課本是源，題目是流，千變?nèi)f化的題目，考查的都是課本上的基礎(chǔ)知識(shí)，因此，在學(xué)習(xí)時(shí)要注重對(duì)課本上的概念和例題、習(xí)題進(jìn)行深入挖掘，下面我們就對(duì)“角的平分線的性質(zhì)”這一節(jié)的相關(guān)例題、習(xí)題進(jìn)行拓展研究，幫助同學(xué)們更好地掌握這部分內(nèi)容．

一 課本知識(shí)拓展——關(guān)注焦點(diǎn)

（1）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；（2）判定點(diǎn)在角的平分線上的方法：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．

這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)主要應(yīng)用在三角形中，因此把它們放在三角形中解讀．

如圖1，在△ABC中、PE⊥AB于點(diǎn)E，PD⊥BC干點(diǎn)D，PF⊥AC于點(diǎn)F.如果BP是∠ABC的平分線，根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，就有PE=PD.

若要說(shuō)明點(diǎn)P在∠BAC的平分線AG上，則只需用判定點(diǎn)在角的平分線上的方法，證明PE=PF即可，若要說(shuō)明∠C的平分線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ｐ，則能說(shuō)明PD≠PF即可．

二 課本例習(xí)題拓展——揭示共同點(diǎn)

認(rèn)真研讀課本第50頁(yè)的例題和練習(xí)的第2題可以發(fā)現(xiàn)，這一例一練雖然條件不同、圖形不同、結(jié)論也不同，但解題用到的知識(shí)點(diǎn)和方法是一樣的，現(xiàn)把它們進(jìn)行變式拓展．

例1 （課本第50頁(yè)的例題拓展）如圖2，△ABC中．BP平分∠ABC，CP平分∠ACB.求證：點(diǎn)P在∠A的平分線上．

分析：要證明點(diǎn)P在∠A的平分線上，就是要證明點(diǎn)P到∠A兩邊的距離相等．

證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F．

∵點(diǎn)P在∠ABC的平分線BP上，PD⊥BC，PE⊥AB，

∴PD=PE．

同理PD=PF

∴PE=PF．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF，

∴點(diǎn)P在∠A的平分線上．

啟示：由例1的解答可知：（1）三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三邊的距離相等，反之也成立，即：三角形內(nèi)部到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形三條角平分線的交點(diǎn).（2）無(wú)論是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，三角形三條角平分線的交點(diǎn)都在三角形的內(nèi)部．

例2 （課本第50頁(yè)練習(xí)第2題拓展）如圖3．△ABC的兩個(gè)外角的平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，AG是∠BAC的平分線，求證：AG經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.

分析：要證明AG經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．就是要證明點(diǎn)P在∠BAC的平分線AG上，因此只要證明點(diǎn)P到∠BAC兩邊的距離相等即可.

證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．

∵點(diǎn)P在∠MBC的平分線BP上，PM⊥AB，PF⊥BC，

∴PM=PF．

同理PN=PF

∴PM=PN．

∵PM⊥AB，PN⊥AC，PM=PA，

∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線AG上，即AG經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.

啟示：由例2的解答可知：（1）三角形兩個(gè)外角的平分線的交點(diǎn)在第三個(gè)內(nèi)角的平分線上，或者說(shuō)三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線經(jīng)過(guò)與其不相鄰的兩個(gè)外角的平分線的交點(diǎn).（2）三角形兩個(gè)外角的平分線的交點(diǎn)到三角形三邊所在直線的距離相等．

三 課本應(yīng)用題拓展——謹(jǐn)防易錯(cuò)點(diǎn)

例3 （課本第55頁(yè)第6題變式）如圖4，三條直線型公路相交構(gòu)成了△ABC．通信公司欲在長(zhǎng)方形的區(qū)域內(nèi)建若干個(gè)信號(hào)發(fā)射塔，使公路上來(lái)往的車輛獲得較好的通信信號(hào)，塔基的位置要求到三條公路的距離相等．滿足條件的塔基位置共有幾個(gè)？請(qǐng)畫出示意圖．

分析：由課本第55頁(yè)第6題可知，△ABC內(nèi)部存在一點(diǎn)，滿足塔基到三條公路的距離相等．由課本第50頁(yè)第2題可知，在△ABC的邊BC的外側(cè)區(qū)域存在一點(diǎn)，滿足塔基到三條公路的距離相等；同理，在邊AB和邊AC的外側(cè)區(qū)域分別存在一點(diǎn)，滿足塔基到三條公路的距離相等．

解：如圖5，P是△ABC的內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，P1，P2，P3分別是△ABC的外角的平分線的交點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)共有四個(gè)，分別是P，P1，P2，P3.

啟示：課本第55頁(yè)第6題要求在三角形內(nèi)部求滿足條件的點(diǎn)，顯然只有一個(gè)點(diǎn)，例3是在長(zhǎng)方形的區(qū)域里求滿足條件的點(diǎn)，所以有四個(gè)點(diǎn).

試金石

1．△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，點(diǎn)P是△ABC兩條角平分線的交點(diǎn)，若△APB的面積是1.5，那么△BPC的面積是____，△APC的面積是____．

2.點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，且點(diǎn)P到三角形三邊的距離相等，∠A=50°，求∠BPC的度數(shù)．

參考答案

1.2 2.5

2．∠BPC=115°.