摘要：對三角函數(shù)求最值微專題的兩道高考經典真題進行多視角解答探究，目的是在題量上以少勝多，即達到做一題通一類的目的.

關鍵詞：高考真題；三角函數(shù)；最值；一題多解

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0038-05

縱觀近幾年高考考查三角函數(shù)的內容，幾乎都有一道涉及三角恒等變換的小題，一般屬于容易或中檔難度，這些小題往往題干簡潔、精煉優(yōu)美、內涵豐富，因受到學生的喜愛而成為所謂的“網紅”.三角變換是高中數(shù)學基本運算之一，但難點在于涉及公式多，角與角相互關系密切且錯綜復雜，解題時容易陷入方法無從選擇的困境，有時思路不一樣會導致解題長度不同，甚至進入泥潭不能自拔.下面筆者以一道高考試題為例，淺析三角變換求值常涉及的處理策略，希望讀者細細品味，在多種解法中，看看哪些是由于公式選擇不同造成的，哪些是由切入點不同造成的，只有把這些問題弄清楚后才有助于我們去理解三角變換問題的解題精髓.

1真題呈現(xiàn)

題目（2019年新課標Ⅰ卷）函數(shù)f（x）=

sin（2x+3π2）-3cosx的最小值為.

分析本題主要考查了誘導公式、二倍角的余弦公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，以及利用余弦函數(shù)、二次函數(shù)的性質求解最值的應用，同時考查轉化思想以及計算能力.

2多視角解答

解法1直接配方法.

f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx

=-cos2x-3cosx

=-2cos2x-3cosx+1

=-2（cosx+34）2+178，

因為-1≤cosx≤1，

所以當cosx=1時，f（x）min=-4.

故函數(shù)f（x）的最小值為-4.

點評 解答本題的過程中，部分考生易忽視

-1≤cosx≤1的限制，而簡單應用二次函數(shù)的性質，出現(xiàn)運算錯誤.

解法2圖象法.

因為f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx

=-cos2x-3cosx

=-2cos2x-3cosx+1，

令t=cosx，則-1≤t≤1.

又因為f（t）=-2t2-3t+1的開口向下，對稱軸t=-34，在［-1，1］上先增后減，結合圖象易得當t=1即cosx=1時，函數(shù)有最小值-4.

點評此法實質與解法1類似，只是著重進行換元轉化為二次函數(shù)從圖象入手，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想.

解法3利用觀察法.

由解法2，得

f（x）=-2cos2x-3cosx+1

=-2cos2x+3cosx+1，

當2cos2x+3cosx取最大值時，即由三角函數(shù)的有界性可知t=cosx=1時f（x）取最小值4.

解法4利用導數(shù)求值.

由解法2有f（t）=-2t2-3t+1，t∈-1，1.

即 f ′（t）=-4t-3，

當f ′（t）>0時t<-34；

當f ′（t）<0時，t>-34.

即f（t）在區(qū)間-34，1單調遞減，在區(qū)間-1，-34單調遞增，所以f（t）在

t∈-1，1時，f（t）min=f（1

）=-4.

點評此法體現(xiàn)了導數(shù)在三角函數(shù)中的運用，實際上，對涉及二次函數(shù)類型求對稱軸問題，有時用導數(shù)容易求得對稱軸，可以避免由于同學記錯公式或配方不當導致錯誤.

解法5利用向量不等式.

由解法1可知

f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx

=-2cos2x-3cosx+1

=2sin2x-3cosx-1.

令a=sinx，cosx，b=2sinx，-3，

由|a·b|≤|a|·|b|，得

|2sin2x-3cosx|≤sin2x+cos2x·4sin2x+9

=4sin2x+9.

結合式子2sin2x-3cosx-1易得，當sinx=0時，4sin2x+9=3時，|2sin2x-3cosx|=3，此時2sin2x-3cosx=-3，即函數(shù)f（x）的最小值為-4.

點評向量不等式的運用體現(xiàn)了向量的工具性作用，尤其涉及式子結構有和與積的特征時，可以考慮構造向量數(shù)量積.不等式|a·b|≤|a|·|b|實際是柯西不等式的向量表達形式，即本法也是利用了柯西不等式.

那么此題在化簡f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx=-cos2x-3cosx時，我們發(fā)現(xiàn)此結構在歷年的高考試題中屢見不鮮！如：

例1（2017年新課標Ⅱ卷文科第13題）函數(shù)f（x）＝2cosx+sinx的最大值為.

例2（2013年新課標Ⅰ卷）設當x=θ時，函數(shù)f（x）＝sinx-2cosx取得最大值，則cosθ＝.

例3（2011年新課標卷）在△ABC中，B＝60°，AC=3，則AB+2BC的最大值為.

由以上真題探究解法和思路及幾道真題回放發(fā)現(xiàn)，這是真正的姊妹題呀！

在以上解法4的導數(shù)法中，我們會疑問f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx=-cos2x-3cosx可以直接利用求導解嗎？如直接求導則有f ′（x）=2sin2x+3sinx，哇塞！這不是變?yōu)椋?018年全國新課標Ⅰ卷理科16題）已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是的“姊妹題”嗎？筆者發(fā)現(xiàn)網上討論此題解法大部分都是利用導數(shù)的方法去破解，然而求函數(shù)的最值我們深知常見有配方法、單調性法、基本不等式法、向量法、數(shù)形結合法等，下面利用真題呈現(xiàn)的一些解題思路，再結合自己參與網絡的探究進行整理與讀者交流.

3重溫經典真題及解答

例4（2018年全國新課標Ⅰ卷理科16題）已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是.

解法1利用配方法.

f（x）=2sinx+2sinxcosx

=2sinx+2sinxcosx+3（sin2x+cos2x-1）

=33（3cosx+sinx）2+233（sinx+32）2-332

≥-332.

只有當3cosx+sinx=sinx+32=0時，即x=2kπ-π3（k∈Z）時，f（x）min=-332.點評觀察函數(shù)結構特點，將sinx與cosx合理分配湊成完全平方和，這對學生變形技巧要求較高，體現(xiàn)了思維的難度加大.

解法2利用導數(shù)法.

因為f（x）=2sinx+sin2x，所以

f ′（x）=2cosx+2cos2x

=4cos2x+2cosx-2

=4（cosx-12）（cosx+1）.

由f ′（x）≥0，得12≤cosx≤1.

即2kπ-π3≤x≤2kπ+π3（k∈Z）.

同理f ′（x）≤0，得-1≤cosx≤12.

即2kπ+π3≤x≤2kπ+π（k∈Z）或2kπ-π≤x≤2kπ-π3（k∈Z）.

當x=2kπ-π3（k∈Z）時，f（x）取得最小值且

f（2kπ-π3）=-332.

解法3在閉區(qū)間內利用導數(shù)求最值.

由題設易知2π是f（x）的周期且f（x）為奇函數(shù).

因為f ′（x）=2（1+cosx）（2cosx-1），

令f ′（x）=0，

解得x=π3或x=5π3.

由f（0）=f（2π）=0，f（π3）=332，f（5π3）=-332，

得f（x）∈-332，332.

則f（x）取得最小值-332.

解法4平方后利用導數(shù)求最值.

因為f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），

所以f（x）2=4sin2x（1+cosx）2

=4（1+cosx）3（1-cosx）.

設cosx=t，則

y=4（1-t）（1+t）3（-1≤t≤1）.

所以y′=-（1+t）3+3（1-t）（1+t）2

=4（1+t）2（2-4t）.

即當-1<t<12時，y′>0；

當12<t<1時，y′<0.

即函數(shù)y=4（1-t）（1+t）3（-1≤t≤1）在

（-1，12）上單調遞增，在（12，1）上單調遞減，所以當

t=12時，ymax=274.當t=±1時，ymin=0.

所以0≤f（x）2≤274.

即-332≤f（x）≤332.

則f（x）的最小值為-332.

點評平方后實質是統(tǒng)一函數(shù)名稱，這正是我們三角變換常用的轉化思想，再進一步轉化為函數(shù)求導求最值.

解法5利用向量不等式|a·b|≤|a||b|.

因為f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），

令a=（0，sinx），b=（0，1+cosx），

則f（x）=2a·b.

因為|a·b|≤|a||b|

=sin2x·（1+cosx）2，

設1+cosx=t∈0，2，

即m（t）=-t4+2t3.

又m′（t）=-4t3+6t2=-2t2（2t-3），

易得m（t）在區(qū)間（32，2）單調遞減，（0，32）單調遞增.

所以m（t）max=m（32）=2716.

所以-334≤|a·b|≤334.

即-332≤f（x）≤332.

所以f（x）的最小值為-332.

點評向量不等式的運用體現(xiàn)了向量的工具性作用，尤其涉及式子結構有和與積的特征，可以考慮構造向量數(shù)量積.

解法6構造圓，利用數(shù)形結合.

因為f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），如圖1，以AB為直徑作一單位圓，點C為圓上任意一點，CD⊥AB于點E，設∠COE=x，

即sinx=yc=|CE|，1+cosx=1+xc=|AE|.

則|f（x）|=|2sinx（1+cosx）|=2S△ACD，當且僅當x=∠CAD=60°時，

即單位圓里正三角形面積最大.

則S△ACD取得最大值為334.

又因為f（x）=2sinx+sin2x為奇函數(shù)，

故當x=-60°時，f（x）的最小值為-332.

點評單位圓與三角函數(shù)密不可分，由式子結構變形后有乘積，構造圓利用數(shù)形結合法搭建面積表達式進行求解.可見方法獨到又易于聯(lián)想，體現(xiàn)了數(shù)學素養(yǎng)中的直觀想象的運用.

解法7構造兩圖象相切.

由f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），

設m=cosx，n=sinx，

則t=2n（1+m）.

所以m2+n2=1，n=t2（1+m）.

由圖2，設兩切線切于點x，y，則滿足x2+

y2=1，y=t2（x+1），-t2（x+1）2=-x±1-x2三者同時成立，

聯(lián)立得方程2x2+x-1=0，解得x=12，合題意.

由t=±332，則-332≤f（x）≤332.

點評此法進一步體現(xiàn)數(shù)形結合的思想，將原函數(shù)轉化為兩函數(shù)圖象的位置關系，這也是研究函數(shù)零點的常用方法之一.

解法8利用琴生不等式或取特殊值法.

由題設易知2π是f（x）的周期且f（x）為奇函數(shù).

由函數(shù)f1（x）=2sinx和f2（x）=sin2x的圖象特點可知，當x∈0，π時，f（x）可取最大值.

所以當x∈0，π時，y=sinx是凸函數(shù).

由琴生不等式，得

f（x）=2sinx+sin2x

=sinx+sinx+sin（π-2x）

≤3sinx+x+π-2x3

=332，

當且僅當x=π3時等號成立，即f（x）的最大值為332.

假如不知道琴生不等式，可特殊化，相當于三個內角的三個正弦值之和.經驗告訴我們令三個角相等，即為等邊三角形時和最大，由奇函數(shù)可得f（x）的最小值為-332.

點評此法利用高等數(shù)學背景進行求解，但在變形過程中學生可以根據三個式子特點猜想三個角相等從而獲解堪稱秒殺！

有了以上真題鋪墊，我們有以下變式題的出場，請讀者從多角度動手試一試.

變式1函數(shù)y=cos2x+2sinx的最大值是.

變式2已知函數(shù)f（x）=5sinx-12cosx，當x=x0時，f（x）有最大值13，則tanx0＝.

變式3函數(shù)f（x）=sin3x+3cos2x（x∈［-π3，π2］）的值域為.

答案32;-512;［6-338，3］.

4解答與設計感悟

歷年的高考真題因其權威性、代表性，學生幾乎都要進行訓練.比如對2018年這道考題，如果我們在訓練講評時草草收場，輕描淡寫，不去深層次挖掘試題的內涵，長期這樣則會導致學生思維的局限性.所以平時訓練時不僅要求熟練掌握通法，還要聯(lián)系知識間的交匯點，從不同角度剖析，進行一題多解、一題多變，發(fā)散學生思維，從而提高學生的解題能力，這樣才會順理成章地有2019年這道高考試題的多種解法誕生.通過以上解題訓練，讓學生真正體會做一題通一類，讓考生在答題時心中有法有路，不恐懼，感悟做過真題價更高！教師作為學生的引路人，更應該在高考試題上進行多研究多思考，常言道：學生需要一滴水，老師要有一桶水！對于2018年的這道題目，有興趣的同學繼續(xù)探究下去會發(fā)現(xiàn)還可以利用萬能公式換元求最值、化為同角后再構造四元均值不等式、化為同名函數(shù)再構造四元均值不等式、構造拉格朗日函數(shù)多達二十幾種解法！讓他們體會學習數(shù)學的魅力和解題樂趣.正如著名數(shù)學教育家波利亞所言：一個有責任心的教師與其窮于應付煩瑣的數(shù)學內容和過量的題目，還不如適當選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發(fā)掘題目的各個方面，在指導學生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力［1］.

5結束語

在高三復習備考中，有許多同學盲目地熱衷刷題，而忽視了“刷方法”“刷思維”.著名數(shù)學教育家孫維剛曾說過，如果我們只追求多解的數(shù)量，對每種解法也不進行深入探討，那么對于有些本質相同只是形式略有區(qū)別的解法就不必花更多的時間[2].同時如果不同角度的解法在思路上拉開的距離較大，運用的知識較多，這將加深對題目本質的理解，加深對每個解法本質的理解，加深對所用概念和公式及相互間聯(lián)系的理解.如果把這些解法相互比較，進行抽象，還會在方法上有所創(chuàng)造，提高解題能力，這樣一題多解就很有價值了.

參考文獻：

［1］

余獻虎.深度設計以“理解”為目標的教學：以“整式的化簡”為例[J].數(shù)學通訊，2023（21）：26-27，40.

［2］ 林敏.對2023年乙卷理科16題的再思考[J].數(shù)理化解題研究，2023（28）：43-45.

［責任編輯：李璟］