摘 要：中考試題是命題專家依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)命制的精品課程資源，對(duì)教學(xué)具有一定的導(dǎo)向作用.基于此，筆者對(duì)一道中考數(shù)學(xué)填空壓軸題進(jìn)行了教材溯源，并探討了它的多種解法，最后將試題進(jìn)行了遷移和推廣.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，教材是中考命題的鮮活源泉，在日常教學(xué)中要深入研究教材例題和習(xí)題，以此提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：中考試題；溯源；解法；推廣

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）29-0038-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡(jiǎn)介：魯?shù)陆。?979.9—），男，江蘇省南京人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

教材不僅僅是教學(xué)的工具，也是命題的源泉. 一道優(yōu)秀的中考試題往往有著“源于教材，高于教材”的特點(diǎn)，改編自教材的試題可以引導(dǎo)教學(xué)回歸教材，脫離盲目刷題的題海戰(zhàn)術(shù). 筆者以一道中考填空壓軸題為例，分析試題的教材之源，探討試題的多種解法，研究試題的變式推廣.

1 試題呈現(xiàn)

問(wèn)題1 （2022年泰州市中考數(shù)學(xué)第16題）如圖 1，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)O作直線交AC，AB邊于點(diǎn)D，E， 若DE=CD+BE， 則CD的長(zhǎng)為_(kāi)______.

本題考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，涵蓋了初中平面幾何中的重要知識(shí)點(diǎn).試題綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生具備靈活的數(shù)學(xué)思維，體現(xiàn)了中考試題的選拔性功能.

2 試題溯源

蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第73頁(yè)有如下問(wèn)題：

問(wèn)題2 如圖2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，MN過(guò)點(diǎn)O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)M，N.求證：MN=BM+CN.

分析 因?yàn)镸N∥BC，所以∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB.因?yàn)镺B是∠ABC的角平分線，OC是∠ACB的角平分線，所以∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，所以∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，所以ΔMBO和ΔNCO為等腰三角形，所以BM=MO，CN=ON，所以BM+CN=MO+ON=MN.

顯然，問(wèn)題1與問(wèn)題2都與三角形內(nèi)心的性質(zhì)有關(guān)，區(qū)別在于問(wèn)題1將問(wèn)題2的結(jié)論作為條件，問(wèn)題的難度增加.為了降低難度，問(wèn)題1將問(wèn)題2中的三角形變?yōu)閮蓷l直角邊長(zhǎng)分別為8和6的特殊直角三角形，但改編后的試題難度仍然大于原題的難度，凸顯了中考試題“源于教材，高于教材”的特色.

3 試題解法

解法1 情形（1）：如圖3， 過(guò)點(diǎn)O作直線DE∥BC，分別與AC，AB交于點(diǎn)D，E.連接OB，OC.

因?yàn)镈E∥BC，所以∠OBC=∠BOE.因?yàn)镺為△ABC的內(nèi)心，所以∠OBC=∠OBE，所以∠BOE=∠OBE，所以BE=OE.同理CD=OD.從而DE=OD+OE=CD+BE.故當(dāng)DE∥BC時(shí)，點(diǎn)D，E滿足條件DE=CD+BE.下面計(jì)算此時(shí)CD的長(zhǎng)度.

在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可知AB=BC2+AC2=62+82=10. 因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ACB，所以ADAC=DEBC=AEAB.設(shè)CD=OD=x，BE=OE=y，則AD=8-x，DE=x+y，AE=10-y，從而可得8-x8=x+y6，10-y10=x+y6，解得x=2，y=52，所以CD=2.

情形（2）：如圖 4，連接AO，作DE關(guān)于直線AO的對(duì)稱線段D′E′，點(diǎn)D′在AC上，點(diǎn)E′在AB上.

因?yàn)镺為ΔABC的內(nèi)心，所以∠OAD=∠OAD′.又因?yàn)镈E⊥AC，且D′E′與DE關(guān)于AO對(duì)稱，所以D′E′⊥AB，所以∠ODA=∠OE′A=90°，從而可知Rt△ODA≌Rt△OE′A，故OD=OE′.同理Rt△ODD′≌Rt△OEE′，所以O(shè)E=OD′，DD′=EE′，所以D′E′=OD′+OE′=OE+OD=DE=CD+BE=CD′+DD′+BE′-EE′=CD′+BE′，此時(shí)的點(diǎn)D′，E′也滿足題目要求.從而，△AE′D′∽△ACB，所以AD′AB=D′E′BC=AE′AC.設(shè)CD′=x，BE′=y，則AD′=8-x，D′E′=x+y，AE′=10-y，所以8-x10=x+y6，10-y8=x+y6，解得x=12，y=4，所以CD′=12.

綜上所述，CD的長(zhǎng)為2或12.

這種解法的關(guān)鍵是作出與BC平行的線段DE及其關(guān)于AO的對(duì)稱線段D′E′，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的幾何直觀與邏輯推理能力，一般的學(xué)生難以想到.另一方面，這種解法給出了兩個(gè)解，但無(wú)法回答是否還存在其他解.下面給出一種基于代數(shù)運(yùn)算的解決方法，可以有效避開(kāi)幾何推理的難點(diǎn)，同時(shí)可以回答是否還存在其他解的問(wèn)題［1］.

解法2 如圖5，過(guò)點(diǎn)O作MN⊥AC，交AC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，作EH⊥BC于點(diǎn)H.

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=10. 因?yàn)辄c(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，根據(jù)S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC可得OF=AC·BCAC+BC+AB=8×68+6+10=2. 易證四邊形CMOF是正方形，所以O(shè)M=CM=OF=2. 設(shè)BH=3x，EH=4x，BE=5x，CD=y. 則DE=CD+BE=y+5x，DM=CM-CD=2-y，DG=CG-CD=4x-y，EG=CH=BC-BH=6-3x. 在Rt△EDG中，由勾股定理得DG2+EG2=DE2，即（4x-y）2+（6-3x）2=（y+5x）2，從而xy=2-2x. 易知△DOM∽△DEG，所以DMDG=OMEG，即2-y4x-y=26-3x，整理得3xy=14x+4y-12，將xy=2-2x代入，并整理得10x+2y=9，再將此式代入方程xy=2-2x得2y2-5y+2=0，解得y1=12，y2=2. 從而CD的長(zhǎng)為2或12.

這種解法根據(jù)幾何關(guān)系建立兩個(gè)方程，再將兩個(gè)方程聯(lián)立，從而解出線段CD的長(zhǎng)度. 由以上解法可知，滿足條件的線段CD的長(zhǎng)度只有兩種可能，不存在其他解，這回答了前面的疑惑.因此，嚴(yán)格地說(shuō)，解法1不完備，而解法2是一種完備的解法.

4 變式推廣

問(wèn)題3 如圖 1，△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)O作直線交AC，AB邊于點(diǎn)D，E，若DE=CD+BE，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)______.

簡(jiǎn)解 情形（1）：如圖6， 過(guò)點(diǎn)O作直線DE∥BC，且分別與直線AC，AB交于點(diǎn)D，E.連接OB，OC.類似問(wèn)題1的解答可知此時(shí)的DE滿足條件DE=CD+BE.

在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可知AC=23. 易知△ADE∽△ACB，所以ADAC=DEBC=AEAB.設(shè)CD=OD=x，BE=OE=y，則AD=23-x，DE=x+y，AE=4-y，所以23-x23=x+y2，4-y4=x+y2，解得x=3-1，y=23-33，所以CD=3-1.

情形（2）：如圖6，連接AO，作線段DE關(guān)于直線AO的對(duì)稱線段D′E′，其中點(diǎn)D′在AC上，點(diǎn)E′在AB上. 類似問(wèn)題1的解答可知此時(shí)的D′E′滿足條件D′E′=CD′+BE′.易知△AE′D′∽△ACB，所以AD′AB=D′E′BC=AE′AC.設(shè)CD′=x，BE′=y，則AD′=23-x，DE=x+y，AE′=4-y，所以23-x4=x+y2，4-y23=x+y2，解得x=43-63，y=3-3，所以CD′=43-63.

綜上所述，CD的長(zhǎng)為3-1或43-63.

問(wèn)題4 在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)O作直線交AC，AB邊于點(diǎn)D，E， 若DE=CD+BE， 求CD的長(zhǎng).

與前文類似，易得CD的長(zhǎng)為12（a+b-c）或（b-a）（a+b-c）2b（若b＜a，則舍去）［2］.限于篇幅，求解過(guò)程從略，有興趣的讀者自行探究.

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，2022年泰州市中考數(shù)學(xué)第16題是一道由教材習(xí)題改編而來(lái)的壓軸題.受教材習(xí)題的啟發(fā)，筆者給出了試題的幾何解法，但解法不夠嚴(yán)謹(jǐn)，無(wú)法回答是否還存在其他解.為此，筆者利用代數(shù)方法給出了完備的解答過(guò)程.通過(guò)解法分析，給出了試題的類比遷移和推廣.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可利用試題的變式和推廣，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：［1］ 陳宇.源流共舞 動(dòng)靜相宜：2021年安徽中考第23題印象［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（4）：63-66.

［2］ 謝向華. 源于課本，高于教材：例談一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（8）：40-42.

［責(zé)任編輯：李 璟］