摘要：本文旨在優(yōu)化數(shù)學(xué)分層作業(yè)設(shè)計(jì)研究中作業(yè)分層依據(jù)，注重學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.采用德爾菲法確定作業(yè)分層指標(biāo)體系為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、問題情境、知識含量、推理能力、運(yùn)算水平、閱讀量等6大因素，并確定18項(xiàng)二級指標(biāo).利用層次分析法獲得各級指標(biāo)的權(quán)重，構(gòu)建作業(yè)分層指標(biāo)體系，為高中數(shù)學(xué)教師進(jìn)行分層作業(yè)設(shè)計(jì)提供作業(yè)分層的參考依據(jù).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；作業(yè)分層；綜合難度系數(shù)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的［1］.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求，要深入到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié).武麗莎等［2］教授表明，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的本源是數(shù)學(xué)知識，本旨是問題解決，本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維.課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)知識生成的主要環(huán)節(jié)，作業(yè)是數(shù)學(xué)問題解決和數(shù)學(xué)思維發(fā)展的主要環(huán)節(jié).因此，如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融入作業(yè)設(shè)計(jì)是一個(gè)重要的研究問題.而分層作業(yè)設(shè)計(jì)基于因材施教原則，從學(xué)生實(shí)際情況出發(fā)，促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展.到目前為止，有許多學(xué)者對數(shù)學(xué)分層作業(yè)設(shè)計(jì)進(jìn)行研究和實(shí)踐，但研究中的重點(diǎn)作業(yè)分層還有待優(yōu)化.基于此，本文探究在指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)分層作業(yè)設(shè)計(jì)中如何進(jìn)行作業(yè)分層.

1 作業(yè)分層指標(biāo)選取

指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)分層作業(yè)設(shè)計(jì)中作業(yè)分層需要綜合考慮數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和影響數(shù)學(xué)作業(yè)難度的因素.喻平［3］教授根據(jù)布盧姆模型、PISA模型和SOLO模型，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分成知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三種水平.所以，本文中將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為作業(yè)分層的其中一個(gè)一級指標(biāo)，并將知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新作為其二級指標(biāo).

關(guān)于影響作業(yè)難度的因素，鮑建生［4］教授根據(jù)Nahara的總體難度概念提出了綜合難度系數(shù)模型，認(rèn)為影響數(shù)學(xué)題難度的主要因素有探究、背景、運(yùn)算、推理和知識含量；盧建川、武小鵬、薛歡等提出影響數(shù)學(xué)試題難度的還有數(shù)學(xué)認(rèn)知、是否含參、思維方向、條件含量和閱讀量等因素.由文獻(xiàn)分析可知，背景、知識含量、推理、運(yùn)算和閱讀量等是影響數(shù)學(xué)作業(yè)難度的主要因素.

背景實(shí)際上是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的情境，主要是指現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境［1］.因此，本文中將問題情境納入作業(yè)分層的一級指標(biāo)，并將數(shù)學(xué)情境、現(xiàn)實(shí)情境和科學(xué)情境作為其二級指標(biāo).

對于知識含量，在核心素養(yǎng)的研究中，喻平［5］提出學(xué)習(xí)的結(jié)果是形成個(gè)體知識，個(gè)體知識是學(xué)科關(guān)鍵能力生成的基礎(chǔ).不同的知識對應(yīng)不同的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在一個(gè)知識的學(xué)習(xí)中無法發(fā)展六種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而知識的綜合應(yīng)用體現(xiàn)著核心素養(yǎng)的綜合發(fā)展.本文中將知識含量納入作業(yè)分層的一級指標(biāo)，并將單個(gè)知識、兩個(gè)知識和多個(gè)知識作為其二級指標(biāo).

周雪兵［6］提出邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是人們在數(shù)學(xué)活動中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì).史寧中教授將“數(shù)學(xué)的思維”歸結(jié)為邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.邏輯推理是從一些前提或事實(shí)出發(fā)，依據(jù)一定規(guī)則得到或驗(yàn)證命題的思維過程［7］.邏輯推理形成了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性這一基本特征.本文中將推理能力納入作業(yè)分層的一級指標(biāo)，并將簡單推理和復(fù)雜推理作為其二級指標(biāo).

作業(yè)難度因素中的運(yùn)算，史寧中表明數(shù)學(xué)運(yùn)算屬于邏輯推理，但數(shù)學(xué)運(yùn)算非常重要，因此將其作為核心素養(yǎng)的一個(gè)要素提出.本文中將運(yùn)算水平納入作業(yè)分層的一級指標(biāo)，并將簡單數(shù)值運(yùn)算、復(fù)雜數(shù)值運(yùn)算、簡單符號運(yùn)算和復(fù)雜符號運(yùn)算作為其二級指標(biāo).

閱讀量強(qiáng)調(diào)學(xué)生閱讀能力，由于數(shù)學(xué)符號語言的抽象性特點(diǎn)，學(xué)生在數(shù)學(xué)閱讀中需要進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換，從而使客觀知識轉(zhuǎn)化為個(gè)人知識.王旭勤［8］提出閱讀能力能夠提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探究能力，逐步發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文中將閱讀量納入作業(yè)分層的一級指標(biāo)，并將閱讀量的少量、中等和大量作為其二級指標(biāo).

2 作業(yè)分層指標(biāo)確定

根據(jù)上述分析，初步設(shè)定指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)作業(yè)分層一級指標(biāo)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、問題情境、知識含量、推理能力、運(yùn)算水平和閱讀量6項(xiàng)，以及相應(yīng)的18項(xiàng)二級指標(biāo).

本文中采用德爾菲法，選取高校相關(guān)研究領(lǐng)域?qū)＜?名，資深高中數(shù)學(xué)教師8名，總共15名，展開問卷調(diào)查.根據(jù)問卷數(shù)據(jù)，計(jì)算每一項(xiàng)指標(biāo)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)，根據(jù)專家提出的修改意見，對指標(biāo)進(jìn)行進(jìn)一步檢驗(yàn)和修改，最后確定作業(yè)分層指標(biāo)體系，具體如表1所示.

3 作業(yè)分層指標(biāo)權(quán)重

指標(biāo)體系中各項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重，反映其在指標(biāo)體系中的地位、作用和重要程度.在上述確定的作業(yè)分層指標(biāo)體系的基礎(chǔ)上，借助層次分析法獲取作業(yè)分層指標(biāo)體系中各項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重.具體步驟如下：

（1）建立指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)作業(yè)分層指標(biāo)體系遞階層次結(jié)構(gòu)模型，設(shè)定目標(biāo)層為指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)作業(yè)分層，準(zhǔn)則層為6項(xiàng)一級指標(biāo)，方案層為18項(xiàng)二級指標(biāo).

（2）采用9點(diǎn)法，設(shè)置指標(biāo)評分標(biāo)度，專家根據(jù)指標(biāo)重要程度標(biāo)度值對指標(biāo)進(jìn)行打分，取15位專家評分均值作為指標(biāo)評分值，構(gòu)建兩兩比較判斷矩陣.

（3）將判斷矩陣進(jìn)行層次歸一化，計(jì)算各判斷矩陣的權(quán)重向量.

①判斷矩陣每一列歸一化：bij=aij∑ni=1aij，其中aij表示判斷矩陣的第i行，第j列的值；

②歸一化后的矩陣按行求和：Vi=∑nj=1bij，其中bij表示判斷矩陣第i行，第j列歸一化后所得值；

③求和后的矩陣歸一化，得到權(quán)重向量：Wi=Vi∑ni=1Vi，其中Vi表示歸一化的矩陣第i行求和后的值，Wi表示權(quán)重向量第i行的值.

（4）計(jì)算出各指標(biāo)權(quán)重向量值后，對歸一化的矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn).

①計(jì)算矩陣特征根λmax，λmax=∑ni=1（AW）inWi，其中n是指標(biāo)數(shù)，A是判斷矩陣，W是權(quán)重向量，（AW）i是向量AW第i個(gè)元素.

②計(jì)算隨機(jī)一致性比值CR，CI=λmax－nn－1，CR=CIRI，n是指標(biāo)數(shù)，λmax是矩陣特征根.根據(jù)隨機(jī)一致性比例系數(shù)取值參考表，對所有一級指標(biāo)和二級指標(biāo)矩陣進(jìn)行檢驗(yàn)，若得到構(gòu)建的指標(biāo)權(quán)重矩陣CR<0.1，則說明具有一致性，指標(biāo)權(quán)重可用.

最后得到作業(yè)分層指標(biāo)體系中各一級指標(biāo)和二級指標(biāo)的權(quán)重值，具體如表2所示.

對于給定的一道作業(yè)題，利用本表即可查得該題的難度系數(shù)，具體計(jì)算公式如下：本題的難度系數(shù)等于各一級指標(biāo)對應(yīng)本題某個(gè)二級指標(biāo)的組合權(quán)重之和.

4 案例分析

根據(jù)上述確定的作業(yè)分層指標(biāo)體系表2及計(jì)算公式，教師或教研組對數(shù)學(xué)課后作業(yè)進(jìn)行分題型分層設(shè)計(jì)，根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，設(shè)定層次綜合難度.下面以2019人教A版高中數(shù)學(xué)教材必修一第4章“函數(shù)模型的應(yīng)用”的習(xí)題中指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用題為例，具體說明指標(biāo)體系的使用方法.

例 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表3所示：

根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性平均體重y （單位：kg）與身高x （單位：cm）的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式.

分析：根據(jù)表格數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，建立函數(shù)模型y=a·bx近似刻畫平均體重y與身高x的函數(shù)關(guān)系，用待定系數(shù)法求解a，b，最后檢驗(yàn)擬合程度.本題屬于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)知識遷移水平，組合權(quán)重為0.088；問題情境為現(xiàn)實(shí)情境，組合權(quán)重為0.046；知識含量為單個(gè)知識，組合權(quán)重為0.025；推理能力為復(fù)雜推理，組合權(quán)重為0.103；運(yùn)算水平為簡單符號運(yùn)算，組合權(quán)重為0.043；閱讀量中等，組合權(quán)重為0.025.對各指標(biāo)組合權(quán)重進(jìn)行求和，得到綜合難度為0.33.

5 結(jié)語

通過本文所構(gòu)建的指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)作業(yè)分層指標(biāo)體系，教師能夠明確數(shù)學(xué)題目的難度系數(shù)，使得分層作業(yè)設(shè)計(jì)中作業(yè)分層更加嚴(yán)謹(jǐn)、客觀.同時(shí)，學(xué)生可以根據(jù)此指標(biāo)體系精準(zhǔn)分析自己的錯(cuò)題，清楚自己學(xué)習(xí)中的不足，從而在后續(xù)的作業(yè)中選擇更加適合自身發(fā)展的作業(yè)，提高學(xué)習(xí)效率.

武小鵬等教授將綜合難度系數(shù)模型應(yīng)用于分析和評價(jià)高考數(shù)學(xué)試卷，而本文基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和綜合難度系數(shù)模型構(gòu)建了指向核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)作業(yè)分層指標(biāo)體系，也可為教師編制學(xué)生階段性學(xué)習(xí)測試卷、高考預(yù)測卷等提供編寫依據(jù)，落實(shí)學(xué)生發(fā)展為本、立德樹人、提升素養(yǎng)的教育理念.

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