摘 要：文章以含間隙—軟沖擊振動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立該系統(tǒng)的Poincaré映射，通過數(shù)值模擬，分析了該系統(tǒng)的周期碰撞沖擊特性，研究了低頻下亞諧波運(yùn)動(dòng)與之間的轉(zhuǎn)遷規(guī)律，揭示了沖擊約束面的剛度系數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的影響；研究顯示：在高頻時(shí)，隨著激勵(lì)頻率的減小系統(tǒng)經(jīng)運(yùn)動(dòng)發(fā)生倍化分岔、擦切分岔轉(zhuǎn)入混沌或長周期運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)歷逆倍化序列等演變?yōu)檫\(yùn)動(dòng)；在低頻時(shí)，運(yùn)動(dòng)特征為非粘滯型顫振；通過分析不同約束面上剛度系數(shù)的系統(tǒng)全局分岔圖可知沖擊約束面的剛度系數(shù)越大，系統(tǒng)振動(dòng)特性越明顯，穩(wěn)定性下降。

關(guān)鍵詞：軟沖擊 顫振 分岔 混沌 穩(wěn)定性

0 引言

沖擊振動(dòng)現(xiàn)象普遍存在于各類機(jī)械系統(tǒng)中，例如高速行駛的列車輪軌之間的沖擊、齒輪箱內(nèi)輪齒嚙合的沖擊等，這種沖擊振動(dòng)都會(huì)對(duì)零部件造成損傷從而影響機(jī)器的使用壽命，影響設(shè)備安全運(yùn)行，因此，研究沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的分岔機(jī)理對(duì)振動(dòng)沖擊系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)、運(yùn)行安全性和使用壽命的提高以及降低噪聲等方面均具有重要意義。

近年來國內(nèi)外許多學(xué)者都對(duì)含有軟沖擊約束的系統(tǒng)開展了研究，P. Brzeski[1]以振蕩器之間的距離和諧波激勵(lì)的相位差為控制參數(shù)，分析了不連續(xù)耦合對(duì)多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。Luo等[2]探究了沖擊碰撞系統(tǒng)的粘滯或非粘滯周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦绲倪^程。安貴杰[3]建立了考慮干摩擦的間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了摩擦系數(shù)等參量對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征的影響。劉汝逾[4]分析了雙側(cè)對(duì)稱碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的穩(wěn)定性和分岔行為。王世俊[5]研究了一種多剛度的兩自由度沖擊系統(tǒng)的舌狀轉(zhuǎn)遷域內(nèi)亞諧碰撞振動(dòng)的類型和形成機(jī)理，以及系統(tǒng)參數(shù)在系統(tǒng)周期碰撞振動(dòng)在（ω，δ）參數(shù)區(qū)域平面上的運(yùn)動(dòng)特征。Luo 等[6]分析了有間隙的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為和系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系。Joseph Páez Chávez[7]對(duì)兩個(gè)周期強(qiáng)迫 Duffing 振子通過軟耦合進(jìn)行了分岔分析，分析表明在多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中，可以通過瞬態(tài)沖擊來改變穩(wěn)定吸引子的數(shù)目和減少共存解的數(shù)目。張曉蓉[8]通過數(shù)值仿真，揭示了一種帶有非線性赫茲接觸力的振動(dòng)沖擊系統(tǒng)在低頻率、小間隙下存在非完全顫振現(xiàn)象，總結(jié)了系統(tǒng)響應(yīng)從1-1-1周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)為非完全顫振運(yùn)動(dòng)的過程。王晨升[9]以具有雙邊約束的兩自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，分析了其周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性及系統(tǒng)在不同參數(shù)下發(fā)生分岔并轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦绲倪^程，為實(shí)際動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)優(yōu)化提供了理論依據(jù)。

本文在剛性沖擊系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，建立了兩自由度含間隙-軟沖擊振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過數(shù)值仿真，分析了約束面剛度系數(shù)等參量對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

1 兩自由度含間隙-軟沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

兩自由度含間隙-軟沖擊振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，系統(tǒng)中兩振子的質(zhì)量分別為和；系統(tǒng)固定基礎(chǔ)左側(cè)通過阻尼系數(shù)為的阻尼器和剛度系數(shù)為的非線性彈簧與振子連接，固定基礎(chǔ)右側(cè)通過阻尼系數(shù)為的線性阻尼器和剛度系數(shù)為的非線性彈簧與振子相連接；振子右側(cè)含有由線性彈簧和線性阻尼器組成的軟沖擊約束，其剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)分別為和。振子和的位移分別為和，激振力作用于振子上，其中、和分別為簡諧力振幅、激勵(lì)頻率和相位角；當(dāng)激振力振幅較小時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)為無沖擊受迫振動(dòng)，隨著的不斷增大，當(dāng)時(shí)，振子與約束端面發(fā)生軟沖擊，此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)榫哂袕?fù)雜動(dòng)力學(xué)特征的振動(dòng)系統(tǒng)。

系統(tǒng)無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程為：

其中與振子和的位移差、速度差和間隙相關(guān)，且有：

“.”表示對(duì)無量綱時(shí)間的求導(dǎo)，引入無量綱變量和參數(shù)為：

選取系統(tǒng)參數(shù)的取值范圍：

；系統(tǒng)周期碰撞運(yùn)動(dòng)形式用表示，一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的激勵(lì)力周期數(shù)用表示；沖擊運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)振子與約束面的碰撞次數(shù)用表示，特別的是當(dāng)時(shí)，表示非碰撞，即兩振子的位移差小于間隙；為了得到周期數(shù)和沖擊次數(shù)，分別建立系統(tǒng)反應(yīng)沖擊特征的Poincaré映射截面和周期特征的Poincaré映射截面。

對(duì)于沖擊振動(dòng)特征，分析上的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)量即可得到振子和約束的沖擊碰撞次數(shù)，由上的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)可得到周期振動(dòng)的循環(huán)數(shù)。振子沖擊映射截面的映射方程為：

其中：；，；為系統(tǒng)參數(shù)，。

2 兩自由度含間隙-軟沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 軟沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及分岔特性

顫振行為有粘滯振動(dòng)與非粘滯振動(dòng)兩種；其中粘滯型顫振是指振子在碰撞速度為零時(shí)與左側(cè)固接在振子上的約束接觸，且振子發(fā)生碰撞時(shí)合外力向左，這使得振子與沖擊面發(fā)生粘連，此時(shí)沖擊振動(dòng)系統(tǒng)將變成單自由度強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)振子所受合外力方向改變時(shí)，振子逐漸離開沖擊接觸面，粘滯現(xiàn)象逐步消失，系統(tǒng)又成為兩自由度沖擊振動(dòng)狀態(tài)；該軟沖擊系統(tǒng)屬于不含粘滯顫振現(xiàn)象，也就是振子與左側(cè)約束面之間為有限次碰撞（p很大）。

選取系統(tǒng)的無量綱參數(shù)為：，，，，，。以激勵(lì)力頻率為控制參數(shù)，取間隙，數(shù)值仿真得到區(qū)間內(nèi)、隨變化的全局分岔圖，如圖2所示。

圖2（a）和圖2（b）分別是龐加萊截面和龐加萊截面上的系統(tǒng)全局分岔圖；如圖2（a）所示，隨著激勵(lì)頻率的減少，軟沖擊系統(tǒng)出現(xiàn)亞諧運(yùn)動(dòng)窗口，運(yùn)動(dòng)周期數(shù)逐漸遞減，并且在相鄰的亞諧運(yùn)動(dòng)之間夾雜其他運(yùn)動(dòng)形式，圖2（c）為圖2（a）的局部放大圖，圖2（d）為圖2（b）的局部放大圖，由圖可清晰得到隨著的減小，系統(tǒng)在時(shí)相鄰亞諧運(yùn)動(dòng)之間的轉(zhuǎn)遷變化規(guī)律。

分析可知：在圖2（a）中，隨著激勵(lì)頻率的減小，系統(tǒng)由1/2運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷復(fù)雜的轉(zhuǎn)遷變化到1/1運(yùn)動(dòng)；從圖2（c）中可以看出，隨著的減小，系統(tǒng)的1/2運(yùn)動(dòng)發(fā)生倍化分岔進(jìn)入2/4運(yùn)動(dòng)，2/4運(yùn)動(dòng)再倍化嵌入4/8運(yùn)動(dòng)，隨著激勵(lì)頻率的減小，系統(tǒng)的4/8運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷一系列倍化進(jìn)入長周期運(yùn)動(dòng)，又逐漸退化為2/4運(yùn)動(dòng)，2/4運(yùn)動(dòng)因擦切運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)為3/4運(yùn)動(dòng)，3/4運(yùn)動(dòng)由跳躍分岔進(jìn)入短暫的無接觸0/1運(yùn)動(dòng)，隨后系統(tǒng)進(jìn)入短暫混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)逆Hopf分岔嵌入4/6，隨后又經(jīng)倍化序列嵌入混沌運(yùn)動(dòng)參數(shù)域，當(dāng)隨著激勵(lì)頻率的不斷減小，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)退化為穩(wěn)定的2/2運(yùn)動(dòng)，在持續(xù)減小的過程中，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)比較復(fù)雜，在參數(shù)區(qū)間上，系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)之間夾雜著混沌運(yùn)動(dòng)或長周期多沖擊運(yùn)動(dòng)窗口，繼續(xù)隨著的遞減，系統(tǒng)最終1/1運(yùn)動(dòng)。

如圖2（a）所示，當(dāng)時(shí)，朝著的減小的方向上，系統(tǒng)出現(xiàn)了擦切分岔序列，產(chǎn)生基本周期運(yùn)動(dòng)，每發(fā)生一次擦切分岔，振子便于沖擊約束面的碰撞次數(shù)增加一次，且發(fā)生擦切運(yùn)動(dòng)時(shí)的碰撞速度為零，即系統(tǒng)由進(jìn)入運(yùn)動(dòng)；該擦切分岔為Real-grazing分岔，即越過Real-grazing分岔邊界線時(shí)產(chǎn)生穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)。為進(jìn)一步分析約束面剛度系數(shù)對(duì)低頻區(qū)域運(yùn)動(dòng)特性的影響，分別計(jì)算得到和時(shí)的系統(tǒng)分岔圖如圖3所示。

圖3（a）中當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)為完全的彈性沖擊，隨著減小，系統(tǒng)的基本周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷規(guī)律為：

其中：表示擦切分岔；表示鞍結(jié)分岔。

圖3（b）中當(dāng)時(shí)，隨著的減小，系統(tǒng)的基本周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化規(guī)律如下：

通過對(duì)比圖3（a）和3（b）可知：從總體上看，系統(tǒng)都是從基本周期運(yùn)動(dòng)依次發(fā)生擦切分岔進(jìn)入運(yùn)動(dòng)，而后又依次發(fā)生鞍結(jié)分岔進(jìn)入運(yùn)動(dòng)的過程；分析圖3發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在擦切分岔發(fā)生域中，出現(xiàn)了短暫的倍化周期序列，如在圖3（b）中，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的3/1運(yùn)動(dòng)同時(shí)發(fā)生擦切和倍化分岔進(jìn)入7/1；圖3（b）中時(shí)系統(tǒng)的擦切分岔次數(shù)較多，由此得知在低頻參數(shù)域內(nèi)，接觸面的約束剛度系數(shù)越大，系統(tǒng)的的擦切和鞍結(jié)分岔特性越豐富，且在低頻區(qū)域系統(tǒng)不存在粘滯型顫碰運(yùn)動(dòng)，該特性在圖4所示的時(shí)間歷程圖中可得到體現(xiàn)，圖4是時(shí)分別取和時(shí)的時(shí)間位移圖，其中圖4（c）和圖4（d）分別是圖4（a）和圖4（b）的局部放大圖，便于更清晰的觀察系統(tǒng)的顫碰運(yùn)動(dòng)特性。

2.2 約束面剛度系數(shù)對(duì)系統(tǒng)分岔特性影響

為了研究軟沖擊約束面的剛度系數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，保持系統(tǒng)其他參數(shù)不變，選取為研究參數(shù)得到系統(tǒng)的全局分岔圖如圖5所示，采用疊加分岔圖的方法更有利于直觀分析系統(tǒng)的沖擊次數(shù)和激勵(lì)周期數(shù)；圖中黑色部分為系統(tǒng)在上的全局分岔圖，紅色部分為系統(tǒng)在上的全局分岔圖，對(duì)比分析圖5（a）～（d）可知對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，在圖5（a）中當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)在參數(shù)域上為穩(wěn)定的1/1運(yùn)動(dòng)；在圖5（b）中當(dāng)時(shí)，隨著激勵(lì)頻率的減小，系統(tǒng)在時(shí)1/1運(yùn)動(dòng)倍化為2/2運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)發(fā)生逆倍化分岔轉(zhuǎn)遷為1/1運(yùn)動(dòng)，在低頻區(qū)域有極少的擦切分岔和鞍結(jié)分岔區(qū)域，即：；在圖5（c）中，隨著激勵(lì)頻率的減小，系統(tǒng)由1/1運(yùn)動(dòng)倍化分岔為2/2運(yùn)動(dòng)，隨后當(dāng)時(shí)系統(tǒng)由周期1/1運(yùn)動(dòng)發(fā)生Hopf分岔嵌入混沌運(yùn)動(dòng)，隨著的減小，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)又經(jīng)逆Hopf分岔進(jìn)入穩(wěn)定的1/1運(yùn)動(dòng)，在低頻區(qū)域的運(yùn)動(dòng)特性表現(xiàn)為穩(wěn)定的擦切分岔和鞍結(jié)分岔特性；在圖5（d）中，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性比較復(fù)雜，尤其是在低頻區(qū)域系統(tǒng)表現(xiàn)為非粘滯型顫碰運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)其他運(yùn)動(dòng)特性與基本參數(shù)下的圖2（a）比較類似，不再贅述；對(duì)比分析圖5（a）～（d）可知在沖擊約束面剛度系數(shù)越大，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性越復(fù)雜，在較小時(shí)，系統(tǒng)基本表現(xiàn)為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，較大時(shí)，隨著激勵(lì)頻率的減小，系統(tǒng)出現(xiàn)了一系列的分岔特性及混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域，在低頻區(qū)域表現(xiàn)為沖擊次數(shù)較高的非粘滯型顫碰運(yùn)動(dòng)。

3 結(jié)論

本文研究了一類兩自由度含間隙-軟沖擊振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型在低頻參數(shù)域內(nèi)的顫振現(xiàn)象和高頻下的運(yùn)動(dòng)特性，并分析了沖擊約束面的剛度系數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的影響。

（1）在低頻參數(shù)域上，隨著激勵(lì)頻率的減小，系統(tǒng)不斷發(fā)生Grazing分岔使振子與約束面的碰撞次數(shù)不斷增大進(jìn)入運(yùn)動(dòng)，在擦切分岔過程中夾雜著部分倍化分岔窗口，隨后系統(tǒng)又經(jīng)鞍結(jié)分岔，碰撞次數(shù)依次減小，并最終趨于穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，由于系統(tǒng)沖擊面帶有剛度和阻尼，屬于軟沖擊系統(tǒng)，所以在低頻下并不會(huì)出現(xiàn)粘滯型顫振運(yùn)動(dòng)。

（2）沖擊約束面的剛度系數(shù)對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性影響較大，表現(xiàn)為在較小時(shí)，系統(tǒng)主要體現(xiàn)為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，隨著增大，系統(tǒng)發(fā)生倍化分岔出現(xiàn)短暫的周期運(yùn)動(dòng)窗口，當(dāng)時(shí)，隨著激勵(lì)頻率的減小，系統(tǒng)出現(xiàn)倍化分岔和Hopf分岔，周期運(yùn)動(dòng)之間嵌入混沌運(yùn)動(dòng)窗口，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式異常復(fù)雜，此時(shí)由于沖擊約束面剛度系數(shù)接近1，即系統(tǒng)接近剛性沖擊，混沌運(yùn)動(dòng)窗口明顯增多，在低頻下出現(xiàn)了沖擊次數(shù)較大的運(yùn)動(dòng)，由此可知沖擊約束面的剛度系數(shù)越大，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性越差。

（3）擦碰接觸致使系統(tǒng)出現(xiàn)奇異性，系統(tǒng)的倍化序列存在不連續(xù)性。

基金項(xiàng)目：廣西高校中青年教師科研基礎(chǔ)能力提升項(xiàng)目（2021KY1388）。

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