摘要：2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷第21題考查了高中數(shù)學(xué)課程主線內(nèi)容“概率與統(tǒng)計(jì)”的全概率公式的應(yīng)用.針對(duì)該題求復(fù)雜事件概率的應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中確定變量、探究變量關(guān)系、建立模型、解決模型和最終解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題等完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，感悟全概率公式的本質(zhì)和體驗(yàn)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的完整過(guò)程，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：全概率公式；數(shù)學(xué)本質(zhì)；數(shù)學(xué)建模；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）28-0088-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）明確指出：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，是高考考查的重要素養(yǎng).提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，有助于增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神.近年來(lái)新高考考查“概率與統(tǒng)計(jì)”的內(nèi)容基本上以應(yīng)用問(wèn)題的形式出現(xiàn)，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的回歸.《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)主線貫穿于整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)教育教學(xué)的始終.解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程即為數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的過(guò)程，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，所以數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié).

1試題呈現(xiàn)

題目 （2023年新高考Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量xi服從兩點(diǎn)分布，且P（xi=1）=1-P（xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（∑ni=1xi）=∑ni=1qi.

記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)Y，求E（Y）.

2解法探究

2.1解讀問(wèn)題情境

《標(biāo)準(zhǔn)》說(shuō)明：在命題中，選擇合適的問(wèn)題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體.本題情境是一個(gè)具體的投籃游戲背景，是熟悉的現(xiàn)實(shí)情境.剖析問(wèn)題情境是確定變量、尋求變量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵.所以，解讀問(wèn)題情境、理解題意是建立合理數(shù)學(xué)模型的第一步.

首先，解讀題目背景.題目背景設(shè)定在甲、乙兩人的投籃游戲中，根據(jù)不同的投籃結(jié)果，分析第i次投籃為甲或乙的概率，以及前n次投籃中甲投籃次數(shù)的期望值.這種題目旨在考查學(xué)生根據(jù)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型、對(duì)概率論和隨機(jī)變量期望的理解與應(yīng)用能力.

其次，分析問(wèn)題.如下：

（1）第2次投籃的人是乙的概率：考慮到甲、乙兩人投籃的命中率，以及每次投籃后更換投籃者的規(guī)則，可以計(jì)算出第2次投籃的人是乙的概率.

（2）第i次投籃的人是甲的概率：這是一個(gè)遞推VV02/+c+Fwkprg9Joccz88w/Rd0PgNkqDre0z6Lb6gk=問(wèn)題，需要根據(jù)前一次投籃的結(jié)果來(lái)推斷下一次投籃的可能性.考慮到甲、乙的投籃命中率和規(guī)則，可以逐步推導(dǎo)出第i次投籃的人是甲的概率.

（3）前n次投籃中甲投籃次數(shù)的期望值：這個(gè)問(wèn)題涉及到隨機(jī)變量的期望.首先，需要確定甲投籃次數(shù)的隨機(jī)變量，然后根據(jù)概率和期望值的定義，計(jì)算出這個(gè)隨機(jī)變量的期望值.

2.2探究建模思路

試題第（1）問(wèn)：求第2次投籃的人是乙的概率.根據(jù)投籃規(guī)則，第1次、第2次投籃情況，見(jiàn)圖1.

為了簡(jiǎn)化探究過(guò)程，將題目的相關(guān)信息用圖1直觀表示.數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的直觀表象，合理的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化有助于對(duì)問(wèn)題的簡(jiǎn)化和理解.面對(duì)較為復(fù)雜的應(yīng)用題，學(xué)生不能及時(shí)確定題目的核心要素，找不到變量間的關(guān)系就不能建立合適的數(shù)學(xué)模型.因此，可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)脠D、數(shù)學(xué)符號(hào)、表進(jìn)行分析，這樣可以直觀地找出變量、確定變量關(guān)系、建立模型、解決模型.

解法1根據(jù)圖1，由互斥事件、條件概率的概率公式和概率乘法公式容易得到第2次投籃的人是乙的概率為p=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

解法2設(shè)Ai=“第i次投籃的人是甲”；Bi=“第i次投籃的人是乙”，其中i=1，2，…，n.則P（A1）=P（B1）=0.5，P（B2|A1）=0.4，P（B2|B1）=0.8.

事件A1B2與B1B2互斥，根據(jù)全概率公式，有

P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）

=P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）

=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

故第2次投籃的人是乙的概率為0.6.

經(jīng)過(guò)對(duì)第（1）問(wèn)的解題探索，建模思路已初步形成.

（1）第i次投籃的人是誰(shuí)僅取決于第i-1次投籃的人是否命中，與歷史狀態(tài)無(wú)關(guān).

（2）求事件“第i次投籃的人是甲（或乙）的概率”，是求復(fù)雜事件的概率，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)兩兩互斥且完備的子事件，然后分別求出每個(gè)子事件發(fā)生的概率及其在該子事件下復(fù)雜事件發(fā)生的條件概率，最后將這些結(jié)果相加，得到復(fù)雜事件發(fā)生的總概率.本題的實(shí)質(zhì)是考查全概率公式的應(yīng)用，建立概率論中的“全概率”模型即可解決問(wèn)題.

2.3建立模型 解決問(wèn)題

類比第（1）問(wèn)的建模思路，完成第（2）問(wèn)的建模.根據(jù)投籃規(guī)則，第i-1次、第i次投籃情況如圖2.

第i-1次、i次投籃情況

依題意知，事件Ai-1Ai，Bi-1Ai是互斥事件，其中i=2，3，…，n.

根據(jù)圖2易得Ai=Ai-1Ai+Bi-1Ai，

P（Ai|Ai-1）=0.6，

P（Ai|Bi-1）=0.2，

P（Ai-1）+P（Bi-1）=1.

根據(jù)全概率公式的本質(zhì)容易得

P（Ai）=P（Ai-1Ai）+P（Bi-1Ai）

=P（Ai-1）P（Ai|Ai-1）+P（Bi-1）P（Ai|Bi-1）

=0.6P（Ai-1）+0.2P（Bi-1）

=0.6P（Ai-1）+0.2［1-P（Ai-1）］.

令Pi=P（Ai），則

Pi=35Pi-1+15（1-Pi-1）=25Pi-1+15.

構(gòu)造等比數(shù)列得Pi-13=25（Pi-1-13），

且P1-13=12-13=16.

所以數(shù)列Pi-13是首項(xiàng)為16 ，公比為25 的等比數(shù)列.

所以Pi=16×（25）i-1+13，i∈N*.

故第i次投籃的人是甲的概率為

Pi=16×（25）i-1+13，i∈N*.

根據(jù)第（2）問(wèn)的結(jié)論容易得出第（3）問(wèn)：

因?yàn)镋（∑ni=1xi）=∑ni=1qi，qi=pi，其中i=1，2，…，n，

∑ni=1qi=∑ni=1pi=16·1-（2/5）n1-2/5+n3=518·［1-（25）n］+n3，所以E（Y）=518［1-（25）n］+n3.

通過(guò)以上探索建模的過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)建立合適的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的要素有：理解題意、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)、熟悉各類數(shù)學(xué)模型等.

3教學(xué)啟示

一道典型的高考數(shù)學(xué)題目往往蘊(yùn)含著豐富的教育價(jià)值，既體現(xiàn)出教學(xué)的重點(diǎn)，又能夠反映出教育改革的方向.這樣的題目有助于指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)，引導(dǎo)教師和學(xué)生明確教學(xué)重點(diǎn)和學(xué)習(xí)方向.基于這道概率應(yīng)用題的命題和建模分析，總結(jié)出兩點(diǎn)教學(xué)建議.

3.1回歸教材，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性

通過(guò)對(duì)該高考題的探析，我們發(fā)現(xiàn)該題與人教A版

教材數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第91頁(yè)第10題的考查方向相同，這更讓我們明確了高考題目往往源自教材，或者是對(duì)教材內(nèi)容的深化和拓展.由此可見(jiàn)，高考與教材之間是緊密聯(lián)系的，教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是高考命題的重要依據(jù).回歸教材，可以幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)[1].

3.2注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，挖掘數(shù)學(xué)概念和定理背后的深層內(nèi)涵.這需要教師首先具備深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能夠引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)，理解數(shù)學(xué)概念、定理和公式的形成過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)的思維方式和方法.教師可以通過(guò)引入實(shí)際問(wèn)題、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、組織數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)等方式，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué).這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，還可以幫助他們更好地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和應(yīng)用價(jià)值，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和實(shí)踐能力.4結(jié)束語(yǔ)

由此可見(jiàn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并非易事.我們需要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還需要具備善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的能力和豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn).只有這樣，我們才能在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，準(zhǔn)確把握問(wèn)題的本質(zhì)，構(gòu)建出有效的數(shù)學(xué)模型.同時(shí)，我們還需要注重?cái)?shù)學(xué)模型的應(yīng)用和實(shí)踐，師生積極開(kāi)展、參與數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，將數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問(wèn)題緊密結(jié)合起來(lái)，不斷地進(jìn)行實(shí)踐和驗(yàn)證，以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性和可靠性.總之，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是我們應(yīng)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 孔繁晶.創(chuàng)新應(yīng)用巧建模 回歸基礎(chǔ)探本質(zhì)：2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第16題探析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2022（6）：55-58.

［責(zé)任編輯：李璟］