【摘要】在高中物理學(xué)習(xí)中，變力做功問題是一個(gè)常見的難點(diǎn).本文旨在探討解決變力做功問題的兩種常用方法：微元法和平均值法.并結(jié)合具體例題進(jìn)行講解，幫助學(xué)生更好地理解和掌握這兩種方法，提高他們解決變力做功問題的能力.

【關(guān)鍵詞】高中物理；變力做功；解題技巧

1 引言

在高中物理學(xué)習(xí)中，變力做功問題是一個(gè)常見的難點(diǎn).由于力的大小和方向可能隨著位移的變化而變化，使得變力做功的計(jì)算變得復(fù)雜.為了解決這一問題，可以采用微元法和平均值法.本文將對(duì)這兩種方法進(jìn)行詳細(xì)探討，并通過(guò)具體例題進(jìn)行講解.

2 微元法求解變力做功

微元法在處理變力做功問題時(shí)，其核心思想是將整個(gè)位移區(qū)間分成無(wú)數(shù)微小的小段，每一小段內(nèi)力的大小和方向近似不變，從而可以將其視為恒力.對(duì)于每一微小位移，力可以認(rèn)為是恒定的，因此在該微小位移上做的功為力的值乘以位移的大小.接下來(lái)，對(duì)整個(gè)位移區(qū)間進(jìn)行積分，將所有微小段上的功加起來(lái)，即可得到整個(gè)過(guò)程中變力做的總功.這種方法特別適用于力隨位移連續(xù)變化的情況，如彈簧力、引力等，能夠?qū)?fù)雜的變力做功問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的積分問題，從而有效求解.

例1 如圖1所示，質(zhì)量為m的小車以恒定速率v沿半徑為R的豎直圓軌道運(yùn)動(dòng)，已知小車與豎直圓軌道間的摩擦因數(shù)為μ，試求小車從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，克服摩擦力做的功.

思路分析 小車沿豎直圓軌道從最低點(diǎn)勻速率運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程，由于軌道的支持力是變力，所以所受的摩擦力也是變力，不能根據(jù)功的公式求克服摩擦力做功，可用微元法求解.

解法探究 如圖2所示，將小車運(yùn)動(dòng)的半個(gè)圓周均勻細(xì)分成nn→∞等分，在每段長(zhǎng)πRn的圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可認(rèn)為軌道當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的A處圓弧時(shí)，有：FNiA－mgsinθ=mv2R，

則FfiA=μmv2R+mgsinθ，

WiA=μmv2R+mgsinθ·πRn.

當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的與A關(guān)于x軸對(duì)稱的B處圓弧時(shí)，有FNiB+mgsinθ=mv2R，則FfiB=μmv2R－mgsinθ，WiB=μmv2R－mgsinθ·πRn.由此，小車在以水平直徑對(duì)稱的兩段軌道上克服摩擦力做功之和為：W1=2μmv2R·πRn；于是可知，小車沿半圓周從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，克服摩擦力做的總功為：W總=n2·2πμmv2n=πμmv2.

解決本題的關(guān)鍵要運(yùn)用微元法求變力做功，要知道摩擦力是變力，不能直接根據(jù)功的公式計(jì)算其做功.

3 平均值法求解變力做功

平均力法不同于微元法.微元法是將整個(gè)位移區(qū)間分成無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的微元，然后在每個(gè)微元內(nèi)將變力視為恒力，而平均力法則是在整個(gè)位移區(qū)間內(nèi)取一個(gè)平均力來(lái)計(jì)算總功，不需要將位移區(qū)間分成微元.平均力法在處理變力做功問題時(shí)，其核心思想是將整個(gè)過(guò)程中變力的大小和方向的變化近似地視為一種均勻變化.具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)力隨位移的變化呈現(xiàn)出某種規(guī)律時(shí)，則可以假設(shè)在整個(gè)位移區(qū)間內(nèi)，力的大小和方向是均勻變化的.然后，利用這個(gè)平均力與整個(gè)位移區(qū)間的乘積來(lái)計(jì)算變力所做的功.由于假設(shè)了力是均勻變化的，因此這個(gè)平均力能夠較好地反映整個(gè)過(guò)程中力的大小和方向的變化情況.需要注意的是，平均力法是一種近似方法，它只適用于力隨位移均勻變化或變化不劇烈的情況.如果力的變化非常劇烈或沒有規(guī)律，那么使用平均力法計(jì)算的結(jié)果可能會(huì)有較大的誤差.

例2 如圖3所示，有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為M的均勻鏈條靜止在光滑水平桌面上，其長(zhǎng)度的15懸于桌邊外，如果在鏈條的A端施加一個(gè)拉力使懸著的部分以0.1g（g為重力加速度）的加速度拉回桌面.設(shè)拉動(dòng)過(guò)程中鏈條與桌邊始終保持接觸，則拉力最少需做功（ ）

（A）MLg50. （B）MLg10.

（C）MLg250. （D）MLg25.

思路分析 假設(shè)鏈條懸著的部分被拉回x時(shí)，拉力為F，根據(jù)牛頓第二定律求出F與x的關(guān)系，可知F與x是線性關(guān)系，再求F的平均值，由F的平均值與位移的乘積求F做的功.

解法探究 設(shè)鏈條懸著的部分被拉回x時(shí)，拉力為F，對(duì)整個(gè)鏈條，根據(jù)牛頓第二定律得：F－15L－xLMg=M·0.1g，可得F=0.3Mg－xLMg.

則剛開始拉鏈條時(shí)，x=0，F(xiàn)1=0.3Mg，鏈條全部拉回桌面的瞬間，x=15L，代入F=0.3Mg－xLMg得F2=0.1Mg，所以F的平均值為F=F1+F22=0.2Mg，拉力最少需做功W=FL5=MgL25，故選（D）.

本題中拉力是變力，必須根據(jù)拉力的平均值求拉力做功，根據(jù)牛頓第二定律得到拉力與位移的關(guān)系是關(guān)鍵.

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)微元法和平均值法的原理、適用條件、解題步驟進(jìn)行詳細(xì)分析，并結(jié)合具體例題進(jìn)行講解，幫助學(xué)生更好地理解和掌握這兩種方法，提高解決變力做功問題的能力.在實(shí)際解題過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)根據(jù)具體情況選擇合適的方法，以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算、提高解題準(zhǔn)確率的目的.

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