摘 要：教材是學(xué)科專家依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)精心打造的精品課程資源，是教師教學(xué)研究的重點(diǎn).為此，筆者對(duì)教材中的一道與正方形有關(guān)的“實(shí)驗(yàn)與探究”問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)分析，給出多種證明，并進(jìn)行類比探究，將結(jié)論推廣到正三角形. 這一實(shí)驗(yàn)探究案例可應(yīng)用于課堂教學(xué)中，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：正方形；探究問(wèn)題；解法；推廣；三角形

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）29-0074-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡(jiǎn)介：朱華（1983.4—），女，陜西省延安人，本科，副高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

教材是最重要的教學(xué)資源，可以幫助學(xué)生建立完備的知識(shí)體系，引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系. 因此，在日常的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研究教材，除了學(xué)習(xí)教材中的方法、公式、定理、結(jié)論之外，還要認(rèn)真領(lǐng)悟教材的前言、旁白、插圖、拓展閱讀材料等.與此同時(shí)，需對(duì)教材中的例題、習(xí)題、實(shí)驗(yàn)與探究問(wèn)題展開研究性學(xué)習(xí).筆者對(duì)人教版初中數(shù)學(xué)教材中的一道研究性問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)分析和拓展研究，以此培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力［1］.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第63頁(yè)“實(shí)驗(yàn)與探究”中有這樣一道探究問(wèn)題：

問(wèn)題1 如圖 1，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等.無(wú)論正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于一個(gè)正方形面積的四分之一.想一想，這是為什么？

2 解法探究

本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，筆者從不同角度對(duì)其進(jìn)行探究［2］.

分析 如圖2，當(dāng)OA1和OC1與正方形ABCD的對(duì)角線重合時(shí)，重疊部分為三角形.此時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，如圖2所示.此時(shí)重疊部分的面積為正方形ABCD面積的四分之一.

一般情況下，正方形ABCD與正方形A1B1C1O的重疊部分是四邊形，其有一組對(duì)角是直角.因此，可以考慮連接EF，將重疊部分分割為Rt△BEF和Rt△OEF，從而重疊部分的面積可轉(zhuǎn)化為Rt△BEF和Rt△OEF的面積之和. 但由于正方形A1B1C1O的位置處于變化之中，因此線段BE，BF，OE，OF的長(zhǎng)度都在變化之中，故無(wú)法直接求出Rt△BEF和Rt△OEF的面積. 因此，需要轉(zhuǎn)換思路. 觀察圖1中的陰影部分，可以猜測(cè)△AEO和△BFO是全等的，故可以考慮利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明.

證法1 如圖1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)A=OB，∠EAO=∠FCO=45°，AO⊥BD.又因?yàn)椤螦OE=∠AOB-∠EOB=90°-∠EOB，∠BOF=∠EOF-∠EOB=90°-∠EOB，所以∠AOE=∠BOF.由此可知，△AOE≌△BOF，所以S△AOE=S△BOF，所以S△AOE+S△BOE=S△BOF+S△BOE，所以S△AOB=S四邊形EBFO.又S正方形ABCD=4S△AOB，所以S正方形ABCD=4S四邊形EBFO.因此，兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于正方形ABCD面積的四分之一.

點(diǎn)評(píng) 這種證法充分利用了正方形的性質(zhì)，即正方形的四條邊相等、對(duì)角線互相垂直、對(duì)角線與邊的夾角為45°等性質(zhì)，并運(yùn)用了全等三角形的判定與性質(zhì)及圖形的割補(bǔ).對(duì)學(xué)生而言，此題技巧性強(qiáng)、綜合性高，可以有效考查正方形和全等三角形的相關(guān)知識(shí)，具有一定的難度［3］.

證法2 如圖4，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)B=OC，∠EBO=∠FCO=45°，AO⊥BD.又∠BOE=∠FOE-∠FOB=90°-∠FOB，∠COF=∠COB-∠FOB=90°-∠FOB，所以∠BOE=∠COF，所以△BOE≌△COF，所以S△BOE=S△COF，所以S△BOE+S△BOF=S△COF+S△BOF，所以S四邊形EBFO=S△BOC.又因?yàn)镾正方形ABCD=4S△BOC，所以S正方形ABCD=4S四邊形EBFO.因此，兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于正方形ABCD面積的四分之一.

點(diǎn)評(píng) 這種證法與證法1類似，都是將重疊部分分割為△BOE和△BOF，從而將重疊部分的面積轉(zhuǎn)化為△BOE和△BOF的面積之和.不同之處在于，證法1將△BOF的面積轉(zhuǎn)化為△AOE的面積，從而將重疊部分的面積轉(zhuǎn)化為△AOB的面積；而證法2是將△BOE的面積轉(zhuǎn)化為△COF的面積，從而將重疊部分的面積轉(zhuǎn)化為△BOC的面積.

3 變式推廣

問(wèn)題2 如圖5， 正三角形ABC的中心為點(diǎn)O， 點(diǎn)O又是正三角形A1B1O的一個(gè)頂點(diǎn)， 而且這兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)相等. 當(dāng)正三角形A1B1O繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 兩個(gè)正三角形重疊部分的面積是否總等于一個(gè)正三角形面積的三分之一？

借助幾何畫板可以發(fā)現(xiàn)，重疊部分的面積并不是固定的，而是處于變化之中. 因此，問(wèn)題2的回答是否定的.問(wèn)題1無(wú)法直接類比到正三角形. 但還可從另一個(gè)角度對(duì)其進(jìn)行類比.

首先，問(wèn)題1可看作如下變式1.

變式 如圖6，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠MON=90°.當(dāng)∠MON繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，∠MON的內(nèi)部與正方形重疊部分的面積總等于正方形面積的四分之一.

根據(jù)以上變式，可提出以下問(wèn)題.

問(wèn)題3 如圖7，正三角形ABC的中心為點(diǎn)O，∠MON=120°. 當(dāng)∠MON繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，∠MON的內(nèi)部與正三角形重疊部分的面積總等于正三角形面積的三分之一.請(qǐng)你證明此結(jié)論.

證法1 如圖8，不妨設(shè)射線OM與AB邊交于點(diǎn)D，射線ON與BC邊交于點(diǎn)E，連接AO和BO.

因?yàn)辄c(diǎn)O是正三角形ABC的中心，所以O(shè)A=OB，∠DAO=∠EBO=30°，∠AOB=120°.又因?yàn)椤螦OD=∠AOB-∠BOD=120°-∠BOD，∠BOE=∠DOE-∠BOD=120°-∠BOD，所以∠AOD=∠BOE，所以△AOD≌△BOE，所以S△AOD=S△BOE，所以S△AOD+S△BOD=S△BOE+S△BOD，所以S△AOB=S四邊形DBEO.又因?yàn)镾正三角形ABC=3S△AOB，所以S正三角形ABC=3S四邊形DBEO.因此，∠MON的內(nèi)部與正三角形重疊部分的面積總等于正三角形面積的三分之一.

證法2 如圖9，不妨設(shè)射線OM與AB邊交于點(diǎn)D，射線ON與BC邊交于點(diǎn)E，連接BO和CO.

因?yàn)辄c(diǎn)O是正三角形ABC的中心，所以O(shè)B=OC，∠DBO=∠ECO=30°，∠BOC=120°.又因?yàn)椤螧OD=∠DOE-∠BOE=120°-∠BOE，∠COE=∠BOC-∠BOE=120°-∠BOE，所以∠BOD=∠COE，所以△BOD≌△COE，所以S△BOD=S△COE，所以S△BOD+S△BOE=S△COE+S△BOE，所以S四邊形DBEO=S△BOC.又因?yàn)镾正三角形ABC=3S△BOC，所以S正三角形ABC=3S四邊形DBEO.因此，∠MON的內(nèi)部與正三角形重疊部分的面積總等于正三角形面積的三分之一.

點(diǎn)評(píng) 證法1和證法2的思路類似，都是先將重疊部分分割為△BOD和△BOE，證法1將△BOE的面積轉(zhuǎn)化為△AOD的面積，而證法2將△BOD的面積轉(zhuǎn)化為△COE的面積.

4 結(jié)束語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，而且能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：［1］ 劉軍.回歸教材 類比拓展：“雙減”背景下的數(shù)學(xué)中考啟示［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2022（11）：40-42.

［2］ 劉文艷.淺析如何幫助初中生提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（24）：16-17.

［3］ 呂亞軍，顧正剛.理性回歸：初中數(shù)學(xué)教材使用中的生態(tài)環(huán)境探析與優(yōu)化［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（2）：31-33.

［責(zé)任編輯：李 璟］