相，l表示維修工休假時(shí)間的位相，k表示故障部件的修理時(shí)間位相。狀態(tài)空間Ω中每個(gè)宏?duì)顟B(tài)表示的意義如下。

S1={（0，i1，i2，i3，l）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，

1≤i3≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是0，3個(gè)部件在線工作，另一個(gè)部件冷貯備，維修工在休假。

S2={（0，i2，i3，k）：1≤i2≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（0，i1，i3，k）：1≤i1≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（0，i1，i2，k）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是0，兩個(gè)部件在線工作，另外兩個(gè)部件冷貯備，維修工在休假。

S3={（1，i1，l）：1≤i1≤m，1≤l≤n1;

（1，i2，l）：1≤i2≤m，1≤l≤n1;

（1，i3，l）：1≤i3≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是1，一個(gè)部件在線工作，一個(gè)部件故障且等待維修，另外兩個(gè)部件冷貯備，維修工在休假。這種情形下，系統(tǒng)中雖然有兩個(gè)貯備部件，但是此時(shí)開關(guān)故障不可用，所以冷貯備部件不能替換故障部件在線工作。

S4={（1，i2，i3，l）：1≤i2≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（1，i1，i3，l）：1≤i1≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（1，i1，i2，l）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是1，兩個(gè)部件在線工作，一個(gè)部件故障且等待維修，另一個(gè)部件冷貯備，維修工在休假。

S5={（1，i2，i3，k）：1≤i2≤m，1≤i3≤m，1≤k≤n2;

（1，i1，i3，k）：1≤i1≤m，1≤i3≤m，1≤k≤n2;

（1，i1，i2，k）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，1≤k≤n2}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是1，兩個(gè)部件在線工作，一個(gè)部件故障，另一個(gè)部件冷貯備，維修工正在對(duì)故障部件進(jìn)行維修。

S6={（2，l）：1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是2，兩個(gè)部件故障且等待維修，另外兩個(gè)部件冷貯備，維修工在休假。這種情形下，系統(tǒng)中雖然有兩個(gè)貯備部件，但是此時(shí)開關(guān)故障不可用，所以冷貯備部件不能替換故障部件在線工作。

S7={（2，i2，i3，l）：1≤i2≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（2，i1，i3，l）：1≤i1≤m，1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（2，i1，i2，l）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是2，兩個(gè)部件在線工作，兩個(gè)部件故障且等待維修，維修工在休假。

S8={（2，i3，l）：1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（2，i2，l）：1≤i2≤m，1≤l≤n1;

（2，i1，l）：1≤i1≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是2，一個(gè)部件在線工作，兩個(gè)部件故障且等待維修，另一個(gè)部件冷貯備，維修工在休假。這種情形下，系統(tǒng)中雖然有一個(gè)貯備部件，但是此時(shí)開關(guān)故障不可用，所以冷貯備部件不能替換故障部件在線工作。

S9={（2，i2，i3，k）：1≤i2≤m，1≤i3≤m，1≤k≤n2;

（2，i1，i3，k）：1≤i1≤m，1≤i3≤m，1≤k≤n2;

（2，i1，i2，k）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，1≤k≤n2}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是2，兩個(gè)部件在線工作，其他兩個(gè)部件故障，維修工按照維修規(guī)則正在對(duì)故障部件進(jìn)行維修。

S10={（3，i3，l）：1≤i3≤m，1≤l≤n1;

（3，i2，l）：1≤i2≤m，1≤l≤n1;

（3，i1，l）：1≤i1≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是3，一個(gè)部件在線工作，其他3個(gè)部件故障且等待維修，維修工在休假。

S11={（3，i3，k）：1≤i3≤m，1≤k≤n2;

（3，i2，k）：1≤i2≤m，1≤k≤n2;

（3，i1，k）：1≤i1≤m，1≤k≤n2}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是3，一個(gè)部件在線工作，其他3個(gè)部件故障，維修工按照維修規(guī)則正在維修故障的部件。

S12={（3，l）：1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是3，一個(gè)部件在冷貯備，其他3個(gè)部件故障且等待維修，維修工在休假。這種情形下，系統(tǒng)中雖然有一個(gè)貯備部件，但是此時(shí)開關(guān)故障不可用，所以冷貯備部件不能替換故障部件在線工作。

S13={（4，l）：1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是4，故障部件等待維修，維修工在休假。

S14={（4，k）：1≤k≤n2}

表示系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)是4，維修工正在按照維修規(guī)則對(duì)故障部件進(jìn)行維修。

因此，系統(tǒng)的工作狀態(tài)集為U={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10，S11}，故障狀態(tài)集為F={S12，S13，S14}，且這些宏?duì)顟B(tài)之間的相互轉(zhuǎn)移情況如圖4所示。

2.2" 無窮小生成元

根據(jù)以上系統(tǒng)狀態(tài)空間中各個(gè)宏?duì)顟B(tài)表示的意義以及系統(tǒng)狀態(tài)空間的劃分，可以得到該連續(xù)時(shí)間馬爾可夫過程{X（t），t≥0}的無窮小生成元Q如下：

S1" S2" S3" S4" S5" S6" S7" S8" S9" S10" S11" S12" S13" S14

Q=

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

S11

S12

S13

S14A100D10000000000

0A2B1C10000000000

00A30C2D200000000

000A4B20D3E1000000

0G300A5000E200000

00000A600D400000

000000A70C3D50000

0000000A8B300E300

0000G5000A90C4000

000000000A10B40D60

00000000G20A1100D7

0000000000G1A1200

000000000000A13B5

0000000000G400A14（1）

其階數(shù)為：

m3n1+3m2n1+2m2n2+3mn1+mn2+3n1+n2。且W0=－We，S0=－Se，T0=－Te，e是全部元素都為1的列向量，Ij表示階數(shù)為j的單位矩陣，下文中e和Ij的含義同此。

A1表示宏?duì)顟B(tài)S1到宏?duì)顟B(tài)S1之間的轉(zhuǎn)移：

A1=（W⊕W⊕W）In1+ImImImS+

ImImImS0β

式中：（W⊕W⊕W）In1表示3個(gè)在線工作部件中的一個(gè)部件工作位相發(fā)生轉(zhuǎn)移，其他兩個(gè)部件工作位相未發(fā)生轉(zhuǎn)移，且維修工休假位相也未發(fā)生轉(zhuǎn)移;ImImImS表示3個(gè)在線工作部件的工作位相未發(fā)生轉(zhuǎn)移，而維修工的休假位相發(fā)生了轉(zhuǎn)移;ImImImS0β表示3個(gè)在線工作部件的工作位相未發(fā)生轉(zhuǎn)移，而維修工從休假返回S0，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中沒有故障部件，所以以向量β立即開始其第2次休假。同理可知：

A2=WImIn1+ImWIn1+ImImS+ImImS0β

A3=WIn1+In1S

A4=WImIn1+ImWIn1+ImImS

A5=WImIn2+ImWIn2+ImImT

A6=S

A7=WImIn1+ImWIn1+ImImS

A8=WIn1+ImS

A9=WImIn2+ImWIn2+ImImT

A10=WIn1+ImS

A11=WIn2+ImT

A12=S

A13=S

A14=T

B1=qW0ImIn1+ImqW0In1

B2=ImImS0γ

B3=αImS0γ

B4=ImS0γ

B5=S0γ

C1=pW0αImIn1+ImpW0αIn1

C2=αImS0γ

C3=ImImS0γ

C4=W0ImIn2+ImW0In2

D1=W0ImImIn1+ImW0ImIn1+ImImW0In1

D2=W0In1

D3=pW0αImIn1+ImpW0αIn1

D4=ααS0γ

D5=W0ImIn1+ImW0In1

D6=W0In1

D7=W0In2

E1=qW0ImIn1+ImqW0In1

E2=W0αImIn2+ImW0αIn2

E3=W0In1

G1=αS0γ

G2=αImT0γ

G3=ImImT0β

G4=αT0γ

G5=ImImT0γ。

2.3" 穩(wěn)態(tài)概率向量

令π=（πS1，πS2，πS3，πS4，πS5，πS6，πS7，πS8，πS9，πS10，πS11，πS12，πS13，πS14）表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率向量，則πi（i∈{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10，S11，S12，S13，S14}）表示系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，處于宏?duì)顟B(tài)i的概率，其滿足如下方程：

πQ=0

πe=1 （2）

式中：0表示全部元素都為0的列向量;1表示全部元素都為1的列向量，解上述方程組，可得到系統(tǒng)處于各個(gè)宏?duì)顟B(tài)的穩(wěn)態(tài)概率向量。

3" 可靠性指標(biāo)

本節(jié)給出系統(tǒng)的瞬態(tài)可靠性指標(biāo)：可用度、可靠度、故障頻度、修理工空閑的概率以及系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)可靠性指標(biāo)。

令P（t）=（Pab（t））表示連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈{X（t），t≥0}的轉(zhuǎn)移概率矩陣，元素Pab（t）表示0時(shí)刻系統(tǒng)處于宏?duì)顟B(tài)a的條件下，經(jīng)過時(shí)間t后處于宏?duì)顟B(tài)b的概率，即Pab（t）=P{X（t）=bX（t）=a}，a，b∈Ω，且轉(zhuǎn)移概率函數(shù)滿足P（t）=exp（Qt），P（0）=I。

3.1" 瞬態(tài)性能指標(biāo)

3.1.1" 可用度

系統(tǒng)的瞬態(tài)可靠性指標(biāo)定義為時(shí)刻t系統(tǒng)處于工作狀態(tài)的概率，由于系統(tǒng)的工作狀態(tài)集為

U={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10，S11}

所以時(shí)刻t系統(tǒng)的瞬態(tài)可用度為

A（t）=1－（αααβ）∑13i=12PS1Si（t）en1+PS1S14（t）en2（3）

3.1.2" 可靠度和連續(xù)兩次故障的平均時(shí)間

可靠度定義為系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間［0，t］內(nèi)一直處于工作狀態(tài)的概率，令

S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11

QUU=

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

S11A100D10000000

0A2B1C10000000

00A30C2D200000

000A4B20D3E1000

0G300A5000E200

00000A600D400

000000A70C3D50

0000000A8B300

0000G5000A90C4

000000000A10B4

00000000G20A11（4）

從而可得系統(tǒng)的可靠度函數(shù)為

R（t）=（αααβ，0）·exp（QUUt）·

e［m3n1+3m2n1+2m2n2+3mn1+mn2+n1］（5）

連續(xù)兩次故障的時(shí)間服從階數(shù)為m3n1+3m2n1+2m2n2+3mn1+mn2+n1的PH分布，表示為PH（（αααβ，0），QUU），所以連續(xù)兩次故障的平均時(shí)間為μ=－（αααβ，0）Q－1UUe［m3n1+3m2n1+2m2n2+3mn1+mn2+n1］。

3.1.3" 系統(tǒng)的故障頻度

系統(tǒng)的故障頻度定義為系統(tǒng)單位時(shí)間的平均故障次數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)宏?duì)顟B(tài)S8→S12，S10→S13，S11→S14發(fā)生轉(zhuǎn)移時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生故障，因此系統(tǒng)的瞬態(tài)故障頻度為

v（t）=（αααβ）［PS1S8（t）（W0en1）+

PS1S10（t）（W0en1）+PS1S11（t）（W0en2）］（6）

3.1.4" 維修工空閑的概率

當(dāng)系統(tǒng)處于宏?duì)顟B(tài)S1，S2，S3，S4，S6，S7，S8，S10，S12，S13時(shí)，維修工在休假，而當(dāng)系統(tǒng)處于宏?duì)顟B(tài)S5，S9，S11，S14時(shí)，維修工在維修故障部件，因此維修工空閑的概率為

pIdle（t）=1－（αααβ）［PS1S5（t）em2n2+

PS1S9（t）em2n2+PS1S11（t）em2n2+PS1S14（t）en2］（7）

3.2" 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)

3.2.1" 可用度

穩(wěn)態(tài)可用度度量系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，處于工作狀態(tài)所占的時(shí)間比例，從而

A=limt→∞ A（t）=1－（αααβ）{πS12en1+πS13en1+πS14en2}（8）

3.2.2" 故障頻度

系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)故障頻度為

v=limt→∞ v（t）=πS8（W0en1）+πS10（W0en1）+πS11（W0en2）］（9）

3.2.3" 維修工空閑的概率

系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)維修工空閑的概率為

pIdle=limt→∞ pIdle（t）=1－［πS5em2n2+πS9em2n2+πS11em2n2+πS14en2］（10）

4" 數(shù)值算例

本節(jié)通過一個(gè)數(shù)值算例來驗(yàn)證前文所提新模型的正確性和有效性，并把該模型與存在的K-混合冗余策略多狀態(tài)可修系統(tǒng)模型進(jìn)行了比較分析。系統(tǒng)中各個(gè)參數(shù)的取值如表2所示，取p=0.95。

4.1" 系統(tǒng)可靠性評(píng)估

圖5是系統(tǒng)的可用度函數(shù)曲線，在t=30之前，系統(tǒng)可用度下降較快，t=30之后系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)可用度，且穩(wěn)態(tài)可用度A=0.989 4。圖6是系統(tǒng)的可靠度函數(shù)曲線，在t=1 600之后系統(tǒng)可靠度接近于0，且系統(tǒng)連續(xù)兩次故障的平均時(shí)間為μ=305.739 8。圖7是系統(tǒng)的故障頻度函數(shù)曲線，在時(shí)間區(qū)間［0，15］內(nèi)，系統(tǒng)的故障頻度由0逐漸增大到0.004 1，之后系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)故障頻度v=0.004 1。圖8是維修工空閑的概率曲線，在時(shí)間區(qū)間［0，10］內(nèi)，維修工空閑的概率由1逐漸減小到0.628 6。t=10之后，維修工空閑的概率隨著時(shí)間的變化出現(xiàn)微小增加，且在t=35進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)情形下維修工空閑的概率為pIdle=0.640 1，即維修工大約有64.01%的時(shí)間處于休假模式，因此維修工可以利用休假時(shí)間兼職做其他工作，從而大大提高維修工的利用率，可以為企業(yè)增加利潤(rùn)減少費(fèi)用開支。

4.2" G-混合冗余策略模型與K-混合冗余策略模型可靠性比較

假設(shè)四部件K-混合冗余策略可修系統(tǒng)可以用一個(gè)時(shí)間連續(xù)的馬爾可夫過程{Y（t），t≥0}來刻畫，則對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間為Ω′={S1，S′，S″，S4，S7，S8，

S9，S10，S11，S12，S13，S14}，其中宏?duì)顟B(tài)S1，S4，S7，S8，S9，S10，S11，S12，S13，S14表示的意義和前面相同，而

S′={（1，i1，i2，i3，l）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，

1≤i3≤m，1≤l≤n1}

表示系統(tǒng)中故障的部件個(gè)數(shù)是1，3個(gè)部件在線工作，另一個(gè)部件故障等待維修，維修工在休假。

S″={（1，i1，i2，i3，k）：1≤i1≤m，1≤i2≤m，

1≤i3≤m，1≤k≤n2}

表示系統(tǒng)中故障的部件個(gè)數(shù)是1，3個(gè)部件在線工作，另一個(gè)部件故障且維修工正在對(duì)其進(jìn)行維修。因此，系統(tǒng)的工作狀態(tài)集為U′={S1，S′，S″，S4，S7，S8，S9，S10，S11}，故障狀態(tài)集為F′={S12，S13，S14}，宏?duì)顟B(tài)之間的轉(zhuǎn)移率矩陣為

S1S′S″S4S7S8S9S10S11S12S13S14

Q′=S1

S′

S″

S4

S7

S8

S9

S10

S11

S12

S13

S14A1B′0D′00000000

0A′B″0D″0000000

G″0A″000E″00000

00G′A40E′000000

0000A70C3D50000

00000A8B300E300

00G000A90C4000

0000000A10B40D60

000000G20A1100D7

00000000G1A1200

0000000000A13B5

00000000G400A14

式中：

A′=W⊕W⊕W⊕S

A″=W⊕W⊕W⊕T

B′=pW0αImImIn1+ImpW0αImIn1+

ImImpW0αIn1

B″=ImImImS0γ

D′=qW0ImImIn1+ImqW0ImIn1+

ImImqW0In1

D″=W0ImImIn1+ImW0ImIn1+

ImImW0In1

E′=W0ImIn1+ImW0In1

E″=W0ImImIn2+ImW0ImIn2+

ImImW0In2

G′=αImImS0γ

G″=ImImImT0β

G=αImImT0γ

矩陣Q′中的其他元素和矩陣Q中的相應(yīng)元素完全相同。

系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)取表2中的值且p=0.95，則G-混合冗余策略和K-混合冗余策略模型下系統(tǒng)的可用度函數(shù)和可靠度函數(shù)曲線比較如圖9和圖10所示。從圖9可以看出，G-混合冗余策略下系統(tǒng)的可用度曲線明顯高于K-混合冗余策略下系統(tǒng)的可用度曲線，兩種冗余策略模式下系統(tǒng)都是在t=30后達(dá)到穩(wěn)態(tài)可用度，但K-混合策略模式下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度僅為A′=0.984 2，即K-混合冗余策略模式下系統(tǒng)有98.42%的時(shí)間處于工作狀態(tài)。從圖10兩種冗余策略模式下系統(tǒng)可靠度曲線的比較可以看出，系統(tǒng)在G-混合冗余策略模式下的可靠度曲線明顯高于在K-混合策略模式下的可靠度曲線;在K-混合策略模式下，系統(tǒng)連續(xù)兩次故障的平均時(shí)間僅為μ′=201.636 0，所以系統(tǒng)設(shè)計(jì)師應(yīng)該通過采用G-混合冗余策略的模式來提高系統(tǒng)的可靠性。

系統(tǒng)可靠度曲線

5" 結(jié)" 論

本文把G-混合冗余策略引入到可修系統(tǒng)的建模中，提出了G-混合冗余策略多狀態(tài)可修系統(tǒng)可靠性模型，模型中采用維修工多重休假策略，使得人力資源得到充分的利用，從而達(dá)到增加系統(tǒng)利潤(rùn)的目的。

模型中各類隨機(jī)時(shí)間分布利用PH分布進(jìn)行擬合，因?yàn)槿我庖粋€(gè)非負(fù)連續(xù)隨機(jī)變量都可以用PH分布逼近到任意的精度，且PH分布的矩陣表示便于計(jì)算機(jī)求解，使得模型具有通用性和良好的解析性。通過運(yùn)用矩陣分析的方法，獲得了系統(tǒng)在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)情形下的一些可靠性指標(biāo)，并通過數(shù)值算例分析了模型的適用性，進(jìn)一步對(duì)新提出的G-混合冗余策略可修系統(tǒng)可靠性模型與傳統(tǒng)的K-混合冗余策略可修系統(tǒng)可靠性模型進(jìn)行了比較分析。結(jié)果表明，所提出的G-混合冗余策略比K-混合冗余策略達(dá)到的可靠性更高。這些結(jié)論可以為復(fù)雜系統(tǒng)的維修設(shè)計(jì)人員提供有效的決策支持和建議。

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作者簡(jiǎn)介

溫艷清（1980—），女，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)可靠性理論及其應(yīng)用、隨機(jī)建模。

劉寶亮（1982—），男，教授，碩士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)可靠性理論及其應(yīng)用、復(fù)雜系統(tǒng)建模及其優(yōu)化。

師海燕（1982—），女，副教授，碩士，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)可靠性理論及其應(yīng)用、排隊(duì)論。

邱青安（1991—），男，副教授，博士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)可靠性理論及其應(yīng)用、復(fù)雜系統(tǒng)建模及其優(yōu)化。

高采文（1978—），女，教授，碩士，主要研究方向?yàn)椴淮_定理論及其應(yīng)用、可靠性理論及其應(yīng)用。