摘要：涉及雙變元代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，命題設(shè)置場景豐富多彩，變化多樣，可以有效考查考生的“四基”與“四能”，成為高考數(shù)學(xué)命題中比較常見的一類基本考查類型.借助一道模擬題中最值的設(shè)置，通過函數(shù)、不等式等場景巧妙創(chuàng)設(shè)，借助變量最值的求解，從不同思維視角切入，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，進(jìn)行“一題多解”，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；最值；基本不等式；換元

涉及雙變元代數(shù)式的最值（或范圍）問題，是基于不等式、函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識，以更加豐富多彩的應(yīng)用場景來創(chuàng)設(shè)，進(jìn)而來合理確定相應(yīng)的代數(shù)式的最值（或范圍）.此類問題往往交匯與整合不等式、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等相關(guān)的基礎(chǔ)知識，借助合理的邏輯推理以及正確的數(shù)學(xué)運算等來達(dá)到考查與應(yīng)用的目的，一直備受關(guān)注，成為各類數(shù)學(xué)試卷命題中的一個重點與熱點問題.

1 問題呈現(xiàn)

問題 設(shè)函數(shù)f（x）=x3－x，任意正實數(shù)a，b滿足f（a）+f（b）=－2b，若a2+μb2≤1，則實數(shù)μ的最大值為______.

此題以三次函數(shù)為問題背景，利用滿足條件的函數(shù)關(guān)系式所構(gòu)建的方程來創(chuàng)設(shè)條件，結(jié)合含參不等式恒成立，進(jìn)而來確定對應(yīng)參數(shù)的最值問題.借助三次函數(shù)背景正確構(gòu)建雙變元a，b之間滿足的條件關(guān)系，并分離參數(shù)構(gòu)建相應(yīng)參數(shù)所滿足的不等式，其實質(zhì)還是雙變元代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題.

結(jié)合問題的場景與應(yīng)用，合理通過含參不等式的恒等變換與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而構(gòu)建對應(yīng)的雙變元代數(shù)式，從配湊思維、比值換元思維以及三角換元思維等方式切入，利用基本不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、二次方程有根的判別式法等技巧方法來應(yīng)用，挖掘問題的實質(zhì)，開拓問題的解題思路，實現(xiàn)問題的突破與解決.

點評：三角換元思維往往是對于一些具有特殊關(guān)系的雙變元代數(shù)式關(guān)系應(yīng)用的一種換元思維與技巧方法，引入三角變量，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，進(jìn)而利用三角函數(shù)及其相關(guān)知識來確定代數(shù)式的最值（或范圍），也是解決雙變元代數(shù)式的最值（或范圍）問題中比較常用的一種技巧思維.三角換元應(yīng)用中要注意換元的目標(biāo)，以及換元中角的取值限制等條件，綜合利用三角恒等變換公式，并借助三角函數(shù)的有界性等來分析與應(yīng)用.

3 變式拓展

涉及此類基于函數(shù)場景下雙變元代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，創(chuàng)設(shè)場景精彩多變，技巧應(yīng)用方式多樣，合理變式拓展，綜合創(chuàng)新應(yīng)用.

變式 已知函數(shù)f（x）=x3+ex－e-x+1，若實數(shù)a，b滿足f（3a2－3）+f（b2－1）=2，則a2+b2的最大值為______.（3）

4 教學(xué)啟示

函數(shù)與方程、不等式等場景條件下的雙變量代數(shù)式的最值（或范圍）及其綜合應(yīng)用問題等，是巧妙融合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，交匯函數(shù)與方程，利用不等式等綜合知識的一個基本考點.此類問題難度往往都比較大，很好地融合函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，以雙變量代數(shù)式的最值（或范圍）的求法與應(yīng)用為場景，融入其他一些相關(guān)的知識與應(yīng)用，成為高考考查的一個基本方向與命題趨勢，在課堂教學(xué)與復(fù)習(xí)備考過程中要加以重視.

基于此，在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下，依托一些“在知識點交匯處命題”的創(chuàng)新設(shè)置與綜合應(yīng)用，全面考查考生數(shù)學(xué)“四基”與“四能”等方面的落實情況，充分體現(xiàn)高考數(shù)學(xué)試題更加注重數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面的滲透與考查，更加關(guān)注數(shù)學(xué)中的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.