摘要：半剛性節(jié)點的彈性轉(zhuǎn)動剛度對單層網(wǎng)殼整體穩(wěn)定承載力分析的準確性至關(guān)重要。四點彎曲試驗是廣泛應(yīng)用于獲取半剛性節(jié)點力學(xué)性能的測試方法，但存在轉(zhuǎn)角測量誤差較大的缺陷。本文首先利用能量法原理和撓曲線微分方程，推導(dǎo)出基于四點彎曲力學(xué)模型的半剛性節(jié)點轉(zhuǎn)角和位移關(guān)系的理論公式，進而得到半剛性節(jié)點彈性轉(zhuǎn)動剛度公式；隨后，利用理論公式將四點彎曲試驗測得的荷載-位移曲線轉(zhuǎn)化為節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線（即公式曲線），并與試驗直接測得的節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線（即試驗曲線）進行對比。結(jié)果表明，本文提出的理論公式能夠準確的根據(jù)荷載-位移曲線計算出彎矩-轉(zhuǎn)角曲線，用位移測量替代轉(zhuǎn)角測量，從而準確計算半剛性節(jié)點的彈性轉(zhuǎn)動剛度值，為單層網(wǎng)殼穩(wěn)定承載力分析時考慮節(jié)點的彈性轉(zhuǎn)動剛度提供了依據(jù)。

關(guān)鍵詞：雙段高強度螺栓柱節(jié)點；節(jié)點彈性轉(zhuǎn)動剛度；半剛性節(jié)點；四點彎曲力學(xué)模型

中圖分類號：TU3"""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 文獻標識碼：A"""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""" 文章編號：

Research on the Elastic Rotational Stiffness of Semi-Rigid Joints Based on Four-Point Bending Mechanical Model

SU Bin

（Fujian Boyork Architectural Design Co.，Ltd.，F(xiàn)uzhou Fujian 350003，China）

Abstract： The precise determination of the elastic rotational stiffness of semi-rigid joints is of significant importance in evaluating the overall stability capacity of single-layer latticed shells. The four-point bending test is commonly employed to obtain the mechanical properties of semi-rigid joints， but it has the drawback of significant errors in measuring the rotation angle. Based on the four-point bending mechanical model， this paper firstly derives the relationship formula between the rotation angle and displacement of the semi-rigid joint using the principle of energy method and the differential equation of the deflection curve， and then obtains the formula for calculating the elastic rotational stiffness of the semi-rigid joint; Subsequently， the moment-rotation curve （i.e.， the formula curve） is obtained by the load-displacement curve measured by the four-point bending test according to the relationship formula and compared with the moment-rotation angle curve measured by the test （i.e.， the experimental curve）.The results show that the theoretical formula proposed in this article can accurately calculate the bending moment-rotation curve based on the load-displacement curve， and replace the angle measurement with displacement measurement， thereby accurately calculating the elastic rotational stiffness value of semi-rigid joint. This provides a basis for considering the elastic rotational stiffness of joint when analyzing the overall stability capacity of single-layer latticed shells.

Keywords： double-segment high-strength bolt cylinder joint， elastic rotational stiffness of joint， semi-rigid joints， four-point bending mechanical model

0 引言

近年來，隨著我國工業(yè)生產(chǎn)水平的不斷提高及科技創(chuàng)新的提速增效，大跨空間結(jié)構(gòu)的社會需求和工程應(yīng)用也在逐年增加[1]。單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)由于其結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布比較均勻，應(yīng)力峰值較小，可以充分發(fā)揮材料強度作用，是應(yīng)用于大跨度空間結(jié)構(gòu)較理想的結(jié)構(gòu)形式之一[2]。隨著裝配式鋼結(jié)構(gòu)建筑的發(fā)展，裝配式節(jié)點在單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)工程中得到普遍應(yīng)用。大多數(shù)裝配式節(jié)點都具有有限的轉(zhuǎn)動剛度，能夠承受一定的彎矩，是介于剛性節(jié)點和鉸接節(jié)點之間的半剛性節(jié)點[3]，目前已有越來越多的單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)工程采用了裝配式節(jié)點。

1 概述

單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的靜力穩(wěn)定性往往是其結(jié)構(gòu)設(shè)計的控制因素。非線性有限元計算分析是目前單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析應(yīng)用最普遍的方法。不同于剛性節(jié)點單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)，半剛性節(jié)點單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析的關(guān)鍵是如何合理考慮節(jié)點剛度。目前，國內(nèi)外學(xué)者針對半剛性節(jié)點單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的有限元建模方法開展了一定的研究。其中，YE等[4]、王星等[5] 、SHON 等[6]提出了修正單元剛度矩陣法，該方法需基于有限元理論進行編程開發(fā)，通常不能考慮節(jié)點軸力對節(jié)點轉(zhuǎn)動力學(xué)性能的影響。HAN等[7]、蘆燕等[8]、金躍東[9]、YANG等[3]則采用組件單元法對半剛性節(jié)點單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性進行了研究。該方法通過彈簧單元或梁單元分別模擬節(jié)點各個組件的力學(xué)性能，可以自動考慮節(jié)點軸力和彎矩的耦合效應(yīng)，但有限元建模工作量較大。范峰等[10]、FENG等[11]、JOSU等[12]采用轉(zhuǎn)動彈簧單元法對半剛性節(jié)點單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進行了研究，該方法通常采用轉(zhuǎn)動彈簧單元和梁單元分別模擬節(jié)點轉(zhuǎn)動力學(xué)性能和桿件、節(jié)點體。早期的轉(zhuǎn)動彈簧單元法往往沒有考慮節(jié)點軸力影響[13]，近年來的部分研究，如WANG等[14]、MA等[15]均在計算過程中根據(jù)軸力值對節(jié)點轉(zhuǎn)動力學(xué)性能進行修正的轉(zhuǎn)動彈簧單元法開展研究。

可見，無論是采用修正單元剛度矩陣法還是轉(zhuǎn)動彈簧單元法，均需要事先獲得準確的半剛性節(jié)點轉(zhuǎn)動剛度，才能保證單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析的正確性。四點彎曲試驗是獲取半剛性節(jié)點力學(xué)性能廣泛應(yīng)用的測試方法，但是該方法獲取轉(zhuǎn)角相對比較困難且測量誤差較大，而測得的荷載-位移曲線精度較高且操作過程比較簡單，通過荷載-位移曲線來推導(dǎo)半剛性節(jié)點的彈性轉(zhuǎn)動剛度是一種可行的方法，但是目前還沒有相關(guān)的研究。

針對上述情況，本文以新型半剛性節(jié)點-雙段高強度螺栓柱節(jié)點為研究對象，對該節(jié)點的彈性轉(zhuǎn)動剛度計算公式開展研究[16]。首先，根據(jù)轉(zhuǎn)動彈簧單元法和雙段高強度螺栓柱節(jié)點組成特點，建立了節(jié)點轉(zhuǎn)動彈簧單元模型；其次，基于四點彎曲力學(xué)模型建立推導(dǎo)模型，推導(dǎo)了在四點彎曲模型中半剛性節(jié)點的彈簧轉(zhuǎn)角和桿件撓度的關(guān)系表達式；然后，結(jié)合剛性節(jié)點的撓曲線方程，對半剛性節(jié)點的荷載-位移和彎矩-轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)換計算公式進行了推導(dǎo)，并得到了半剛性節(jié)點彈性轉(zhuǎn)動剛度計算公式；最后，結(jié)合雙段高強度螺栓柱節(jié)點的四點彎曲力學(xué)試驗，對本文的推導(dǎo)公式進行了驗證。結(jié)果表明，本文提出的理論公式能夠較準確的根據(jù)荷載-位移關(guān)系計算出節(jié)點的彈性轉(zhuǎn)動剛度，具有較高的理論意義和工程使用價值。

2 雙段高強度螺栓柱節(jié)點及四點彎曲試驗?zāi)Ｐ?/p>

2.1 雙段高強度螺栓柱節(jié)點組成及其彈簧單元模型

圖1為雙段高強螺栓柱節(jié)點，其主要組成包括了柱狀節(jié)點體、厚螺母、薄螺母和雙段高強螺栓，而在桿件端部焊有端板。雙段高強螺栓是由兩段不同直徑的高強螺桿組成，其中小直徑螺桿通過螺紋擰入至節(jié)點體的螺孔中，大直徑螺桿通過螺母和螺帽的緊固力與端板相連。在使用該節(jié)點的單層網(wǎng)殼整體結(jié)構(gòu)中，由于螺母和節(jié)點體僅起到連接作用，節(jié)點主要通過上下兩個雙段高強度螺栓承受軸力、剪力及殼體平面外彎矩，因此該節(jié)點轉(zhuǎn)動剛度主要與雙段高強度螺栓的規(guī)格、間距和端板厚度有關(guān)。

雙段高強螺栓柱節(jié)點的剛度與其組成部件的參數(shù)相關(guān)，屬于一種半剛性節(jié)點。與剛性節(jié)點不同，半剛性節(jié)點的轉(zhuǎn)動剛度并非無窮大，因此需要在有限元分析中合理考慮節(jié)點的轉(zhuǎn)動剛度。目前，研究人員廣泛使用的考慮節(jié)點半剛性有限元建模方法為轉(zhuǎn)動彈簧單元法，如圖2所示。該方法采用轉(zhuǎn)動彈簧單元模擬節(jié)點的轉(zhuǎn)動性能，采用剛性梁單元模擬節(jié)點體，通過設(shè)定彈簧剛度從而能夠在結(jié)構(gòu)非線性有限元分析中考慮節(jié)點的轉(zhuǎn)動剛度。因此，半剛性節(jié)點單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析的關(guān)鍵是如何準確確定節(jié)點的彈性轉(zhuǎn)動剛度，即模型中彈性轉(zhuǎn)動彈簧的剛度。

2.2 雙段高強螺栓柱節(jié)點四點彎曲試驗?zāi)Ｐ?/p>

對半剛性節(jié)點單層網(wǎng)殼進行穩(wěn)定分析和設(shè)計的前提是準確得到其節(jié)點轉(zhuǎn)動剛度。四點彎曲試驗是廣泛應(yīng)用于獲取半剛性節(jié)點力學(xué)性能的方法。其試驗力學(xué)模型如圖3所示，其中，P為試驗荷載，kN；L為施力點到支座的距離，m；Lp為分配梁支座間距，m；Lj為節(jié)點體中心至支座的距離，m。兩個桿件通過節(jié)點相連且在一條直線上。桿件兩端分別采用簡支約束，中間通過分配梁將豎向集中的荷載轉(zhuǎn)化為兩個荷載分別施加在節(jié)點兩側(cè)的梁上，具體位置參數(shù)見圖3。

通過該方法可準確測得節(jié)點的荷載-位移曲線，且操作過程比較簡單，但對于轉(zhuǎn)角和彎矩的測量比較困難且誤差較大。因此，通過測量得到的節(jié)點荷載-位移曲線來推導(dǎo)節(jié)點的彈性轉(zhuǎn)動剛度是一種可行的方法。

3 基于四點彎曲模型的節(jié)點轉(zhuǎn)動剛度推導(dǎo)

針對上述情況，本節(jié)將基于如圖3所示的四點彎曲試驗?zāi)Ｐ?，推?dǎo)半剛性節(jié)點荷載-位移與彎矩-轉(zhuǎn)角的關(guān)系，進而推導(dǎo)出節(jié)點的轉(zhuǎn)動剛度表達式，為半剛性節(jié)點單層網(wǎng)殼的穩(wěn)定分析設(shè)計提供理論基礎(chǔ)。

3.1 四點彎曲試驗的力學(xué)模型

四點彎曲試驗?zāi)Ｐ椭?，當結(jié)構(gòu)受到分配梁傳遞下來的豎向荷載時，結(jié)構(gòu)的受力和彎矩如圖4所示。其中兩個豎向荷載施力點之間為純彎區(qū)段，該區(qū)段內(nèi)的桿件內(nèi)力僅有彎矩，沒有剪力，可算出彎矩值恒為PL/2。兩個施力點至兩側(cè)簡支支座的區(qū)域為彎剪區(qū)段，剪力大小固定為P/2，從施力點到支座彎矩由PL/2線性減小至0。

考慮對稱荷載作用下結(jié)構(gòu)關(guān)于節(jié)點體中心對稱，因此可以取結(jié)構(gòu)的一半進行推導(dǎo)，得到圖5所示的推導(dǎo)模型。其中A點為支座，B點為豎向荷載的施力點，C點為半剛性節(jié)點。Lj為節(jié)點體中心至支座的距離，L為施力點到支座的距離。

3.2 節(jié)點轉(zhuǎn)動角度與節(jié)點撓度關(guān)系表達式推導(dǎo)

本節(jié)假定結(jié)構(gòu)整體處于線彈性的作用下，基于圖5所示模型推導(dǎo)出半剛性節(jié)點轉(zhuǎn)動角度與撓度的關(guān)系表達式，進而結(jié)合荷載-位移曲線得到半剛性節(jié)點的彎矩-轉(zhuǎn)角曲線。

首先，結(jié)合線彈性假定和結(jié)構(gòu)變形分析可知，半剛性節(jié)點模型中桿件彎矩與剛性節(jié)點假定模型的桿件彎矩完全一致，因此兩個模型由彎矩作用產(chǎn)生彎曲撓度一致（如圖6所示）；而半剛性節(jié)點模型桿件的整體位移除桿件彎曲變形外，還有桿件繞支座A處剛體轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的位移。因此，半剛性節(jié)點模型的整體位移可視為桿件剛體轉(zhuǎn)動位移和桿件變形的疊加，其中桿件剛體轉(zhuǎn)動位移產(chǎn)生的位移曲線為一條直線（見圖7），且桿件繞端部支座A轉(zhuǎn)動的角度與由桿件和節(jié)點體間的彈簧轉(zhuǎn)動角度相同，即θ。

根據(jù)上述分析可進一步得到半剛性節(jié)點受力后的撓度曲線圖，如圖8所示，從圖中可以看出結(jié)構(gòu)各處的位移為剛性節(jié)點假定下桿件的變形撓度與桿件剛體轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的位移之和。在半剛性節(jié)點的假定下，節(jié)點C在外力作用下產(chǎn)生的撓度為wj，其數(shù)值為相同荷載作用剛性節(jié)點假定下節(jié)點C的撓度w1j和桿件剛體轉(zhuǎn)動在C處產(chǎn)生的撓度w2j之和。

本文基于能量法原理對上述結(jié)論進行進一步驗證。首先假設(shè)節(jié)點為剛性節(jié)點，在豎向荷載作用下，處于彈性階段的結(jié)構(gòu)在施力點B處產(chǎn)生的撓度為w1P，如圖6所示。

結(jié)合圖4及圖6可以得到AB與BC段的彎矩方程M1（x）與M2（x）式為：

（1）

（2）

由能量守恒定律可知，保守體系（即彈性體系）中的機械能可以相互轉(zhuǎn)換，但總能量守恒，即作用在結(jié)構(gòu)上的外力對結(jié)構(gòu)的做功與結(jié)構(gòu)體系產(chǎn)生的應(yīng)變能相等。在節(jié)點為剛接的假定下，計算模型圖中外力功W1及應(yīng)變能U1分別為：

（3）

（4）

式（4）中：E為桿件彈性模量，N/m2；I為桿件繞轉(zhuǎn)動軸的慣性矩，m4。

根據(jù)能量法中外力功與應(yīng)變能相等（W1=U1），聯(lián)立公式（3）～（4）可得：

（5）

當節(jié)點為半剛性節(jié)點時，在相同豎向力的作用下，相比剛性節(jié)點，在外力大小不變的情況下，施力點B處的撓度與剛性節(jié)點模型的撓度不同，即外力做功發(fā)生了變化。令結(jié)構(gòu)在施力點B處產(chǎn)生的總撓度為wP，如圖8所示，此時外力做功W2計算公式：

（6）

此時桿件和節(jié)點體間的彈簧單元出現(xiàn)了相對轉(zhuǎn)動，由于半剛性節(jié)點具有一定轉(zhuǎn)動剛度，因此彈簧單元轉(zhuǎn)動會產(chǎn)生應(yīng)變能，即模型中彈簧單元會產(chǎn)生彈性勢能，由于BC段為純彎曲段，作用于C點處彈簧的彎矩與BC段彎矩一致，此時結(jié)構(gòu)的整體應(yīng)變能U2計算公式：

（7）

式（7）中：θ為彈簧的轉(zhuǎn)角，rad，即桿件和節(jié)點體的相對轉(zhuǎn)動角度。

將式（6）～（7）進行聯(lián)立，可得：

（8）

聯(lián)立式（5）～（8）可得：

（9）

式（9）中： w2P為結(jié)構(gòu)在施力點B處由剛體轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的撓度，m。

從式（9）可以看出，節(jié)點轉(zhuǎn)角與桿件受力點處由剛體轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的豎向撓度成正比，比值為該點至支座A的距離。可見，桿件剛體轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的桿件位移為直線，進一步可推出：

（10）

即為節(jié)點轉(zhuǎn)角和節(jié)點處剛體轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的豎向撓度的關(guān)系表達式。

由于試驗中通常測量節(jié)點處的荷載-位移曲線，即能測得wj，若要由式（10）計算節(jié)點產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角θ，還需計算w1j。下面通過引入撓曲線微分方程，求解節(jié)點剛接時產(chǎn)生的撓度w1j，建立wj與w2j的聯(lián)系。

在假定剛性節(jié)點的前提下，設(shè)w1（x）為AB段撓度曲線，w2（x）為BC段撓度曲線，根據(jù)式（1）～（2）建立AB與BC段的撓曲線微分方程：

（11）

（12）

對式（11）～（12）進行積分可得到轉(zhuǎn)角方程：

（13）

（14）

式（13）～（14）中： C1為AB段轉(zhuǎn)角方程的常數(shù)項， C2為BC段轉(zhuǎn)角方程的常數(shù)項。

再次對式（13）～（14）進行積分得到撓曲線方程：

（15）

（16）

式（15）～（16）中： D1為AB段撓曲線方程的常數(shù)項， D2為BC段撓曲線方程的常數(shù)項。

根據(jù)結(jié)構(gòu)的邊界條件可知，支座A處撓度為0，剛性節(jié)點假定下節(jié)點C處轉(zhuǎn)角為0。根據(jù)連續(xù)性條件，在施力點B處的撓度和轉(zhuǎn)角必然相等。將上述條件帶入式（13）～（16）中，求出C1，C2，D1和D2 4個常數(shù)項。

利用BC段的撓曲線方程，求得w1j：

（17）

結(jié)合試驗測得的荷載-位移曲線中節(jié)點處的撓度wj與公式（17）所求得的w1j相減得到w2j后，帶入到公式（10）中，即可得節(jié)點轉(zhuǎn)角和節(jié)點處測得的豎向撓度關(guān)系表達式（18）：

（18）

式（18）中：P為試驗施加的荷載，N； wj為測量得到節(jié)點處的撓度，m；其他均為已知量。

顯然，節(jié)點處彎矩計算公式：

（19）

根據(jù)式（18）～（19），可通過試驗測量得到節(jié)點處的荷載-位移曲線，進而計算出節(jié)點處的彎矩-轉(zhuǎn)角曲線。

3.3 節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線計算流程

基于上述公式推導(dǎo)過程，根據(jù)試驗測得的荷載-位移曲線（P-wj曲線），即可計算出四點彎曲受力模型的節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線（M-θ曲線）。其具體計算過程：①選取荷載-位移曲線中的一點，將該點對應(yīng)的荷載P和實測撓度wj帶入到式（18）中，計算得到轉(zhuǎn)角θ；②根據(jù)四點彎曲模型和施加的荷載，由式（19）計算得到跨中彎矩M；③將荷載-位移曲線內(nèi)各點重復(fù)上兩個步驟，將所得到的點進行連線即可得到彎矩-轉(zhuǎn)角曲線。

3.4 節(jié)點彈性轉(zhuǎn)動剛度計算公式

基于上述推導(dǎo)得到的式（18）～（19），可進一步得到半剛性節(jié)點的彈性轉(zhuǎn)動剛度計算公式，即：

（20）

4 節(jié)點彈性轉(zhuǎn)動剛度公式驗證

利用四點彎曲力學(xué)性能試驗得到節(jié)點荷載-位移曲線（P-wj曲線），通過3.3節(jié)計算流程得到節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線（以下簡稱“公式曲線”）。將“公式曲線”與試驗直接測得的彎矩-轉(zhuǎn)角曲線（以下簡稱“試驗曲線”）進行對比，驗證理論式（18）的準確性。

本節(jié)采用的試驗為文獻[3]開展的雙段高強螺栓柱節(jié)點四點彎曲力學(xué)性能試驗，試驗現(xiàn)場布置如圖9所示，其中節(jié)點一側(cè)桿件端部與底座采用鉸支連接，另一側(cè)桿件的支承方式采用滑動支座，頂部荷載P通過分配梁傳遞給節(jié)點兩側(cè)桿件。試驗受力狀態(tài)與圖4所示力學(xué)模型完全一致。試驗各組試件的具體參數(shù)見表1，試件各部分材性參數(shù)見表2。

圖10為節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角的“試驗曲線”和“公式曲線”的對比，兩者較為接近。通過推導(dǎo)公式轉(zhuǎn)換得到的彎矩-轉(zhuǎn)角曲線與試驗結(jié)果較為接近，說明本文推導(dǎo)出的半剛性節(jié)點轉(zhuǎn)角和節(jié)點撓度的關(guān)系表達式準確。通過觀察可知，兩條曲線在試驗早期階段的吻合程度明顯高于后期階段，這種現(xiàn)象的原因主要是本文推導(dǎo)公式基于線彈性理論，而試驗后期階段則出現(xiàn)了非線性。此外，由于加載初始階段彎矩-轉(zhuǎn)角曲線基本呈直線，節(jié)點彈性轉(zhuǎn)動剛度即為曲線初始階段的斜率。

5 結(jié)論

本文基于四點彎曲力學(xué)模型對單層網(wǎng)殼半剛性節(jié)點的彈性轉(zhuǎn)動剛度計算公式開展了研究，主要結(jié)論如下。

1） 通過對四點彎曲力學(xué)模型進行受力分析，得到了半剛性節(jié)點的四點彎曲受力模型，通過理論分析和公式推導(dǎo)，得到半剛性節(jié)點轉(zhuǎn)動角度和四點彎曲受力模型節(jié)點處撓度的關(guān)系表達式，并推導(dǎo)出了半剛性節(jié)點彈性剛度理論公式。

2） 基于推導(dǎo)公式將半剛性節(jié)點四點彎曲試驗所測得的荷載-位移曲線轉(zhuǎn)換為節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線（公式曲線），并和試驗直接測得的節(jié)點彎矩-轉(zhuǎn)角曲線（試驗曲線）進行對比。結(jié)果表明，本文提出的理論公式能夠準確的根據(jù)荷載-位移曲線計算出彎矩-轉(zhuǎn)角曲線，用位移測量替代轉(zhuǎn)角測量，從而準確計算半剛性節(jié)點的彈性轉(zhuǎn)動剛度。

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編輯：劉 巖

收稿日期：2024-06-04

作者簡介：蘇 斌（1977～），男，福建省福州市人，高級工程師，碩士，研究方向：大跨鋼結(jié)構(gòu)、高層鋼結(jié)構(gòu)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化等。