摘要：與正方形有關(guān)的幾何計算問題，根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)，通過構(gòu)造某些關(guān)鍵線段的平行線或垂線，由此得到相似三角形、全等三角形等基本圖形，然后利用其性質(zhì)探尋已知線段與所求線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而為問題解決創(chuàng)造條件.“一題多解”不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，而且能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

關(guān)鍵詞：構(gòu)造；相似三角形；正方形

正方形具有矩形、菱形的所有性質(zhì)，是最特殊的平行四邊形.以正方形為基本圖形的中考試題形式靈活多樣，解法不拘一格，倍受命題者的青睞.筆者對2024年天津市中考數(shù)學(xué)第17題進(jìn)行了深入研究，從不同角度構(gòu)建已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，給出了多種解法，供讀者參考．

1問題呈現(xiàn)

如圖，正方形ABCD的邊長為32，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在CA的延長線上，OE=5，連接DE．

（1）線段AE的長為．

（2）若點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，則線段AF的長為．

2試題分析

從已知條件入手，因為四邊形ABCD是正方形，則AB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，∠DAC=45°.因為正方形ABCD的邊長為32，由勾股定理或直角三角形的邊角關(guān)系可得AC=BD=6，所以O(shè)A=OC=3.從所求問題入手，對于問題（1）而言，因為OE=5，所以AE=2.對于問題（2）而言，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，線段DE可以看作△ADE的邊，也可以看作△DOE的邊.在△ADE中，AE=2，AD=32，∠DAE=135°，F(xiàn)為DE的中點(diǎn).顯然，在此三角形中無法直接求得線段AF的長.在△DOE中，∠DOE=90°，OD=3，OE=5，由勾股定理易得DE=34，據(jù)此易求得線段DF或EF的長.顯然，△DOE是直角三角形，其三邊是可求的，點(diǎn)F是斜邊DE的中點(diǎn)，點(diǎn)A是直角邊OE上的定點(diǎn).顯然，在此三角形中也無法直接求得線段AF的長.解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件及圖形的基本結(jié)構(gòu)，構(gòu)造全等三角形、相似三角形等基本圖形，以此建立已知線段與所求線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而厘清問題解決的基本思路．

3解法探究

基于以上分析，筆者從不同角度出發(fā)，通過添加輔助線，構(gòu)造全等三角形、相似三角形等基本圖形，然后利用基本圖形的性質(zhì)探尋已知線段與所求線段之間的關(guān)系，由此得到問題（2）的多種解法．

思路1：構(gòu)造相似三角形.

解法1：如圖1所示，過點(diǎn)D作DG∥AF，交CE于點(diǎn)G．

因為F為DE的中點(diǎn)，所以DE=2EF.因為正方形ABCD的邊長為32，所以O(shè)D=OA=3.又因為OE=5，所以AE=2．

由DG∥AF，得∠EAF=∠EGD，∠EFA=∠EDG，所以△EAF∽△EGD，所以AEEG=AFGD=EFED=12，所以EG=2AE=4，所以O(shè)G=OE-EG=1.在Rt△DOG中，由勾股定理，得DG=OD2+OG2=10，則AF=12DG=102．

點(diǎn)評：這種解法涉及平行線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，是初中數(shù)學(xué)最核心的基礎(chǔ)知識.根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)，構(gòu)造DG∥AF，從而得到△EAF∽△EGD，這是典型的“A型”相似三角形.由此可得到已知線段與所求線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而厘清問題解決的基本思路.由此可以看出，根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)，構(gòu)造某些關(guān)鍵線段的平行線，能夠得到解決問題所需的相似三角形，從而為問題解決創(chuàng)造條件．

解法2：如圖2所示，過點(diǎn)F作FI⊥CE，垂足為I．

易知EF=DF，OA=OD=3，AE=2.因為四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)D⊥CE，從而可知FI∥OD，所以∠EIF=∠EOD，∠EFI=∠EDO，所以△EIF∽△EOD，所以EIEO=FIDO=EFED=12，所以EI=12EO=52，F(xiàn)I=12DO=32，所以AI=EI-AE=12.在Rt△AFI中，由勾股定理，得AF=AI2+FI2=102．

點(diǎn)評：這種解法通過作FI⊥CE，得到了一組“A型”相似三角形，即△EIF∽△EOD.顯然，在直角三角形、矩形或正方形等幾何圖形中，通過構(gòu)造某些線段的垂線可得到相似三角形，從而可借助相似三角形的性質(zhì)及勾股定理解決問題．

解法3：如圖3所示，延長BA，交直線DE于點(diǎn)G.過點(diǎn)F作FH⊥AD，垂足為H．

易知AE=2，OA=OC=OD=3，CE=8，CD=32，DE=34.因為點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，所以DF=12DE=342.易知AG∥CD，∠EAG=∠ECD，∠AGE=∠CDE，從而可知△EAG∽△ECD.由相似三角形的性質(zhì)，易知AGCD=AECE=EGDE，即AG32=28，由此可知AG=324.在Rt△ADG中，由勾股定理，得DG=AG2+AD2=3344.易知△DHF∽△DAG，從而可得DHDA=DFDG=FHGA，即3344DH=32×342，解得DH=22，從而可得AH=AD-DH=2，F(xiàn)H=23AG=22.在Rt△AFH中，由勾股定理，得AF=AH2+FH2=102．

點(diǎn)評：這種解法通過構(gòu)造AG∥CD，F(xiàn)H⊥AD，得到△EAG∽△ECD，△DHF∽△DAG，這兩組相似三角形均是“A型”相似三角形，然后利用其性質(zhì)即可得到某些關(guān)鍵線段的長，為問題解決創(chuàng)造了便利條件.這種解法蘊(yùn)含基本的解題思路，是常見的解題方法，不足之處是這種解法計算量較大，對學(xué)生而言是一個巨大的挑戰(zhàn)，但也是解決問題的一種有效方法．

解法4：如圖4所示，過點(diǎn)A作AG⊥DE，垂足為G．

易知AE=2，OA=OD=3，DE=34.因為F是線段DE的中點(diǎn)，所以EF=12DE=342.因為∠AEG=∠DEO，∠AGE=∠DOE=90°，從而易得△EAG∽△EDO，由此可得AGDO=AEDE，即AG3=234，從而AG=33417，故EG=53417，則FG=EF-EG=73434.所以在Rt△AFG中，AF=AG2+FG2=102．

點(diǎn)評：這種解法通過構(gòu)造垂線，得到了一組“A型”相似三角形，即△EAG∽△EDO，然后利用“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”這一性質(zhì)解決問題.這種解法計算量小，求解過程非常簡潔.由此可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造垂線，可得到直角三角形和相似三角形，然后利用其性質(zhì)即可解決問題，這也是解決幾何計算問題的常見方法．

解法5：如圖5所示，過點(diǎn)E作EG∥AF，交DA的延長線于點(diǎn)G.過點(diǎn)E作EH⊥DG，垂足為H．

易知AE=2，AD=32，∠EAH=∠DAC=45°，從而易得AH=EH=2.因為F是線段DE的中點(diǎn)，所以DE=2DF.因為EG∥AF，所以∠FAD=∠EGD，∠AFD=∠GED，從而可知△DAF∽△DGE，由此可得DADG=AFGE=DFDE=12，從而易求得DG=2AD=62，所以GH=DG-AD-AH=22.在Rt△EGH中，由勾股定理，得EG=GH2+EH2=10.由此可知AF=12EG=102．

點(diǎn)評：該解法通過構(gòu)造EG∥AF，得到△DAF∽△DGE，這也是“A型”相似三角形，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得到已知線段與所求線段之間的比例關(guān)系.由此可以發(fā)現(xiàn)，平行線、垂線、直角三角形、相似三角形等基本圖形的性質(zhì)在解決幾何計算問題中發(fā)揮著重要作用，是學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識與基本技能，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)．

思路2：構(gòu)造全等三角形.

解法6：如圖6所示，過點(diǎn)D作DG∥CE，交AF的延長線于點(diǎn)G.過點(diǎn)G作GI⊥CE，垂足為I．

易知AE=2，DG=IO，GI=OD=OA=3.在△AEF和△GDF中，易知∠EAF=∠DGF，∠AEF=∠GDF，EF=DF，所以△AEF≌△GDF，所以IO=DG=AE=2，所以AI=OA-IO=1.在Rt△AGI中，由勾股定理，得AG=AI2+GI2=10.由此可知AF=12AG=102．

點(diǎn)評：這種解法通過構(gòu)造DG∥CE，得到了一組“X型”全等三角形，即△AEF≌△GDF，從而為問題解決創(chuàng)造了有利條件.這種解法涉及直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》規(guī)定的最核心的基礎(chǔ)知識.與其他求解方法相比，這種求解方法思路清晰自然，求解過程通俗易懂，計算量特別小，是一種非常簡潔的求解方法.由此可以發(fā)現(xiàn)，全等三角形的性質(zhì)也是解決幾何計算問題的有效工具．

4結(jié)語

幾何計算問題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，其形式靈活多樣，解法千變?nèi)f化.解決幾何計算問題的基本思想是不變的，即根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)，構(gòu)造圖形中某些關(guān)鍵線段的平行線或垂線，從而得到全等三角形、相似三角形等基本圖形，然后利用其性質(zhì)厘清已知線段與所求線段之間較為隱蔽的數(shù)量關(guān)系，從而為問題解決創(chuàng)造有利條件.“一題多解”是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的有效途徑，也是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的有效方法.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過“一題多解”訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，提高其思維靈活性和發(fā)散思維能力．