摘 要：以電磁感應(yīng)知識(shí)為背景的“雙桿問(wèn)題”通常涉及導(dǎo)體桿做較為復(fù)雜的變加速運(yùn)動(dòng)，需運(yùn)用微元法來(lái)處理問(wèn)題。然而，試題中時(shí)間的賦值需要命題者嚴(yán)格求解和驗(yàn)證，才能避免導(dǎo)體桿運(yùn)動(dòng)速度或位移不自洽的矛盾。以一道高三質(zhì)檢壓軸題為例，深入探討引起矛盾的原因，還原雙導(dǎo)體桿在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的本來(lái)面目。

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng)；雙桿問(wèn)題；變加速；數(shù)據(jù)自洽

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2024）10-0073-4

收稿日期：2024-06-01

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度“協(xié)同創(chuàng)新”專項(xiàng)課題“指向物理觀念形成的高中物理大概念教學(xué)實(shí)踐研究”（Fjxczx23-371）；福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度課題“基于科學(xué)思維的高中物理模型建構(gòu)能力培養(yǎng)的課堂實(shí)踐”（FJJKZX23-100）。

作者簡(jiǎn)介：顏輝（1986-），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)物理教學(xué)工作和命題解題研究。

雙導(dǎo)體桿在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，因兩根桿的相對(duì)速度不斷改變，而使得導(dǎo)體桿中的感應(yīng)電流和安培力不斷變化，故“雙桿問(wèn)題”是典型的變加速模型問(wèn)題。對(duì)變加速模型問(wèn)題，設(shè)置數(shù)據(jù)時(shí)，由于所用知識(shí)超出高中物理范疇，或命制試題時(shí)隨意杜撰數(shù)據(jù)導(dǎo)致數(shù)據(jù)不自洽，影響了試題的科學(xué)性［1］。近期某市高三質(zhì)檢壓軸題考查勻強(qiáng)磁場(chǎng)中雙導(dǎo)體桿的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，試題中兩個(gè)“時(shí)間”引起很多師生的質(zhì)疑和討論，以下深入探討引起矛盾的原因，還原雙導(dǎo)體桿的真實(shí)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

1 引起質(zhì)疑和討論的兩個(gè)“時(shí)間”

如圖1（甲）所示，兩平行長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌水平放置，間距L=0.8 m。PQ右側(cè)區(qū)域有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.5 T，方向豎直向上。t=0時(shí)，磁場(chǎng)外的細(xì)金屬桿M以v0=12 m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)。t=1 s時(shí)，細(xì)金屬桿M恰好到達(dá)PQ處。同時(shí)，對(duì)磁場(chǎng)內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài)的細(xì)金屬桿N施加一與軌道平行的水平恒力，其大小F=0.8 N。N桿運(yùn)動(dòng)2 s后兩桿速度相等，兩金屬桿與導(dǎo)軌接觸良好且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌垂直，細(xì)金屬桿M速度隨時(shí)間變化的v-t圖像如圖1（乙）所示。兩桿質(zhì)量均為m=0.2 kg，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，在導(dǎo)軌間的電阻均為R=0.2 Ω，感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)忽略不計(jì)，取重力加速度g=10 m/s2。求：

（1）金屬桿與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；

（2）為保證兩桿不發(fā)生碰撞，初始時(shí)金屬桿N到邊界PQ的最小距離Δx；

（3）金屬桿N最終運(yùn)動(dòng)的速度大小vt，并作出金屬桿N的速度隨時(shí)間變化的v-t圖像（無(wú)需過(guò)程說(shuō)明）；

（4）若從金屬桿N開(kāi)始運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)歷Δt時(shí)間（Δt已知），求整個(gè)過(guò)程兩根金屬桿產(chǎn)生的總焦耳熱Q。

時(shí)間1 “N桿運(yùn)動(dòng)2 s后兩桿速度相等”。M桿進(jìn)入磁場(chǎng)后，N桿也隨之開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩根桿的受力情況如圖2所示，對(duì)M、N桿組成的系統(tǒng)進(jìn)行受力分析有F=2μmg，因此，滿足動(dòng)量守恒mv1=2mv，得v=5 m/s。對(duì)N桿運(yùn)用動(dòng)量定理

Ft+BILt-μmgt=mv-0

其中，BILt==

代入過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間2 s，易得兩根桿共速前1～3 s內(nèi)的相對(duì)位移Δx=xM-xN=0.5 m。再運(yùn)用圖像法進(jìn)一步分析，因?yàn)镸、N桿的質(zhì)量相等，且分析發(fā)現(xiàn)它們所受合力總是大小相等、方向相反，所以N桿的運(yùn)動(dòng)和M桿的運(yùn)動(dòng)是對(duì)稱的關(guān)系，兩根桿均做加速度減小的變速直線運(yùn)動(dòng)。在第（3）問(wèn)中畫出N桿的v-t圖像如圖3所示，其中陰影部分的面積即為兩根桿的相對(duì)位移，而該面積明顯大于0.5 m。兩種方法得出的結(jié)論出現(xiàn)了矛盾，究竟是哪里出了問(wèn)題？

時(shí)間2 “從金屬桿N開(kāi)始運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)經(jīng)歷Δt時(shí)間”。M、N桿共速后，N桿的速度反超M桿，回路中的電流反向，各自受到的安培力也隨之反向，最終兩根桿會(huì)以不同的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。然而，試題中并未給出一個(gè)具體的時(shí)間，而用Δt表示，難道雙導(dǎo)體桿達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間真的無(wú)法確定嗎？

2 探討矛盾之“因”

電磁感應(yīng)中的“雙桿問(wèn)題”涉及兩導(dǎo)體桿做變加速運(yùn)動(dòng)，變加速階段的位移、速度和時(shí)間受特定條件制約，三個(gè)數(shù)據(jù)總是一一對(duì)應(yīng)，它們的變化遵循一定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律［2］。然而，時(shí)間賦值錯(cuò)誤引起不自洽矛盾的根本原因是，在高中物理知識(shí)范疇里解決“雙桿問(wèn)題”時(shí)，將安培力的沖量表示為I=Ft=（vM-vN）t=，對(duì)導(dǎo)體桿運(yùn)用動(dòng)量定理I=Δp，合外力的沖量使得導(dǎo)體桿的動(dòng)量發(fā)生變化。雖然初末狀態(tài)是正確的，但是如果題干中的時(shí)間賦值出錯(cuò)，就會(huì)導(dǎo)致其他力（摩擦力、拉力等）的沖量出錯(cuò)，最終通過(guò)運(yùn)算會(huì)得到一個(gè)錯(cuò)誤的安培力沖量，從而引起不自洽的矛盾。要解決這一問(wèn)題需要將兩根桿的速度隨時(shí)間的變化關(guān)系細(xì)致地刻畫出來(lái)。

3 還原運(yùn)動(dòng)之“本”

3.1 兩導(dǎo)體桿的真實(shí)運(yùn)動(dòng)規(guī)律

研究M桿進(jìn)入磁場(chǎng)后兩根桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，兩桿共速前vM>vN，俯視導(dǎo)軌中的回路有逆時(shí)針?lè)较虻碾娏?，I=，F(xiàn)=（vM-vN）=

0.4（vM-vN）。兩桿的受力情況如圖2所示，取向右為正，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)M桿分析有

F+f=-mM（1）

代入題給數(shù)據(jù)得

0.4（vM-vN）+0.4=-0.2（2）

兩桿構(gòu)成的系統(tǒng)所受合外力為0，由動(dòng)量守恒mM v1=mM vM+mN vN得

10=v+v（3）

由（2）（3）式整理得

4v-18=-（4）

分離變量得

-4dt=（5）

不定積分得

v=（4.5+Ce-4t） m/s（6）

將M桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)的速度v

=10 m/s代入（5）式得C=5.5。（7）

結(jié)合（3）（6）（7）式可得兩桿的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系為

vM=（4.5+5.5e-4t） m/s（8）

vN=（5.5-5.5e-4t） m/s（9）

共速時(shí)，由動(dòng)量守恒mv1=（m+m）v得v=

5 m/s，代入（8）式解得t= s≈0.599 s。因此，M桿進(jìn)入磁場(chǎng)后經(jīng)歷約0.6 s，兩桿就共速了，而不是題給的2 s。將正確的時(shí)間0.6 s代入計(jì)算M桿進(jìn)入磁場(chǎng)后到兩根桿共速的過(guò)程，兩桿的相對(duì)位移為Δx=vdt-vdt≈1.90 m≠0.5 m。

由（8）（9）式可知，當(dāng)t→∞時(shí)，5.5e-4t無(wú)限接近0，M桿的速度無(wú)限趨近v=4.5 m/s，N桿的速度無(wú)限趨近v=5.5 m/s。運(yùn)用數(shù)學(xué)函數(shù)繪圖工具“幾何畫板”可繪制M桿進(jìn)入磁場(chǎng)后兩根桿的速度v和v隨時(shí)間變化的圖像（圖4）。將題干中t=2 s代入得v≈4.502 m/s，v≈5.498 m/s，顯然兩根桿在2 s時(shí)并非是共速，而已經(jīng)是接近穩(wěn)定的狀態(tài)了。

接下來(lái)，筆者用微積分的方法進(jìn)一步用兩根桿達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的過(guò)程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱進(jìn)行驗(yàn)證。從N桿開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到最終兩桿達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的過(guò)程中，回路中的電流大小為

整個(gè)回路中的熱功率為

P=2I2R=（121e-8t-22e-4t+1）×0.4（11）

整個(gè)回路的電熱為

Q=Pdt=［6.05×（1-e-8t）-2.2×（1-e-4t）+0.4t］ J（12）

兩桿達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間趨于無(wú)窮，得Q=（0.4Δt+3.85） J，求解結(jié)果與第（4）問(wèn)的參考答案用系統(tǒng)動(dòng)能定理所得結(jié)論是吻合的。從上面的理論分析我們發(fā)現(xiàn)，兩根桿到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間是趨于無(wú)窮的，而非一個(gè)確定的時(shí)間。

3.2 拓展兩類典型的“雙桿問(wèn)題”

高中物理還有兩類較典型的“雙桿問(wèn)題”，兩導(dǎo)體桿構(gòu)成的系統(tǒng)除了受到安培力外，一類是無(wú)外力作用，還有一類是有恒定外力作用，表1為這兩類“雙桿問(wèn)題”的對(duì)比和分析。

4 小結(jié)與啟示

通過(guò)以上三類高中物理常見(jiàn)的“雙桿問(wèn)題”的對(duì)比和分析后發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)體桿的速度隨時(shí)間的變化均是含有以自然常數(shù)e為底的指數(shù)函數(shù)關(guān)系。理論上，當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，兩桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)才趨于穩(wěn)定，而如果各個(gè)物理量給定了具體的數(shù)值，則可認(rèn)為某時(shí)刻起雙桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)近似達(dá)到穩(wěn)定。因此，教師在命制電磁感應(yīng)雙桿切割的相關(guān)試題時(shí)，給出的具體數(shù)據(jù)應(yīng)遵循科學(xué)性原則，邏輯自洽、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑囶}可以培養(yǎng)學(xué)生正確的物理觀念、科學(xué)思維和科學(xué)態(tài)度［3］。

物理教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑和創(chuàng)新的思維品質(zhì)。無(wú)論是新課教學(xué)還是復(fù)習(xí)備考，教師要有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑環(huán)境，主動(dòng)提出引發(fā)疑問(wèn)的思維問(wèn)題［4］，而試題中的賦值錯(cuò)誤則是培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑和創(chuàng)新的很好的教學(xué)資源。教師要善于捕捉學(xué)生質(zhì)疑的火花，引導(dǎo)學(xué)生在遇到現(xiàn)階段暫時(shí)無(wú)法解決的問(wèn)題時(shí)，勇于突破學(xué)科和知識(shí)的邊界，大膽進(jìn)行跨學(xué)科實(shí)踐和探索，在解決質(zhì)疑問(wèn)題的過(guò)程中提升自己的高階思維和創(chuàng)新能力。

參考文獻(xiàn)：

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［3］華星亮，曾長(zhǎng)興.從“相對(duì)誤差”談收尾速度的合理性設(shè)問(wèn)——以導(dǎo)體棒平動(dòng)切割磁感線為例［J］.物理教學(xué)探討，2023，41（7）：56-58，62.

［4］武長(zhǎng)青.基于質(zhì)疑創(chuàng)新的五個(gè)水平談科學(xué)思維的培養(yǎng)策略［J］.物理教學(xué)，2020，42（4）：7-11.

（欄目編輯 蔣小平）