［摘 要］近年來(lái)，矩陣補(bǔ)全在圖像處理中的應(yīng)用備受關(guān)注，其對(duì)推動(dòng)圖像處理技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用具有重要的意義。文章分析了矩陣補(bǔ)全及其算法原理，概述了當(dāng)前矩陣補(bǔ)全的應(yīng)用及影響。詳細(xì)闡述了圖像處理中矩陣補(bǔ)全的應(yīng)用，以圖像高斯去噪為例，對(duì)建立數(shù)學(xué)模型、采用奇異值分解的矩陣補(bǔ)全去噪進(jìn)行了設(shè)計(jì)，并通過(guò)試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。最后對(duì)矩陣補(bǔ)全技術(shù)的改進(jìn)與優(yōu)化及案例進(jìn)行了分析，以及對(duì)基于矩陣補(bǔ)全的圖像處理應(yīng)用進(jìn)行了展望。

［關(guān)鍵詞］矩陣補(bǔ)全；奇異值分解；圖像去噪

［中圖分類號(hào)］TP391.41 ［文獻(xiàn)標(biāo)志碼］A ［文章編號(hào)］2095–6487（2024）05–0154–03

1 矩陣補(bǔ)全技術(shù)概述

1.1 矩陣補(bǔ)全及其算法原理

矩陣補(bǔ)全指從部分觀測(cè)到的數(shù)據(jù)中，通過(guò)填補(bǔ)缺失數(shù)值回復(fù)完整的矩陣。矩陣補(bǔ)全算法包括基于奇異值分解、主成分分析等低秩模型的方法與基于L1 范數(shù)最小化、字典學(xué)習(xí)等稀疏標(biāo)識(shí)模型的方法。其中奇異值分解是矩陣補(bǔ)全的最常用算法，其主要原理為假如給定1 個(gè)矩陣M，首先對(duì)其進(jìn)行奇異值分解，將其分解為3 個(gè)矩陣的乘積，即M= U＼sigma V^T，其中U和V 是正交矩陣，Σ是對(duì)角矩陣。U 的列向量稱為左奇異向量，V 的列向量被稱為右奇異向量，Σ的對(duì)角元素被稱為奇異值。在奇異值分解過(guò)程中，奇異值按大小進(jìn)行排列，一般選擇保留較大的奇異值，而將較小的奇異值設(shè)置為0，實(shí)現(xiàn)矩陣的低秩近似。然后根據(jù)保留的奇異值和相應(yīng)的左右奇異向量相乘，重構(gòu)原始矩陣M 的近似矩陣M1。在重構(gòu)M1 過(guò)程中，對(duì)于未知的缺失值，采用最小二乘法技術(shù)進(jìn)行缺失值評(píng)估。并將其填充到原始矩陣的相應(yīng)位置上，這樣便能恢復(fù)完整的矩陣。最小二乘法是一種參數(shù)評(píng)估方法，其通過(guò)最小化觀測(cè)數(shù)據(jù)與模型預(yù)測(cè)值之間的誤差，有效地評(píng)估缺失值大小。

1.2 矩陣補(bǔ)全的應(yīng)用及影響

矩陣補(bǔ)全有著十分廣泛的應(yīng)用，其應(yīng)用主要體現(xiàn)在3個(gè)方面：①圖像處理。矩陣補(bǔ)全可應(yīng)用于圖像去噪、恢復(fù)、壓縮和重建的工作，提高圖像質(zhì)量。并且還可以應(yīng)用在圖像分析、特征提取和圖像編輯等方面，拓展圖像處理技術(shù)的應(yīng)用范圍。②推薦系統(tǒng)。矩陣補(bǔ)全主要用于填充用戶—物品評(píng)分矩陣中的缺失值，提高推算算法準(zhǔn)確性和個(gè)性化程度。③社交網(wǎng)絡(luò)分析。矩陣補(bǔ)充技術(shù)可填充用戶—用戶關(guān)系和用戶—物品關(guān)系矩陣中的缺失值。通過(guò)該方法，可更準(zhǔn)確地描述和分析社交網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和動(dòng)態(tài)。

2 矩陣補(bǔ)全在圖像處理中應(yīng)用

2.1 矩陣補(bǔ)全在圖像處理中的常規(guī)應(yīng)用

矩陣補(bǔ)全在圖像處理領(lǐng)域的中的作用十分巨大，其可在圖像數(shù)據(jù)存在殘缺或損壞的情況下，對(duì)圖像進(jìn)行有效的分析和處理，通過(guò)已知的部分圖像信息來(lái)預(yù)測(cè)和恢復(fù)缺失或損壞的部分，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的修復(fù)和重建。其應(yīng)用主要包括：①圖像去噪和降噪。對(duì)于受到高斯、椒鹽等噪聲干擾的圖像，可通過(guò)矩陣補(bǔ)全技術(shù)對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理，提高圖像的質(zhì)量和清晰度。②圖像恢復(fù)和修復(fù)。對(duì)于存在缺失、失真及受損的圖像，可采用矩陣補(bǔ)全技術(shù)對(duì)圖像進(jìn)行恢復(fù)和修復(fù)，填補(bǔ)丟失的像素值，使圖片恢復(fù)到原始狀態(tài)。③圖像壓縮和重建。其通過(guò)矩陣補(bǔ)全技術(shù)對(duì)現(xiàn)有的圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的填充和重建，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像數(shù)據(jù)的高效壓縮和重建，減少存儲(chǔ)空間和傳輸成本。④圖像處理算法改進(jìn)。通過(guò)引入矩陣補(bǔ)全技術(shù)對(duì)圖像處理算法進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化，提高算法的魯棒性和準(zhǔn)確性。文章接下來(lái)將對(duì)矩陣補(bǔ)全在圖像去噪中的應(yīng)用進(jìn)行詳細(xì)闡述及分析。