一、全等圖形

幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的重要分支，主要研究圖形的形狀、大小和位置，每個(gè)圖形都有自身的形狀，如等邊三角形、正方形、圓形等；又有固定的大小，如長(zhǎng)度、角度、周長(zhǎng)、面積等．如果兩個(gè)圖形G和G，不僅形狀相同，而且大小相等，則稱它們?nèi)?，記作C≌G'．

人們?nèi)菀紫氲?，“全等”與“重合”相關(guān)，如果兩個(gè)圖形全等，那么將它們置于同一位置時(shí)兩者一定重合，例如，圖1是循環(huán)再生標(biāo)志，它由三個(gè)全等的彎曲箭頭組成．將其中一個(gè)箭頭剪下來，適當(dāng)?shù)胤诺搅硪粋€(gè)箭頭上，兩者一定重合，反之，兩個(gè)圖形保持形狀、大小不變，適當(dāng)改變位置后，如果兩者能重合，則兩個(gè)圖形一定全等，因此，兩個(gè)圖形能否重合，是判斷它們是否全等的實(shí)驗(yàn)方法．然而在許多情況下，圖形無法移動(dòng)或不易移動(dòng)，而且重合實(shí)驗(yàn)也會(huì)出現(xiàn)誤差，所以幾何學(xué)必須研究如何用推理方法判斷兩個(gè)圖形全等．

二、全等三角形

對(duì)于一個(gè)封閉的平面圖形，一般總可以經(jīng)過三角剖分轉(zhuǎn)化為若干個(gè)三角形（或近似的三角形）．因此，研究全等三角形是研究全等多邊形以及其他全等平面圖形的基礎(chǔ)．

在平面上取定不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)一定能畫出三角形，并且只能畫出一個(gè)三角形．這說明一個(gè)三角形的形狀和大小可以由三個(gè)頂點(diǎn)的相對(duì)位置唯一確定．因此，要考慮兩個(gè)三角形是否全等，只要考慮它們?nèi)齻€(gè)頂點(diǎn)之間的相對(duì)位置是否相同．

如圖2，三角形頂點(diǎn)之間的相對(duì)位置，取決于頂點(diǎn)之間的距離（即三角形的邊長(zhǎng)a，b，c）和頂點(diǎn)連線之間方向的變化（即三角形內(nèi)角的大?。@就啟發(fā)人們借助三角形的基本元素（邊和角）尋求三角形全等的判定條件，反過來，如果兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形一定可以重合，這就是說，具備這六個(gè)相等關(guān)系的三角形一定全等．

這六個(gè)相等關(guān)系其實(shí)是互相聯(lián)系的，其中具有決定意義的相等關(guān)系有三組，它們是“邊角邊”（SAS）、“角邊角”（ASA）、“邊邊邊”（SSS）．這三組邊角相等關(guān)系成為全等三角形的基本判定條件．

在教科書中，有引導(dǎo)同學(xué)們對(duì)全等三角形的基本判定條件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)性探究的內(nèi)容．但那只是對(duì)它們的驗(yàn)證，而非嚴(yán)格的邏輯證明，在有嚴(yán)格邏輯體系的歐氏幾何中，它們是經(jīng)過證明后得出的判定定理，如果你想對(duì)此有所了解，可以閱讀下面介紹的證明方法．

1．對(duì)“邊角邊”（SAS）的證明

這一證明方法最早見于歐幾里得的名著《原本》第一卷，其中用到了“平面圖形可以不改變形狀和大小從一個(gè)位置移動(dòng)到另一個(gè)位置”這一結(jié)論．

已知：如圖3，在△ABC與△A'B'C'中，AB=A'B'，∠A=∠A'，AC=A'C'．

求證：△ABC≌△A'B'C'．

分析：要證兩個(gè)三角形全等，會(huì)想到用非實(shí)驗(yàn)方法證明它們能夠完全重合，三角形的形狀、大小可以由它的三個(gè)頂點(diǎn)的相對(duì)位置確定，因此只要證明兩個(gè)三角形的各對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)能夠重合，問題就解決了．

證明：移動(dòng)△A'B'C'到△ABC之上．因?yàn)椤螦=∠A'，所以可將∠B'A'C，與∠BAC疊合，使點(diǎn)A'與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B’落在射線AB上，點(diǎn)C'落在射線AC上，又因A'B'=AB，A'C'=AC，所以點(diǎn)B’落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C，落在點(diǎn)C上，即點(diǎn)A'，B'，C'分別與點(diǎn)A，B，C重合．根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，知線段B'C'與BC重合，則△ABC與△A'B'C'重合，因此，△ABC≌△A'B'C'．

2．對(duì)“角邊角”（ASA）的證明

這一證明方法也用到了“平面圖形可以不改變形狀和大小從一個(gè)位置移動(dòng)到另一個(gè)位置”．

已知：如圖4．在△ABC與△A'B'C'中，∠A=∠A'AB=A'B'，∠B=∠B'.

求證：△ABC≌△A'B'C'.

證明：移動(dòng)△A'B'C，到△ABC之上，因?yàn)椤螦=∠A'，所以可將∠B'A'C'與∠BAC疊合，使點(diǎn)A’與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B'落在射線AB上，點(diǎn)C’落在射線AC上，又因A'B'=AB，所以點(diǎn)B'與點(diǎn)B重合．因?yàn)椤螧=∠B‘，△A’B'C’中∠A'和∠B'位于線段A'B'的同側(cè)，所以點(diǎn)C’落在射線BC上，因?yàn)閮缮渚€AC和BC僅有唯一交點(diǎn)C，而點(diǎn)C‘落在這兩條e2f711a5d05496c79d06a33d598c61eb8ef21e5b910049dd07785f6c55768c48射線上，所以點(diǎn)C，與點(diǎn)C重合，因此，△ABC與△A'B'C'重合，即△ABC≌△A'B'C'．

3．對(duì)“邊邊邊”（SSS）的證明

先證明“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”，為證明“邊邊邊”判定方法做準(zhǔn)備．

已知：如圖5，在△ABC中，AB=AC．

求證：∠B=∠C．

證明：將△ABC水平翻轉(zhuǎn)一下，得到△ACB，如圖6．在△ABC與△ACB中，因?yàn)锳B=AC，∠A=∠A，AC=AB，所以△ABC≌△ACB（SAS）.又因∠B和∠C在△ABC與△ACB中是對(duì)應(yīng)角，所以∠B=∠C.

下面證明“邊邊邊”（SSS）．這一證明方法仍用到了“平面圖形可以不改變形狀和大小從一個(gè)位置移動(dòng)到另一個(gè)位置”，并利用了“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”．

已知：如圖7，在△ABC與△A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'.

求證：△ABC≌△A'B'C'．

證明：以下先討論∠BAC和∠ABC均為銳角的情形．

如圖8所示，移動(dòng)△A'B'C'到△ABC之下，因?yàn)锳B=A'B'，所以可將點(diǎn)A，與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B，與點(diǎn)B重合，連接CC'，因∠BAC和∠ABC均為銳角，所以CC’與線段AB的交點(diǎn)O在點(diǎn)A，B之間，因?yàn)锳C=A'C'，BC=B'C'，所以根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等推出∠ACC’=∠A'C'C，∠BCC'=∠B'C'C.進(jìn)而得∠ACB=∠A'C'B'．因此，△ABC≌△A'B'C’（SAS）.

當(dāng)∠BAC和∠ABC中有直角或鈍角時(shí)，線段CC‘與線段AB的交點(diǎn)O是線段AB的端點(diǎn)或在線段AB的延長(zhǎng)線上，對(duì)這些情形，可以作類似的證明．

以上介紹了三角形全等的三個(gè)基本判定條件的證明，一般初中數(shù)學(xué)教科書中對(duì)它們未作證明，是降低難度的簡(jiǎn)化處理方式，對(duì)同學(xué)們的基本要求是掌握這三個(gè)判定條件，會(huì)用它們判定三角形全等．更進(jìn)一步的要求，是能以它們?yōu)榛A(chǔ)，推導(dǎo)出三角形全等的另一些判定條件，如“角角邊”（AAS）、“斜邊、直角邊”（HL）等．

關(guān)于全等三角形的問題各色各樣，但萬變不離其宗，下面給出一個(gè)構(gòu)造全等三角形解決問題的例子．

例 如圖9，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AB的中點(diǎn)．AE⊥CD，垂足為點(diǎn)F，AE交BC于點(diǎn)E．問：∠ACD與∠BDE有何關(guān)系？

解：過點(diǎn)B作AB的垂線BG.作AE的延長(zhǎng)線，它與BG相交于點(diǎn)C．因?yàn)椤螧AC=90°，所以∠ACD與∠ADC互余．又AE⊥CD，所以∠ADC與∠BAC互余，因此，∠ACD=∠BAG．在△CAD和△ABG中，∠CAD=90°=∠ABG，∠ACD=∠BAG，AC=AB，所以△CAD≌△ABG （ASA） ，AD=BG.又AD=BD.所以BD=BC.在△BDE和△BGE中，因?yàn)椤螪BE=45°（它是等腰Rt△ABC的一個(gè)銳角），所以∠DBE=∠GBE.又BD=BG，BE=BE，所以△BDE≌△BGE（SAS），∠BDE=∠G.因?yàn)椤螧AC與∠G互余，所以∠BAG與∠BDE互余，又∠ACD=∠BAG．所以∠ACD與∠BDE互余．

回顧：上例的解法中構(gòu)造了△ABG．由此產(chǎn)生了兩組全等三角形，即△CAD≌△ABG，△BDE≌△BGE.這一解法看似有些難以想出，其實(shí)只要合理思考便會(huì)自然形成，題目中∠ACD與∠ADC互余是容易看出的關(guān)系，而∠ADC與∠BDE相等是符合圖形的合理猜想，因此應(yīng)設(shè)法證明這一猜想．構(gòu)造全等三角形是證明兩角相等的常用方法，結(jié)合本題的已知條件，便容易想到如何添加輔助線了．