摘 要：以電磁感應(yīng)知識為背景的“雙桿問題”通常涉及導(dǎo)體桿做較為復(fù)雜的變加速運動，需運用微元法來處理問題。然而，試題中時間的賦值需要命題者嚴(yán)格求解和驗證，才能避免導(dǎo)體桿運動速度或位移不自洽的矛盾。以一道高三質(zhì)檢壓軸題為例，深入探討引起矛盾的原因，還原雙導(dǎo)體桿在磁場中運動的本來面目。

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng)；雙桿問題；變加速；數(shù)據(jù)自洽

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）10-0073-4

收稿日期：2024-06-01

基金項目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度“協(xié)同創(chuàng)新”專項課題“指向物理觀念形成的高中物理大概念教學(xué)實踐研究”（Fjxczx23-371）；福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度課題“基于科學(xué)思維的高中物理模型建構(gòu)能力培養(yǎng)的課堂實踐”（FJJKZX23-100）。

作者簡介：顏輝（1986-），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)物理教學(xué)工作和命題解題研究。

雙導(dǎo)體桿在勻強磁場中做切割磁感線運動，因兩根桿的相對速度不斷改變，而使得導(dǎo)體桿中的感應(yīng)電流和安培力不斷變化，故“雙桿問題”是典型的變加速模型問題。對變加速模型問題，設(shè)置數(shù)據(jù)時，由于所用知識超出高中物理范疇，或命制試題時隨意杜撰數(shù)據(jù)導(dǎo)致數(shù)據(jù)不自洽，影響了試題的科學(xué)性［1］。近期某市高三質(zhì)檢壓軸題考查勻強磁場中雙導(dǎo)體桿的運動問題，試題中兩個“時間”引起很多師生的質(zhì)疑和討論，以下深入探討引起矛盾的原因，還原雙導(dǎo)體桿的真實運動規(guī)律。

1 引起質(zhì)疑和討論的兩個“時間”

如圖1（甲）所示，兩平行長直金屬導(dǎo)軌水平放置，間距L=0.8 m。PQ右側(cè)區(qū)域有勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小B=0.5 T，方向豎直向上。t=0時，磁場外的細(xì)金屬桿M以v0=12 m/s的速度向右運動。t=1 s時，細(xì)金屬桿M恰好到達PQ處。同時，對磁場內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài)的細(xì)金屬桿N施加一與軌道平行的水平恒力，其大小F=0.8 N。N桿運動2 s后兩桿速度相等，兩金屬桿與導(dǎo)軌接觸良好且運動過程中始終與導(dǎo)軌垂直，細(xì)金屬桿M速度隨時間變化的v-t圖像如圖1（乙）所示。兩桿質(zhì)量均為m=0.2 kg，與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)相同，在導(dǎo)軌間的電阻均為R=0.2 Ω，感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場忽略不計，取重力加速度g=10 m/s2。求：

（1）金屬桿與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ；

（2）為保證兩桿不發(fā)生碰撞，初始時金屬桿N到邊界PQ的最小距離Δx；

（3）金屬桿N最終運動的速度大小vt，并作出金屬桿N的速度隨時間變化的v-t圖像（無需過程說明）；

（4）若從金屬桿N開始運動達到穩(wěn)定運動狀態(tài)經(jīng)歷Δt時間（Δt已知），求整個過程兩根金屬桿產(chǎn)生的總焦耳熱Q。

時間1 “N桿運動2 s后兩桿速度相等”。M桿進入磁場后，N桿也隨之開始運動，兩根桿的受力情況如圖2所示，對M、N桿組成的系統(tǒng)進行受力分析有F=2μmg，因此，滿足動量守恒mv1=2mv，得v=5 m/s。對N桿運用動量定理

Ft+BILt-μmgt=mv-0

其中，BILt==

代入過程經(jīng)歷的時間2 s，易得兩根桿共速前1～3 s內(nèi)的相對位移Δx=xM-xN=0.5 m。再運用圖像法進一步分析，因為M、N桿的質(zhì)量相等，且分析發(fā)現(xiàn)它們所受合力總是大小相等、方向相反，所以N桿的運動和M桿的運動是對稱的關(guān)系，兩根桿均做加速度減小的變速直線運動。在第（3）問中畫出N桿的v-t圖像如圖3所示，其中陰影部分的面積即為兩根桿的相對位移，而該面積明顯大于0.5 m。兩種方法得出的結(jié)論出現(xiàn)了矛盾，究竟是哪里出了問題？

時間2 “從金屬桿N開始運動達到穩(wěn)定運動狀態(tài)經(jīng)歷Δt時間”。M、N桿共速后，N桿的速度反超M桿，回路中的電流反向，各自受到的安培力也隨之反向，最終兩根桿會以不同的速度做勻速直線運動。然而，試題中并未給出一個具體的時間，而用Δt表示，難道雙導(dǎo)體桿達到穩(wěn)定狀態(tài)的時間真的無法確定嗎？

2 探討矛盾之“因”

電磁感應(yīng)中的“雙桿問題”涉及兩導(dǎo)體桿做變加速運動，變加速階段的位移、速度和時間受特定條件制約，三個數(shù)據(jù)總是一一對應(yīng)，它們的變化遵循一定的運動規(guī)律［2］。然而，時間賦值錯誤引起不自洽矛盾的根本原因是，在高中物理知識范疇里解決“雙桿問題”時，將安培力的沖量表示為I=Ft=（vM-vN）t=，對導(dǎo)體桿運用動量定理I=Δp，合外力的沖量使得導(dǎo)體桿的動量發(fā)生變化。雖然初末狀態(tài)是正確的，但是如果題干中的時間賦值出錯，就會導(dǎo)致其他力（摩擦力、拉力等）的沖量出錯，最終通過運算會得到一個錯誤的安培力沖量，從而引起不自洽的矛盾。要解決這一問題需要將兩根桿的速度隨時間的變化關(guān)系細(xì)致地刻畫出來。

3 還原運動之“本”

3.1 兩導(dǎo)體桿的真實運動規(guī)律

研究M桿進入磁場后兩根桿的運動規(guī)律，兩桿共速前vM>vN，俯視導(dǎo)軌中的回路有逆時針方向的電流，I=，F(xiàn)=（vM-vN）=

0.4（vM-vN）。兩桿的受力情況如圖2所示，取向右為正，根據(jù)牛頓第二定律，對M桿分析有

F+f=-mM（1）

代入題給數(shù)據(jù)得

0.4（vM-vN）+0.4=-0.2（2）

兩桿構(gòu)成的系統(tǒng)所受合外力為0，由動量守恒mM v1=mM vM+mN vN得

10=v+v（3）

由（2）（3）式整理得

4v-18=-（4）

分離變量得

-4dt=（5）

不定積分得

v=（4.5+Ce-4t） m/s（6）

將M桿剛進入磁場的速度v

=10 m/s代入（5）式得C=5.5。（7）

結(jié)合（3）（6）（7）式可得兩桿的速度隨時間變化的函數(shù)關(guān)系為

vM=（4.5+5.5e-4t） m/s（8）

vN=（5.5-5.5e-4t） m/s（9）

共速時，由動量守恒mv1=（m+m）v得v=

5 m/s，代入（8）式解得t= s≈0.599 s。因此，M桿進入磁場后經(jīng)歷約0.6 s，兩桿就共速了，而不是題給的2 s。將正確的時間0.6 s代入計算M桿進入磁場后到兩根桿共速的過程，兩桿的相對位移為Δx=vdt-vdt≈1.90 m≠0.5 m。

由（8）（9）式可知，當(dāng)t→∞時，5.5e-4t無限接近0，M桿的速度無限趨近v=4.5 m/s，N桿的速度無限趨近v=5.5 m/s。運用數(shù)學(xué)函數(shù)繪圖工具“幾何畫板”可繪制M桿進入磁場后兩根桿的速度v和v隨時間變化的圖像（圖4）。將題干中t=2 s代入得v≈4.502 m/s，v≈5.498 m/s，顯然兩根桿在2 s時并非是共速，而已經(jīng)是接近穩(wěn)定的狀態(tài)了。

接下來，筆者用微積分的方法進一步用兩根桿達到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱進行驗證。從N桿開始運動，到最終兩桿達到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中，回路中的電流大小為

整個回路中的熱功率為

P=2I2R=（121e-8t-22e-4t+1）×0.4（11）

整個回路的電熱為

Q=Pdt=［6.05×（1-e-8t）-2.2×（1-e-4t）+0.4t］ J（12）

兩桿達到穩(wěn)定的時間趨于無窮，得Q=（0.4Δt+3.85） J，求解結(jié)果與第（4）問的參考答案用系統(tǒng)動能定理所得結(jié)論是吻合的。從上面的理論分析我們發(fā)現(xiàn)，兩根桿到達穩(wěn)定狀態(tài)的時間是趨于無窮的，而非一個確定的時間。

3.2 拓展兩類典型的“雙桿問題”

高中物理還有兩類較典型的“雙桿問題”，兩導(dǎo)體桿構(gòu)成的系統(tǒng)除了受到安培力外，一類是無外力作用，還有一類是有恒定外力作用，表1為這兩類“雙桿問題”的對比和分析。

4 小結(jié)與啟示

通過以上三類高中物理常見的“雙桿問題”的對比和分析后發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)體桿的速度隨時間的變化均是含有以自然常數(shù)e為底的指數(shù)函數(shù)關(guān)系。理論上，當(dāng)時間t→∞時，兩桿的運動狀態(tài)才趨于穩(wěn)定，而如果各個物理量給定了具體的數(shù)值，則可認(rèn)為某時刻起雙桿的運動狀態(tài)近似達到穩(wěn)定。因此，教師在命制電磁感應(yīng)雙桿切割的相關(guān)試題時，給出的具體數(shù)據(jù)應(yīng)遵循科學(xué)性原則，邏輯自洽、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑囶}可以培養(yǎng)學(xué)生正確的物理觀念、科學(xué)思維和科學(xué)態(tài)度［3］。

物理教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑和創(chuàng)新的思維品質(zhì)。無論是新課教學(xué)還是復(fù)習(xí)備考，教師要有意識地創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑環(huán)境，主動提出引發(fā)疑問的思維問題［4］，而試題中的賦值錯誤則是培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑和創(chuàng)新的很好的教學(xué)資源。教師要善于捕捉學(xué)生質(zhì)疑的火花，引導(dǎo)學(xué)生在遇到現(xiàn)階段暫時無法解決的問題時，勇于突破學(xué)科和知識的邊界，大膽進行跨學(xué)科實踐和探索，在解決質(zhì)疑問題的過程中提升自己的高階思維和創(chuàng)新能力。

參考文獻：

［1］王懷賓.“變加速模型”試題命制探討［J］.物理教師， 2022，43（1）：64-66.

［2］李萬杰.深度學(xué)習(xí)視域下一道電磁感應(yīng)試題的探討［J］.物理教學(xué)，2022，44（12）：53-56.

［3］華星亮，曾長興.從“相對誤差”談收尾速度的合理性設(shè)問——以導(dǎo)體棒平動切割磁感線為例［J］.物理教學(xué)探討，2023，41（7）：56-58，62.

［4］武長青.基于質(zhì)疑創(chuàng)新的五個水平談科學(xué)思維的培養(yǎng)策略［J］.物理教學(xué)，2020，42（4）：7-11.

（欄目編輯 蔣小平）