［ 摘 要 ］“問題鏈”的應(yīng)用可有效推動學(xué)生思維的發(fā)展，促使學(xué)生自主進入深度學(xué)習(xí)與思考的狀態(tài)，為發(fā)展核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).在“一次函數(shù)的圖象”教學(xué)中，研究者基于大單元視域，創(chuàng)設(shè)“問題鏈”，以增強學(xué)生在課堂中的主觀能動性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［ 關(guān)鍵詞 ］大單元；問題鏈；一次函數(shù)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的主要目標 .“問題鏈”的應(yīng)用可有效推動學(xué)生思維的發(fā)展，促使學(xué)生自主進入深度學(xué)習(xí)，為發(fā)展學(xué)力、提升素養(yǎng)奠定基礎(chǔ) . 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準 （2022 年版）》 的落地，使得大單元教學(xué)成為當前最受歡迎的模式，如何基于大單元視域用好“問題鏈”，以增強學(xué)生在課堂中的主觀能動性，促進教育的高質(zhì)量發(fā)展呢？本文以“一次函數(shù)的圖象”教學(xué)為例，具體從如下幾方面展開探索.

單元分析

一次函數(shù)圖象內(nèi)容隸屬于函數(shù)章節(jié)，函數(shù)的主要作用在于探索現(xiàn)實事物間的規(guī)律或變量關(guān)系，是整個初中階段“數(shù)與代數(shù)”部分的重點知識，也是后續(xù)高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ).不同類型的函數(shù)之間存在一些關(guān)聯(lián)，一次函數(shù)圖象屬于其中的一小部分，因此教師在教學(xué)之前需從大單元視域出發(fā)整理知識脈絡(luò)，促使學(xué)生從宏觀的角度認識本節(jié)課教學(xué)的重要性，也為構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)夯實基礎(chǔ).

鑒于教師是基于大單元視域借助“問題鏈”講授本節(jié)課內(nèi)容，因此，除了要分析教學(xué)內(nèi)容，還要充分了解學(xué)情，根據(jù)學(xué)生的實際認知水平設(shè)計落于學(xué)生思維“最近發(fā)展區(qū)”的問題，以增強教學(xué)實效.教學(xué)簡錄

1.創(chuàng)設(shè)情境，揭示主題

情境：在一種型號的彈簧下懸吊一些不同質(zhì)量的物品，并將彈簧長度記錄下來，如物品的質(zhì)量分別為 0 kg，1 kg，2 kg，3 kg…，彈簧長度分別為 8 cm，8.5 cm，9 cm，9.5 cm…，當物品質(zhì)量為 2.5 kg時，彈簧的長度是多少？

此為一個與學(xué)生認知有關(guān)的生活情境，學(xué)生對這一現(xiàn)象并不陌生，卻沒有實際探索過.將該生活現(xiàn)象作為課堂導(dǎo)入的情境，可激發(fā)學(xué)生的探索動機.

師生活動 要求學(xué)生將情境中的數(shù)量關(guān)系羅列到一張表格中，便于觀察與分析.學(xué)生可自主列表探索物品質(zhì)量的增加與彈簧長度之間存在一定的關(guān)系，如物品增加 1 kg，彈簧就加長 0.5 cm，根據(jù)這個規(guī)律來分析，若物品的質(zhì)量為2.5 kg，可列式為 0.5 × 0.5 + 9 = 9.25（cm） .

探索完此問，為了進一步深化學(xué)生對這一現(xiàn)象的認識，為探索一次函數(shù)的圖象奠定基礎(chǔ)，教師又有針對性地設(shè)計了如下“問題鏈”.

問題 1 通過對以上現(xiàn)象的分析，將彈簧的長度設(shè)定為y cm，物品質(zhì)量設(shè)定為 x kg，二者之間是否存在一定的函數(shù)聯(lián)系？

生 1：從函數(shù)的概念出發(fā)，不難獲得這兩個量之間的關(guān)系式為 8 +0.5x .

師：這是一個什么函數(shù)？

生2：一次函數(shù).

問題 2 如果將一組彈簧排列在一起，由輕到重分別吊上“質(zhì)量不同，但質(zhì)量差相等”的物品，依次擺放，讓彈簧間所間隔的距離一致，會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？

生 3：排成一排之后，從個體上看，物品就是一個一個的點；從整體上看，物品組成了一條向下傾斜的直線.

問題 3 從你們的認知出發(fā)，說說接下來我們將會探索與一次函數(shù)相關(guān)的什么知識？該怎么去探索？

設(shè)計意圖 帶領(lǐng)學(xué)生從情境中提取一次函數(shù)，并借助有規(guī)律的擺法促使學(xué)生初步感知一次函數(shù)的圖象為直線.

2.深入探索，展示圖象

此環(huán)節(jié)探索的主題為函數(shù)圖象的定義以及 y = kx + b 函數(shù)圖象的繪制方法.教師帶領(lǐng)學(xué)生從取值、描點與連線三個步驟出發(fā)，借助特例初步構(gòu)建函數(shù)圖象的定義，感知畫圖過程.關(guān)于特例，可選擇如 y = 2x 或y = 2x + 1 等容易計算的一次函數(shù)，分為如下幾個探究活動：探究活動1 繪制 y = 2x （一次函數(shù)）的圖象.

探索過程中，要求學(xué)生自主分析一次函數(shù) y = 2x 所具備的特征，并從取值的角度猜想該函數(shù)圖象的形狀與特點.

師VP5/HZcPVMGEoYKBXNo+ZA==生活動 從一次函數(shù)表達式出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自主猜想函數(shù)圖象可能具備的幾何特點.為了深化學(xué)生的思維，教師設(shè)計了如下“問題鏈”.

問題 1 設(shè)計一張關(guān)于一次函數(shù) y = 2x 取值的表格，根據(jù)表格所呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)在坐標系內(nèi)描點，并探索所描點之間存在怎樣的位置關(guān)系，思考怎樣確定這些滿足 y = 2x 的點均處于一條直線上？

學(xué)生自主設(shè)計表格，以 x = 0 為基準，分別在左右對稱的位置進行取值，如 x 分別取-2，-1，0，1，2，與之對應(yīng)的 y 值分別為-4，-2，0，2，4，并將所取得的點描在直角坐標系內(nèi)，形成圖1.

基于以上分析，學(xué)生自主獲得如下結(jié)論：① x = 0 時，一次函數(shù)y = 2x 的圖象經(jīng)過原點；② x，y 同為正或負時，圖象分別過第1象限、第3象限；③ x 取值互為相反數(shù)時，y 值也互為相反數(shù)，所形成的函數(shù)圖象具備“關(guān)于原點對稱”的特點；④ x 所取的正數(shù)逐漸增大時， y 值也隨之逐漸增大……

根據(jù)以上結(jié)論，學(xué)生對一次函數(shù)圖象形成初步猜想，在加密法的驗證下發(fā)現(xiàn)猜想是成立的.關(guān)于加密法，如在點 A（1，2） 與點 B（2，4） 之間添加點 C （，并確定點 C 與點 A，B 處于同一條直線上.

問題2 能否確定 y = 2x 的圖象一定是直線，可否驗證說明？

師生活動 借助幾何畫板來探索這個問題，師生共同操作、觀察，分析圖象是否完備 . 具體操作方法為 ： 基 于 任 意 兩 點 間 添 加 點M（m，2m） 滿足 y = 2x ，論證點 M必然處于該直線上；其次想辦法討論圖象的純粹性，即在直線上任意取一點，借助幾何畫板度量該點滿足式子 y = 2x .基于這兩個維度，可驗證問題的正確性.

設(shè)計意圖 此探究過程利用了y = 2x 這個特例，分別從“取值、描點、連線、驗證”四個方面說明了一次函數(shù)圖象的常規(guī)繪制方法.同時，幾何畫板的介入，讓學(xué)生在直觀展示中感知了圖象的完備性，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維的嚴謹性，提升了邏輯推理能力.探究活動2 繪制一次函數(shù) y =2x + 1 的圖象.

該探究著重分析一次函數(shù) y =2x + 1 與上一個教學(xué)環(huán)節(jié)所探索的y = 2x 之間存在怎樣的聯(lián)系，結(jié)合二者間的關(guān)系思考怎樣取值更科學(xué).

師生活動 通過取特殊值與描點來看，當這兩個一次函數(shù)的 x 取值一樣時，函數(shù) y = 2x + 1 所對應(yīng)的y 值均為函數(shù) y = 2x 中對應(yīng)的 y 值朝上平移1個單位.基于此發(fā)現(xiàn)，教師又有針對性地設(shè)計了如下“問題鏈”，引導(dǎo)學(xué)生進一步探究.

問 題 一 次 函 數(shù) y = kx +b（k ≠ 0） 和函數(shù) y = kx 的圖象之間存在怎樣的聯(lián)系？若想簡便、快速地繪制出一次函數(shù) y = kx + b（k ≠ 0） 的圖象，該怎么操作？

師生經(jīng)過積極的互動與交流，認為一次函數(shù) y = kx + b（k ≠ 0） 的圖象與一次函數(shù) y = kx 的圖象之間形成平行關(guān)系，既然明確一次函數(shù) y =kx + b（k ≠ 0） 的圖象為一根直線，那么根據(jù)兩點確定一條直線的原理，可快速繪制出相應(yīng)的圖象.

設(shè)計意圖 列表與描點活動的進行，促使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)兩種函數(shù)圖象之間所存在的位置關(guān)系本質(zhì)為“平移”，也就是可將 y = kx + b 轉(zhuǎn)化成 y = kx 的圖象.學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的思維轉(zhuǎn)化過程，進一步體會轉(zhuǎn)化與化歸思想.

3.問題引領(lǐng)，繪制圖象

此環(huán)節(jié)探索的主要內(nèi)容：基于同一個直角坐標系內(nèi)繪制函數(shù) y =3x 與函數(shù) y = -3x + 2 的圖象.為了便于學(xué)生在坐標系內(nèi)準確找到相應(yīng)的點，應(yīng)盡可能選擇整數(shù)作為點坐標，并設(shè)計如下“問題鏈”，供學(xué)生探索與思考.

問題1 探索點 （-2， - 6） 是不是函數(shù)圖象上的點？

關(guān)于此問，師生積極互動，總結(jié)出如下兩種方法：第一種，由因推果，即將 x = -2 代進原式中，計算結(jié)論是不是 -6 ；第二種，由果索因，即根據(jù) y = -6 反推兩個解析式中 x 的值是不是 -2 .

問題 2 怎樣探索函數(shù)圖象和坐標軸之間構(gòu)成的交點坐標？怎樣確定兩直線的交點坐標位置？師生活動 通過對函數(shù)表達式和圖象關(guān)系的探索，分析圖象和坐標軸之間形成的交點位置，即分別探索 x，y 為 0 時方程解的情況.關(guān)于兩條直線的交點坐標，可借助方程組 來 分 析 ， 此 處 可 列 方 程 組 為

設(shè)計意圖 根據(jù)點的位置是否位于函數(shù)圖象上來獲得交點坐標，可讓學(xué)生切身體會函數(shù)表達式和坐標之間，以及函數(shù)和方程間的聯(lián)系，促使學(xué)生深刻體會數(shù)形結(jié)合思想的重要性，并感知圖象的直觀性，這對發(fā)展學(xué)生的抽象能力和幾何直觀具有重要意義.

問題3 “表達式、點、圖象”

三者間存在怎樣的聯(lián)系？

設(shè)計意圖 畫圖與反思過程可增進學(xué)生理解“表達式、點、圖象”三者間的關(guān)系，待定系數(shù)法的自然形成，增加了探索函數(shù)問題的路徑.

4.增進思考，解決問題

帶領(lǐng)學(xué)生回歸到彈簧問題，現(xiàn)在有另外一種型號的彈簧，在不掛物品時長度恒為6 cm，若吊上質(zhì)量為 1 kg 的 物 品 ， 彈 簧 長 度 變 成6.9 cm.思考如下問題：兩種類型的彈簧在吊上相同質(zhì)量的物品時，長度有無相等的可能？

要求學(xué)生用畫圖的方法進行判斷 . 師生活動，若彈簧長度設(shè)為y cm，物品質(zhì)量設(shè)為 x kg，則可將二者間的函數(shù)關(guān)系用圖象表達，根6Xej5EWk7xv/9bdFTxS/GA==據(jù)兩條直線之間形成交點 （見圖2）這一特征，可確定這兩種規(guī)格的彈簧在長度上存在相等的情況.

問題 圖 2 中的交點坐標是什么？具有怎樣的實際意義？

假設(shè)第二種型號的彈簧為 y =kx + 6 ，當 x 值為 1 時， y 值為 6.9，數(shù)據(jù)代入可得 k 值為0.9，那么這種彈簧的表達式就是 y = 0.9x + 6 ，通過聯(lián)立方程，可獲得交點坐標為（ 5，10.5 ），該交點坐標所傳遞的實際意義為：所吊物品質(zhì)量在5 kg時，兩種型號的彈簧長度均為10.5 cm.設(shè)計意圖 經(jīng)過畫圖與列方程組，學(xué)生快速解決了問題，這凸顯了數(shù)形結(jié)合思想的重要性.

5.總結(jié)歸納，概括提煉

鼓勵學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課所學(xué)知識，歸納探索一次函數(shù)圖象的途徑，分析后續(xù)將要探索的內(nèi)容等，從大單元視域整理知識與學(xué)習(xí)方法，促使學(xué)生提煉知識本質(zhì)，構(gòu)建認知體系.幾點思考

1.“問題鏈”需貼合學(xué)情

任何時候，開展任何形式的教學(xué)活動，首要任務(wù)就是研究學(xué)情，弄清教學(xué)目標與學(xué)生實際認知水平間所存在的差異.尤其是在新課標的引領(lǐng)下，教師需將“以生為本”的理念落實到教學(xué)的方方面面，將學(xué)生已有的認知水平作為教學(xué)的起點，設(shè)計恰當?shù)摹皢栴}鏈”喚醒學(xué)生的思維，促進學(xué)生的發(fā)展 ［1］ .

2.“問題鏈”需立足本質(zhì)

深度學(xué)習(xí)是當前課堂所追求的基本目標，立足于知識本質(zhì)設(shè)計“問題鏈”可避免淺層學(xué)習(xí)的發(fā)生，學(xué)生通過對知識本質(zhì)的探索與思考，可進一步夯實知識基礎(chǔ)，獲得知識內(nèi)涵，構(gòu)建有意義的學(xué)習(xí).如本節(jié)課就緊扣一次函數(shù)圖象的本質(zhì)特點而展開，所有活動都將學(xué)生放在首位，促使學(xué)生在動手操作與觀察思考中提升認知水平，學(xué)會從大單元視域思考問題，獲得了良好的思維能力.

3.“問題鏈”需凸顯整體

大單元視域下設(shè)計“問題鏈”，一方面需緊扣知識本質(zhì)，另一方面需基于整體的角度來分析問題，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科的結(jié)構(gòu)化特征 . 實踐證明，根據(jù)一般和特殊具有互相轉(zhuǎn)化的特性設(shè)計“問題鏈”，往往能揭露知識間的邏輯關(guān)系，促進學(xué)生思維的整體性發(fā)展.

總之，在核心素養(yǎng)發(fā)展的目標下，教師應(yīng)從大單元的角度把握教學(xué)內(nèi)容間的聯(lián)系，通過創(chuàng)設(shè)合理的“問題鏈”來促進學(xué)生從整體上理解與掌握知識本質(zhì)，以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的連貫性與邏輯性.

參考文獻：

［1］鮑建生，章建躍 . 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之三：幾何直觀 ［J］. 中 國 數(shù) 學(xué) 教 育 ， 2022（Z3） ：3-9.