摘要：隨著新課改的出現(xiàn)，以高觀點(diǎn)來研究新高考試題已經(jīng)成為一個(gè)熱點(diǎn)課題.最近幾年來的部分高考試題的命制背景也體現(xiàn)了一些高觀點(diǎn).為此，本文以近幾年出現(xiàn)的高考試題和模擬題為例，說明其中體現(xiàn)的高觀點(diǎn)，提出了幾點(diǎn)教學(xué)上的建議．

關(guān)鍵詞：高觀點(diǎn)；高中數(shù)學(xué)；新高考試題

德國數(shù)學(xué)家克萊因（F.C.Klein）曾說：“一個(gè)數(shù)學(xué)教師的職責(zé)是應(yīng)使學(xué)生了解數(shù)學(xué)并不是孤立的各門學(xué)問，而是一個(gè)有機(jī)的整體.”［1］數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)站在更高的視角來審視初等數(shù)學(xué)問題，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了簡單.一個(gè)稱職的教師應(yīng)當(dāng)掌握或了解各種數(shù)學(xué)概念、方法及其發(fā)展與完善的過程以及教育演化的經(jīng)過，只有這樣，才能在初等數(shù)學(xué)的教育教學(xué)中“來去自如”．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出通過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得必需的“四基”和“四能”，在學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展六大核心素養(yǎng).［2］教師應(yīng)當(dāng)在高中階段就讓學(xué)生了解一些大學(xué)中的高觀點(diǎn)并為后續(xù)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.2024年1月的“九省聯(lián)考”數(shù)學(xué)試題，題量減少了但是難度加大了，第19題中出現(xiàn)了數(shù)論的題目，這啟發(fā)教師在日常教學(xué)中需要給高中學(xué)生講授一些大學(xué)數(shù)學(xué)的知識．

1以高觀點(diǎn)來研究高中數(shù)學(xué)的必要性

1.1符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

高觀點(diǎn)是以特殊性的初等數(shù)學(xué)知識經(jīng)由推廣和一般化發(fā)展為高等數(shù)學(xué)知識，又反過來經(jīng)由特殊化來指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究.知識始終有待于再考查、再檢驗(yàn)、再證實(shí)，這樣才能使得學(xué)生的認(rèn)識不斷深化.只有在高觀點(diǎn)下運(yùn)用教學(xué)方法來組織數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，才能將復(fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容以一種生動(dòng)的、直觀的形象呈現(xiàn)在學(xué)生面前，這樣就能使得學(xué)生更輕松地獲取和掌握知識．

1.2契合最近發(fā)展區(qū)理論

根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，教學(xué)應(yīng)當(dāng)走在學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平的前面.教師為學(xué)生提供更高層次的知識，激發(fā)學(xué)生的發(fā)展?jié)撃芘c“利用高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)”的觀點(diǎn)相契合.所以，基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握一些高等數(shù)學(xué)知識，增加學(xué)生的知識儲備.在有了這些同化新知識的上位觀念前提下，再去學(xué)習(xí)相應(yīng)的中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容.這樣能使新知識更為順利地納入到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而獲得良好的數(shù)學(xué)發(fā)展．

接下來本文以部分高考試題為例，具體來說明其中體現(xiàn)的高觀點(diǎn)視角．

2高觀點(diǎn)下的極值點(diǎn)偏移問題

極值點(diǎn)偏移問題是2021年新高考后開始成為熱點(diǎn)的題型，各種各樣的模擬卷中也出現(xiàn)了眾多類似題型.但是，有些模擬卷為了追求與眾不同，

創(chuàng)設(shè)的問題已經(jīng)遠(yuǎn)離了最原始的形式.那么有沒有能夠解決它的一個(gè)“通法”？實(shí)際上，通法也僅能判斷極值點(diǎn)偏移的一些充分條件，具體如下．

2.1泰勒公式

若函數(shù)f在點(diǎn)x0存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有f（x）=Tn（x）+o（（x-x0）n），即f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2！ （x-x0）2+…+f（n）（x0）n！ ·（x-x0）n+o（（x-x0）n）．［3］

2.2極值點(diǎn)偏移的一個(gè)充分條件

結(jié)論：若連續(xù)光滑函數(shù)f（x）在某段開區(qū)間A上只有一個(gè)極大值點(diǎn)x=x0，使得在極值點(diǎn)左側(cè)單調(diào)增加，右側(cè)單調(diào)減少，且存在x1＜x0＜x2∈A，f（x1）=f（x2）.

（1）如果f（x）的全體奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)在極大值點(diǎn)x0 處非負(fù)（但不是全為0，下同），也即f（2k+1）（x0）≥0，k∈N，則恒有x1+x2＞x0.

（2）如果f（x）的全體奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)在極大值點(diǎn)x0 處非正（但不是全為0，下同），也即f（2k+1）（x0）≤0，k∈N，則恒有x1+x2＜x0．

注：如果x0是極小值點(diǎn)，那么結(jié)論變號即可，也就是x0是極小值點(diǎn)，若f（2k+1）（x0）≥0，k∈N，則恒有x1+x2＜x0．

證明：考慮G（x）=f（x）-f（2x0-x），在極值點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開可得

G（x）=2∞k=0f（2k+1）（x0）（2k+1）?。▁-x0）2k+1.

若f（2k+1）（x0）≥0，k∈N.取x=x1＜x0.則G（x1）＜0f（x1）＜f（2x0-x1），由于f（x1）=f（x2），那么f（x2）＜f（2x0-x1），又因?yàn)?x0-x1=x0+x0-x1＞x0，所以2x0-x1，x2都在x0右側(cè).根據(jù)f（x0）在x0右側(cè)單調(diào)遞減，于是可得x2＞2x0-x1，從而x1+x2＞x0.其他情況同理可證．

2.3標(biāo)準(zhǔn)形式的極值點(diǎn)偏移

例題^^&&（2016年新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn)．

（1）求a的取值范圍.

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2＜2．

解析：（1）略．

（2）f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）·（ex+2a），由（1）可知a＞0，故x0=1為f（x）的極小值點(diǎn).f（x0）=（x0+1）ex＞0，…，f（2k+1）（x0）=（x0+2k-1）ex＞0.由上述結(jié)論可知，x1+x2＜2．

評析：此題的第（2）問是標(biāo)準(zhǔn)的極值點(diǎn)偏移的常見形式x1+x2＞x0型，處理時(shí)只需要精確地求出奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)，并概括總結(jié)出其一般形式，并利用上述定理判斷出其正負(fù)號即可．

2.4x1x2＞x0形式的極值點(diǎn)偏移

例題已知函數(shù)f（x）=lnx+mx-3有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求m的取值范圍.

（2）設(shè)a，b為f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：ab＞m2．

解析：（1）略．

（2） 兩邊同時(shí)取對數(shù)即證明lna+lnb＞2lnm.令lnx=t，則x=et.所以f（x）=lnx+mx-3有兩個(gè)零點(diǎn)a，bh（t）=t+met-3有兩個(gè)零點(diǎn)t1，t2，即證明t1+t2＞2lnm.設(shè)t0為h（t）=t+met-3的極值點(diǎn)，因?yàn)閔′（t）=1-met，則t0=lnm.故h（t）在（0，lnm）單調(diào)遞減，在（lnm，+∞）單調(diào)遞增，所以t0為h（t）的極小值點(diǎn).又因?yàn)閔′（t0）=0，h″′（t0）=-met0＜0，…，h（2k+1）（t0）=（-1）2k+1met0＜0，k∈N.所以由上述結(jié)論可知，t1+t2＞2lnm，故ab＞m2得證．

評析：此題的第（2）問是x1x2＞x0型，并不是極值點(diǎn)偏移的標(biāo)準(zhǔn)形式.但是不等號左邊是兩項(xiàng)相乘，不等號右邊是一個(gè)平方項(xiàng)，左右兩邊都相當(dāng)于二次式，處理時(shí)只需左右兩邊同時(shí)取對數(shù)，將其化為極值點(diǎn)偏移的標(biāo)準(zhǔn)形式即可．

2.5變形換元后的形式

例題^^&&

（2021年新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=x·（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性.

（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-a·lnb=a-b，證明：2＜1a+1b＜e.

解析：（1）略．

（2）由blna-alnb=a-b，兩邊同時(shí)除以ab

得lnaa-lnbb=1b-1a，即lna+1a=lnb+1b，即f1a=f1b.令1a=m，1b=n，即證m+n＞2.

由（1）可知，x0=1為f（x）的極大值點(diǎn).f（x0）=1x20＞0，…，f（2k+1）（x0）=（2k-1）！1x2k0＞0.由上述結(jié)論可知，m+n＞2．

評析：此題的第（2）問也不是標(biāo)準(zhǔn)的極值點(diǎn)偏移的形式，處理時(shí)可以觀察已知條件的形式結(jié)構(gòu)，進(jìn)行恒等變形.這樣就可以化為題目中已給的函數(shù)形式，然后換元將其化為極值點(diǎn)偏移的基本形式即可.但是第（2）問在處理右邊這個(gè)不等號時(shí)用上述的

結(jié)論并沒有將其解決，原因在于x=e并不是f（x）的極值點(diǎn)．

3高觀點(diǎn)下的導(dǎo)數(shù)證明問題

3.1拉格朗日中值定理

若函數(shù)f滿足如下條件：

（1）f在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；

（2）f在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，

則在（a，b）上至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.［3］

3.2利用拉格朗日中值定理證最值

例1^^&&（2009年遼寧高考）已知函數(shù)f（x）=12x2-ax+（a-1）lnx，a＞1.

（1） 討論f（x）的單調(diào)性.

（2） 證明：若a＜5，則對任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有f（x1）-f（x2）x1-x2＞-1.

解析：（1）略.

（2）要證f（x1）-f（x2）x1-x2＞-1，只需證f′（ξ）=ξ-a+a-1ξ＞-1，令g（ξ）=ξ2-（a-1）ξ+（a-1），則Δ=（a-1）2-4（a-1）=（a-1）（a-5），由于1＜a＜5，故Δ＜0，從而g（ξ）＞0恒成立，也即ξ2-aξ+（a-1）＞-ξ，又由拉格朗日中值定理，ξ∈（x1，x2），又因?yàn)閤1，x2∈（0，+∞），所以ξ＞0，從而ξ2-aξ+（a-1）ξ＞-1，即f′（ξ）＞-1．

評析：這道題的第（2）問，用初等方法構(gòu)造g（x）=f（x）+x不易想到，而且g（x）導(dǎo)數(shù)的放縮也不容易想到.當(dāng)我們看到要證明f（b）-f（a）b-a＞λ或者f（b）-f（a）b-a＜λ時(shí)，要想到拉格朗日中值定理．

例2^^&& 設(shè)函數(shù)f（x）=ex-e-x．

（1）證明：f′（x）≥2.

（2）證明：對所有x≥0，都有f（x）≥ax，則a的取值范圍為（-∞，2］.

解析：（1）略.

（2）當(dāng)x=0時(shí)，對于任意的實(shí)數(shù)a，都有f（x）≥ax.當(dāng)x＞0時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為a≤ex-e-xx對所有x＞0恒成立.令G（x）=ex-e-xx-0，由拉格朗日中值定理可知，存在一點(diǎn)ξ∈（0，x），使得f′（ξ）=f（x）-f（0）x-0，即G（x）=f′（ξ）=eξ+e-ξ.由于f″（ξ）=eξ-e-ξ＞f″（0）=0，故f′（ξ）在（0，x）上是增函數(shù).令x→0，得G（x）=f′（ξ）=eξ+e-ξ≥f′（0）=2，所以a的取值范圍為（-∞，2］.

評析：（1）如果用初等方法求解，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-ax，再分a≤2和a＞2討論.其中當(dāng)a＞2時(shí)，又要去解方程g′（x）=0.這樣會(huì)有兩個(gè)缺點(diǎn)：一是為什么要以a≤2和a＞2討論;二是解方程g′（x）=0較為麻煩.如果用了拉格朗日中值定理求解，可以省去討論，避開麻煩．

（2）當(dāng)我們用分離參數(shù)構(gòu)造出f（x）x≥a或者f（x）x≤a，如果f（0）=0，那么即證f（x）-f（0）x-0≥a或者f（x）-f（0）x-0≤a，要想到用拉格朗日中值定理．

3.3利用拉格朗日中值定理證明不等式

例題^^&&（2006年四川卷）已知函數(shù)f（x）=x2+2x+alnx，f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），對任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，證明：當(dāng)a≤4時(shí)，｜f′（x1）-f′（x2）｜＞｜x1-x2｜.

解析：由f（x）=x2+2x+alnx得，f′（x）=2x-2x2+ax.令g（x）=f′（x），由拉格朗日中值定理可得存在ξ∈（x1，x2），有｜g（x1）-g（x2）｜=｜g′（ξ）（x1-x2）｜.下面只需要證明當(dāng)a≤4時(shí)，對任意的ξ＞0，g′（ξ）＞1，即證g′（ξ）=2+4ξ3-aξ2＞1，即證當(dāng)a≤4時(shí)，a＜ξ2+4ξ恒成立.這等價(jià)于證明ξ2+4ξ的最小值大于4.因?yàn)棣?+4ξ=ξ2+2ξ+2ξ≥3·

3ξ2·2ξ·2ξ=334，當(dāng)且僅當(dāng)ξ=32時(shí)等號成立，又因?yàn)?34＞4，故得證．

評析：這道題用初等方法證明過于冗長，而且技巧性過強(qiáng)，

很多學(xué)生想不到.用拉格朗日中值定理思路較為清晰、自然.這體現(xiàn)了高觀點(diǎn)的優(yōu)越性.無論是做選擇題、填空題看到｜f′（x1）-f′（x2）｜＞｜x1-x2｜，我們應(yīng)當(dāng)想到拉格朗日中值定理．

4高觀點(diǎn)下的不等式問題

結(jié)論：設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，則必有正交矩陣P，使得PTAP=B，對應(yīng)的二次型為f=xTAx，作正交變換x=Py，則有f=yTPT APy=yTBy=λ1y21+λ2y22+…+λny2n，即得到了標(biāo)準(zhǔn)型．［4］

該結(jié)論的應(yīng)用特點(diǎn)是將高中含有交叉項(xiàng)的最一般的二次齊次式化為不含交叉項(xiàng)的二次齊次式.高中最常見的就是n=2時(shí)的特例．

例題^^&&（2022年新高考Ⅱ卷）若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2-xy=1，則（）.

A. x+y≤1

B. x+y≥-2

C. x2+y2≤2

D. x2+y2≥1

解析：f=x2+y2-xy對應(yīng)的實(shí)對稱矩陣A=1-12

-121，由｜A-λE｜=1-λ-12

-121-λ=14（2λ-1）（2λ-3），得特征值為λ1=12，λ2=32.λ1所對應(yīng)的單位特征向量為α1=

22，22T，λ2所對應(yīng)的單位特征向量為α2=（-22，22）T.對應(yīng)的正交矩陣P=22-22

2222，經(jīng)過正交變換的標(biāo)準(zhǔn)型為f=12u2+12v2.記原來二次曲線對應(yīng)的是x-y坐標(biāo)軸，經(jīng)過正交變換后的坐標(biāo)軸為u-v坐標(biāo)軸.設(shè)e1=（1，0），e2=（0，1）為x-y坐標(biāo)軸下的單位正交向量，則對于u-v坐標(biāo)軸下的α1，α2則有α1=22e1+22

e2，α2=-22e1+22e2，則e1=22α1-22α2，e2=22α1+22α2，則x-y坐標(biāo)軸下的點(diǎn)（x，y）與u-v坐標(biāo)軸下的點(diǎn)（u，v）的關(guān)系為x=22u-22v，y=22u+22v.故x2+y2=u2+v2，xy=12（u2-v2），x2+y2-xy=12u2+32v2=1.故x+y=2u∈［-2，2］.故B正確，A錯(cuò)誤.1=12u2+32v2≥12u2+12v2.從而u2+v2≤2.故C正確D錯(cuò)誤．

綜上所述，選擇答案BC.

評析：對于一般含有交叉項(xiàng)的二次式的處理難點(diǎn)就在于交叉項(xiàng)，一般是通過把交叉項(xiàng)拿出來然后利用基本不等式.實(shí)際上對于含交叉項(xiàng)的問題可以通過正交變換將交叉項(xiàng)這個(gè)困難去掉，達(dá)到化繁為簡的目的．

5教學(xué)思考與建議

5.1將高觀點(diǎn)逐步滲透課堂

教師要以高等數(shù)學(xué)的視角看待中學(xué)數(shù)學(xué)，兼顧理論與實(shí)踐，從教與學(xué)兩個(gè)角度研究中學(xué)數(shù)學(xué)教材.教師應(yīng)有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)文化及多種教學(xué)手段和方法，達(dá)到課程的教學(xué)目標(biāo)，并做到與課程思政相結(jié)合，真正做到以學(xué)生為中心，將高等數(shù)學(xué)的知識融會(huì)貫通到課堂教學(xué)中去，提高學(xué)生的思維能力和對數(shù)學(xué)的興趣．

5.2教師應(yīng)該提升自己的專業(yè)修養(yǎng)

中學(xué)一線教師已經(jīng)闊別高校多年，對一些大學(xué)的知識有所遺忘.但是隨著新課改的提出，對教師專業(yè)性也有所要求，如果沒有知識的理論支撐，教師很難完成日常的教育教學(xué)工作.現(xiàn)如今的教材上都會(huì)涉及一些問題探討，很多都與高等數(shù)學(xué)有關(guān).因此，教師應(yīng)該秉持著終身學(xué)習(xí)的理念，重溫大學(xué)的基礎(chǔ)教材，提升自己的專業(yè)修養(yǎng).當(dāng)教師有足夠的高觀點(diǎn)后，可以在一些學(xué)習(xí)中逐步引導(dǎo)學(xué)生.例如，當(dāng)學(xué)完周期函數(shù)后可以問學(xué)生這樣一個(gè)問題，任何周期函數(shù)都有最小正周期嗎？學(xué)生可能一時(shí)想不到，但是教師可以用在函數(shù)的概念那一節(jié)中舉過的狄利克雷函數(shù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考．

5.3教學(xué)中應(yīng)教會(huì)學(xué)生最基本的原理

美國心理學(xué)家布魯納（J.S.Bruner）主張教學(xué)的最終目的在于促使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)即該學(xué)科的一般的、基本的原理.布魯納相信“把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面”會(huì)有利于記憶.教師在教育教學(xué)過程中應(yīng)該教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)的本質(zhì)，將數(shù)學(xué)知識“抽絲剝繭”．

5.4拓展一些校本課程

學(xué)?？梢蚤_展一些相關(guān)課程，按照課標(biāo)分類的高中數(shù)學(xué)模塊將高等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行組塊，從而進(jìn)行大單元教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．

參考文獻(xiàn)

［1］菲利克斯·克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)（第一卷）算術(shù) 代數(shù) 分析［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2017．

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版 2020 年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.數(shù)學(xué)分析.上冊［Ｍ］.北京：高等教育出版社，2010．

［4］張賢科，許甫華.高等代數(shù)學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004.