摘要：對第39屆物理競賽復賽第5題進行分析，從拓展學生思維的角度出發(fā)，采用數(shù)理結合的思想，給出有別于標準答案的另兩種解題方法.在解題過程中，采用微分方程對物理問題求解，幫助學生巧妙避免復雜的思維過程，實現(xiàn)對問題求解的簡化，讓學生在比較不同科學方法的過程中體會“一題多解”的魅力，旨在提高學生的科學思維水平，發(fā)展學生的綜合能力.同時對解決這一類型的問題提供了一定的幫助與思考.

關鍵詞：一題多解；物理競賽；數(shù)理結合；思維能力

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0111-03

物理學科核心素養(yǎng)要求學生具有批判性思維的意識，能基于證據(jù)大膽質疑，從不同角度思考問題[1].

物理競賽重點考查參賽學生應用知識的能力和創(chuàng)造性地解決實際問題的能力[2]，這要求學生從多個視角剖析問題，帶著創(chuàng)新思想解決競賽中遇到的問題[3].本文對第39屆全國中學生物理競賽復賽第5題進行多角度研究，給出了新的解題思路.

1原題呈現(xiàn)

（第39屆全國中學生物理競賽復賽第5題）兩根相同的理想輕彈簧，勁度系數(shù)均為k、自然長度均為0.兩彈簧之間以一質量為m的小球相連.將彈簧1空著的一端懸掛于天花板上，整個系統(tǒng)自然下垂，初始時靜止.已知兩彈簧中任意一個一旦被拉伸至臨界長度（該臨界長度大于mgk，這里g表示重力加速度的大?。┍銜焕瓟?

實驗發(fā)現(xiàn)，如果緩慢地拉動下面的彈簧2的下端，上面的彈簧1將被拉斷.如果快速地拉動，則很有可能拉斷下面的彈簧2.

（1）設加載于彈簧2下端的作用力隨時間變化的關系為F（t），寫出彈簧1的長度x1（t）及小球加速度x··1（t）所滿足的運動方程.

（2）在一個簡單模型中，假設F（t）與時間t的關系為

F（t）=0αt t<0t≥0

其中α為大于零的常量，它的大小對應力加載的快慢.求在該力的作用下彈簧1、2在t（t>0）時刻的長度x1（t）、x2（t）.

（3）略.

（4）略.

2解答分析

本文重點分析第二問，第二問求運動學表達式x1（t）、x2（t）.x2（t）較易求得，根據(jù)胡克定律F（t）=kx2（t）可得.而x1（t）的解法，除了官方給出的兩種標準答案之外，為了拓寬學生的解題思路，提高學生科學思維能力，本文運用數(shù)理結合的思想來審視問題，給出了兩種更為簡單方便的新解法.

2.1解法一、二（評分標準中的解析）思路點評——模型簡化

解法一和解法二為評分標準中的解析，這兩種方法的標準答案側重于將本題模型進行簡化，具體簡化過程如下：

由第一問知彈簧1的長度x1（t）及小球加速度x··1（t）滿足運動方程為

mx··=-kx1+mg+F（t）①

由第二問的條件得在t≥0時有

mx··1=-kx1+mg+at②

要求x1（t）的表達式，可先對原有模型進行簡化：根據(jù)方程①可將模型中彈簧2作用在小球上的拉力直接當成變力F（t），此時模型可視為受到變力F（t）及重力的一維彈簧振子.

受到變力F（t）及重力的一維彈簧振子，在每一瞬間都可看成簡諧振動，設彈簧振子在某時刻t相對平衡位置的位移為y1，則y1=x1-mgk-amt，代入②得

y··1+kmy1=0.根據(jù)數(shù)學知識可算出y1通解，進而計算出x1通解，此為解法一的思路.

已知只受重力的一維彈簧振子做簡諧運動，所以此時可將彈簧振子的運動看成簡諧振動和變速運動的疊加.設只受重力的彈簧振子相對平衡位置的位移為y2，則y2=x1-mgk

，代入②，得

y··2=kmy2=αmt

.根據(jù)數(shù)學知識可算出y2通解，進而計算出x1通解，此為解法二的思路.

2.2解法三

依題知

mx··1=-kx1+mg+αt ②

對②式的兩側分別求時間的一階導數(shù)有

mx···1=-kx·1+α③

令y=x·1，則

y··+kmy=αm④

該方程所對應的奇次方程的通解可為

y通=Acos（ωt+φ）

式中A和φ為待定常量.此非齊次項顯然有下列形式的特解：

y特=B

式中B是待定常量.代入方程④可定出

B=αmω2=αk⑤

于是

x·1=y=Acos（ωt+φ）+αk⑥

故x··1=-Aωsin（ωt+φ），x1=Aωsin（ωt+φ）+αkt+C⑦

式中C是待定常量.將⑦兩式代入②可定出

C=mgk

于是

x1=Aωsin（ωt+φ）+αkt+mgk.⑧

2.3解法四

依題知

mx··1=-kx1+mg+αt⑨

對⑨式的兩側分別求時間的二階導數(shù)有

mx····1=-kx··1⑩

可得

x··1=Acos（ωt+φ）

式中A和φ為待定常量.將代入⑨得

x1=-mAkcos（ωt+φ）+mgk+αkt

以上為求x1（t）通解的多種方法.以第三種解法為例，根據(jù)已知的初始條件求出其定解：

初始條件為

x1（0）=mgk，x·1（0）=0

由⑧得

x1（0）=Aωsinφ+mgk=mgk

即

φ=0，π

由⑥有

x·1（0）=Acosφ+αk=0

即

A=-αkcosφ=±αk15

A為振幅，取為非負值，且α、k均為正，因此

cosφ=-αAk=-1

可以定出

A=αk，φ=π16

因此有

x1（t）=-αωksinωt+αkt+mgk17

最后由胡克定律求出x2（t），具體如下

F（t）=kx2（t）

有

x2（t）=αkt.18

3數(shù)理結合思維過程

解法三、解法四均利用數(shù)理結合的思想，采用微分方程對物理問題求解.在解決問題的過程中合理利用數(shù)學工具，可避免復雜的思維過程，也可簡化解題程序.

運用數(shù)理結合思維方法解決問題時，通?？刹捎靡韵逻^程：

3.1邏輯思維為基礎

競賽的問題解決過程中，清晰的邏輯思維非常重要.與常規(guī)物理問題相比，競賽題目通常更加復雜化、抽象化.因此，構建清晰的邏輯思維框架是解決問題所必備的條件.這要求參賽學生不僅要能夠準確理解題目要求，還要能夠運用物理定律和原理去構建解決問題的路徑.

3.2物理模型精構建

對于物理競賽，構建合適、精巧的物理模型是解決問題的必備步驟.這要求參賽學生具備豐富的物理知識和敏銳的洞察力，能夠從復雜的題目條件中抽象出物理問題的本質，進而構建出有效的物理模型.

3.3方程建立詳求解

構建了物理模型之后，參賽學生需要運用數(shù)理結合的思想建立方程，并求解.在這個過程中，不僅要考慮方程的準確性，還要考慮解題的效率.對于復雜的方程，需要學生在有限的時間內，熟練運用物理知識、數(shù)學方法、解題技巧進行求解.這對學生靈活應用物理及數(shù)學知識提出了更高的要求.

3.4數(shù)學工具巧應用

物理競賽在解決問題的過程中往往涉及高等數(shù)學工具的應用，如微分方程、積分方程、線性代數(shù)等（解法三和解法四就是建立在微分方程的巧妙運用上）.熟練掌握這些數(shù)學工具，不僅能夠幫助參賽學生建立復雜的數(shù)學模型，還能夠使解題過程更加高效、準確.

3.5變量關系細分析

對變量關系的深入分析是物理競賽中重要的一環(huán).參賽學生需要綜合不同物理量之間的關系，了解它們如何相互影響；同時，在運用邏輯思維的基礎上，將物理量按照符合邏輯的方式整理；通過對變量關系的仔細分析，找出物理量之間的內在聯(lián)系，進而揭示復雜問題的本質.這需要參賽學生對物理定律有深刻的理解.不僅要求變量關系本身符合物理原理，還要求對結果有深入的分析和合理的解釋.因此，扎實的物理基礎、清晰的邏輯思維再次展現(xiàn)了重要性.

4結束語

參與物理競賽不僅是對參賽學生知識和技能的挑戰(zhàn)，也是對他們邏輯思維、創(chuàng)新能力、問題解決能力的全面鍛煉.在訓練和參與競賽的過程中，參賽學生可以接觸到更廣闊的物理領域，拓寬視野，增強對物理學的熱愛和興趣.同時，奧賽也為參賽學生提供了一個展示自己物理邏輯思維和數(shù)學運用水平的平臺，為未來的學術和職業(yè)發(fā)展打下了堅實的基礎.競賽是對參賽學生物理知識和綜合技能的高水平檢驗，要求參賽學生具備清晰的邏輯思維和熟練的數(shù)學知識.通過靈活運用數(shù)學工具、構建有效的物理模型、深入分析變量關系等過程，參賽學生可以更好地應對挑戰(zhàn)，展現(xiàn)自己的才華和潛力.

參考文獻：［1］

陳顯盈，尤愛惠.建構不同物理模型提升學科核心素養(yǎng)：以“2020年全國中學生物理競賽預賽第11題”為例[J].物理教師，2021，42（05）：94-96.

[2]全國中學生物理競賽委員會.全國中學生物理競賽專輯2019[M].北京：北京大學出版社，2019.

[3]黃國超.拓展思維空間 培養(yǎng)發(fā)散思維：以一物理競賽試題為例[J].數(shù)理化解題研究，2021，19：89-90.

［責任編輯：李璟］