doi：10.11835/j.issn.1000-582X.2023.108

摘要：針對某型航空并車機匣的模態(tài)共振問題，考慮航空機架彈性支承剛度，采用有限元法進行典型工況下約束模態(tài)分析，研究了并車薄壁機匣結(jié)構(gòu)參數(shù)對約束模態(tài)固有頻率的影響規(guī)律。結(jié)果表明優(yōu)化支承位置是大幅度改變固有頻率最有效的方式；當(dāng)固有頻率處在共振區(qū)間邊緣時，可通過優(yōu)化壁厚、筋板的方法小幅度調(diào)整。當(dāng)2個支承位置位于機匣平面對稱軸線時，固有頻率最小且隨支承距離減小而減小。隨著薄壁厚度增大，1、3、5、6階模態(tài)頻率減小，2、4階增大。1、3階模態(tài)頻率基本不受筋板參數(shù)的影響；2、4階模態(tài)頻率隨筋板寬度、高度增大和寬高比減小而增大且4階頻率隨筋板角度增大而增大；5、6階模態(tài)頻率隨筋板角度增大、筋板寬度減小而增大。在此基礎(chǔ)上，對彈性并車機匣的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化使固有頻率避開共振區(qū)間，提高了機匣的抗振能力。

關(guān)鍵詞：彈性薄壁機匣；約束模態(tài)；固有頻率；結(jié)構(gòu)優(yōu)化；減振設(shè)計

中圖分類號：TH113.1文獻標(biāo)志碼：A文章編號：1000-582X（2024）09-039-12

Modal analysis and structural parameter optimization of aviation elastic parallel casing

WU Anyang，SONG Chaosheng，ZHAO Shuaitao，DENG Zili

（State Key Laboratory of Mechanical Transmissions，Chongqing University，Chongqing 400044，P.R.China）

Abstract：To solve the resonance problem of an aviation parallel casing，the finite element method is used to analyze the constrained modal frequencies，considering typical working conditions and the elastic support stiffness of the aircraft frame.This study investigates the influence of casing structural parameters on the constrained modal frequencies.The results show that optimizing the constraint position is the most effective way to significantly change the natural frequencies.When the natural frequency is at the edge of the resonance intervals，it can be adjusted slightly by optimizing the wall thickness and stiffener parameters.When the two constraint positions are located on the symmetry axis of the casing plane，the natural frequencies reach their minimum and decrease obviously with a reduction in the constraint distance.With an increase of the thin-wall thickness，the 1st，3rd，5th and 6th modal frequencies decrease，while the 2nd and 4th modal frequencies increase.The 1st and 3rd modal frequencies are almost unaffected by the stiffener parameters.The 2nd and 4th modal frequencies increase with the increasing width and height of the stiffener and decreasing stiffener aspect ratio.In addition，the 4th modal frequency increases with the increasing angle of the stiffener.The 5th and 6th modal frequencies increase with an increasing stiffener angle and decreasing stiffener width.Based on these findings，the aviation elastic parallelcasing was optimized to ensure the natural frequencies avoid the resonance intervals，thus improving the vibration resistance of the casing.

Keywords：elastic thin-walled casing;constrained modal;natural frequencies;structural optimization;vibration reduction design

彈性并車機匣是航空動力傳動系統(tǒng)的關(guān)鍵部件，多采用薄壁分布筋式結(jié)構(gòu)，內(nèi)部的傳動部件均靠其提供約束定位，如圖1所示。其內(nèi)部具有多對齒輪嚙合，可進行功率分流，但是多級傳動使得傳動系統(tǒng)工作頻率區(qū)域?qū)挿?，極易與機匣固有頻率重疊引發(fā)共振。長時間的振動會導(dǎo)致高速傳動系統(tǒng)承受劇烈沖擊，同時會加速機匣關(guān)鍵部件疲勞失效，給航空飛行器帶來極大的安全隱患。因此，研究彈性并車機匣結(jié)構(gòu)參數(shù)對約束模態(tài)固有頻率的影響規(guī)律，合理避開共振區(qū)間，降低事故概率，對航空彈性薄壁機匣的調(diào)頻減振優(yōu)化設(shè)計具有重要意義。

國內(nèi)外對于固有頻率特性、結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計及2者之間的關(guān)系進行了大量研究。肖正明等[3]研究了盾構(gòu)機多級行星減速器箱體低階自由模態(tài)固有頻率及相應(yīng)振型，為其結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供理論依據(jù)。秦訓(xùn)鵬等[4]運用近似靈敏度計算獲取了車門的高敏面板，以篩選出的板厚為設(shè)計變量使車門模態(tài)頻率優(yōu)化更有針對性。吳宏春等[5]開展了航空機匣彈性支承邊界模擬和結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析研究，實現(xiàn)了機匣任意邊界支撐剛度的有效模擬。汪利洋[6]建立基于航空附件機匣固定約束模態(tài)性能和瞬態(tài)性能的多目標(biāo)尺寸優(yōu)化模型，研究箱體壁厚及加強筋尺寸對箱體動態(tài)特性的影響規(guī)律。Wiedemann[7]提供了任意運動學(xué)或動力學(xué)邊界條件下任意歐拉-伯努利梁系統(tǒng)的本征頻率和模態(tài)振型的計算方法。Liu等[8]基于Zernike矩變換，將航空發(fā)動機機匣結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型分解為一系列Zernike多項式的線性組合。Kumar等[9]利用4種不同的材料研究了力學(xué)性能對基于固定約束的重型車輛變速箱固有頻率和振型的影響。Wang等[10]通過加質(zhì)量點的建模方法模擬鋸床變速箱的模態(tài)參數(shù)，確定了該參數(shù)計算模態(tài)與運行模態(tài)分析有很好的相關(guān)性，可用于變速箱的優(yōu)化驗證。Bartilson等[11]證明了對稱結(jié)構(gòu)中對稱參數(shù)對固有頻率的影響是相等的，而對振型的影響是嚴(yán)格不相等的。Saglik等[12]對影響加腋工字梁組合橋的固有頻率的各種參數(shù)進行了解析和數(shù)值研究。Seba等[13]利用開發(fā)的ANN模型證實復(fù)合材料板的力學(xué)和幾何性能的變化對固有頻率有影響。Kim等[14]提出了一種綜合拓?fù)鋬?yōu)化和形狀優(yōu)化來確定固有頻率提高的最優(yōu)鋼輪。Shahgholian-Ghahfarokhi等[15]研究了肋骨厚度、肋骨數(shù)量和邊界條件等對圓柱殼體固有頻率的影響。Chaudhuri等[16]進行了基于田口方法的穿孔加筋板固有頻率優(yōu)化，分析確定寬度與厚度比值是最重要的因素。

綜上，當(dāng)前研究主要分析了薄板、柱狀殼體、箱體等的自由模態(tài)和安裝面剛性固定的約束模態(tài)，而對諸如并車機匣等狹長狀薄壁機匣的研究較少且未考慮彈性支承。基于并車機匣在航空飛行器中應(yīng)用廣泛，而其振動模態(tài)研究相對空缺的現(xiàn)狀，筆者以某型航空并車機匣為研究對象，結(jié)合實際巡航工況及航空機架彈性支承剛度，建立了彈性并車機匣有限元模型。首先計算了彈性支承下的模態(tài)頻率與振型，查找共振風(fēng)險，進而研究了相關(guān)文獻[12-16]中部分結(jié)構(gòu)參數(shù)對航空并車機匣約束模態(tài)固有頻率的影響規(guī)律，對該型航空機匣進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，避開了共振區(qū)間，為此類航空機匣的調(diào)頻減振設(shè)計提供參考。

1彈性并車機匣計算分析模型

1.1模態(tài)分析理論

該型航空飛行器并車子系統(tǒng)三維實體如圖2所示，傳動系統(tǒng)集成于彈性薄壁機匣內(nèi)部。機匣主體由通過邊緣螺栓副組預(yù)緊連接的機匣A、B構(gòu)成，2支承面分別通過人字形連接器連接于飛行器機架，由機架提供支承剛度。并車子系統(tǒng)工作時，功率由輸入軸流入傳動系統(tǒng)，分別從輸出軸、并車軸流出。

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，建立彈性機匣振動系統(tǒng)的動力學(xué)方程式為

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；x為位移向量；為速度向量；x（…）為加速度向量；F為激振力矩陣。

模態(tài)是系統(tǒng)的固有特性，與外部載荷無關(guān)，考慮到阻尼對機匣頻率和振型的影響不大，得到無阻尼自由振動方程為

系統(tǒng)的主振型振動是簡諧振動，有

式中：?為振型向量；ω為固有頻率；t為時間。

式（3）對t求一階、二階導(dǎo)，代入式（2）得：

式（4）未考慮機匣的約束條件，求解前應(yīng)添加彈性支承。彈性支承和機匣結(jié)構(gòu)的優(yōu)化會引起剛度擾動及質(zhì)量波動，從而改變固有頻率，式（4）變?yōu)?/p>

式中：Δω2為固有頻率平方變化量；ΔM為質(zhì)量波動量；ΔK為剛度擾動量。

令ω2+Δω2=ω'2=λ'，M+ΔM=M'，K+ΔK=K'，有：

?是非零向量，對式（6）求解得

展開行列式，可解出特征值λ'i（i=1～n），從而求得固有頻率ω'i。

此外聯(lián)立（4）和（5），得優(yōu)化前后固有頻率平方變化率ε為

因此，機匣模型結(jié)構(gòu)優(yōu)化引起的相同振型固有頻率平方變化率的大小與剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣M及兩者變化量ΔK、ΔM有關(guān)；航空傳動系統(tǒng)重量要求嚴(yán)格，ΔM不宜過大。

1.2彈性支承剛度計算

機匣通過人字形連接器安裝至機架，需要分別求得人字形連接器剛度Ka、機架剛度Kb再進行串聯(lián)耦合得到等效剛度Ktotal。

利用ANSYS-Workbench分別求解彈性支承剛度Ka、Kb，如圖3所示。

在2個算例中，分別約束人字形連接器機架端、機架安裝位，分別在人字形連接器機匣端、機架支承位施加載荷Fγ、Tγ，提取載荷處節(jié)點平均位移dγ，γ為坐標(biāo)方向，并根據(jù)dγ兩兩矢量和求得節(jié)點平均垂向位移hγ。

根據(jù)以下公式計算平動剛度KF、扭轉(zhuǎn)剛度KT，其中Lγ為加載處到約束處的垂向距離。

結(jié)果代入式（9）得等效剛度平動方向數(shù)量級10 000 N/mm，扭轉(zhuǎn)方向數(shù)量級1 000 N·m/（°）。

1.3機匣有限元分析計算

將機匣模型進行簡化處理，如圖4所示，有限元模態(tài)計算采用軟件ANSYS-Workbench。對于機匣邊界非剛性聯(lián)接的力學(xué)模型，可以歸結(jié)為彈性地基上的薄壁機匣動力學(xué)分析問題，即彈性支承邊界用具由等效剛度的彈簧進行模擬，彈簧兩端分別與機匣、大地相連；在Workbench中采用Joints-Body-Ground-Bushing單元實現(xiàn)，平動剛度設(shè)置10 000 N/mm，扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)置1 000 N·m/（°），因不考慮阻尼，阻尼系數(shù)均設(shè)為0。模型材料屬性設(shè)置如表1所示，網(wǎng)格劃分采用適應(yīng)復(fù)雜特征的Patch-Conforming四面體網(wǎng)格，接觸副①②③④采用Bonded連接（實際情況下接觸副②應(yīng)考慮采用Frictional contact，但隨著螺栓預(yù)緊力的增大，結(jié)構(gòu)模態(tài)會趨于剛性連接[17]，由于考慮航空機匣提供足額的預(yù)緊力以及計算成本問題，故本次計算均采用Bonded連接）。

航空飛行器機匣材料多采用鋁合金、鈦合金、鋼材。該型航空并車子系統(tǒng)彈性薄壁機匣采用高強度鋁合金7075-T6。

求解機匣前6階固有頻率、振型，如圖5所示。為直觀展示振動變形，將變形前后云圖進行對比，發(fā)現(xiàn)1、3、5、6階模態(tài)振型均出現(xiàn)較大的偏移扭轉(zhuǎn)，2、4階主要表現(xiàn)為平動。1階模態(tài)振型變形量從支承面連接線呈平行梯度遞增，表現(xiàn)為Z平動、RX轉(zhuǎn)動；2、3階模態(tài)振型變形量均從下支承面附近區(qū)域呈圓周梯度遞增，表現(xiàn)為2階—Y、Z平動，3階—RX轉(zhuǎn)動；4階模態(tài)振型變形量從上下2個支承面呈圓周梯度遞增，表現(xiàn)為X平動；5、6階模態(tài)振型由于機匣功率輸入端質(zhì)量剛度較并車輸出端大，變形量沿著功率流方向呈梯度增大，表現(xiàn)為5階—Y、Z、RX、RY、RZ和6階—Y、Z、RY、RZ。

并車子系統(tǒng)彈性薄壁機匣內(nèi)部傳動系統(tǒng)如圖6所示。正常巡航工況下，功率從輸入軸流入，從輸出軸流出，并車子系統(tǒng)空載。當(dāng)航空飛行器兩側(cè)發(fā)動機出現(xiàn)轉(zhuǎn)速差時，一部分功率從輸出軸流出用于驅(qū)動旋翼，另一部分經(jīng)多級嚙合從并車軸輸出用于平衡轉(zhuǎn)速差。

根據(jù)轉(zhuǎn)頻f 1=60（n）、嚙合頻率f2=60（nz），求解傳動系統(tǒng)工作頻率，即潛在激勵頻率。由于嚙合頻率7 000 Hz遠(yuǎn)大于固有頻率，故給出共振風(fēng)險區(qū)間（0.85f 1，1.15f 1），如表2所示。

機匣固有頻率與共振風(fēng)險區(qū)間相對位置，如圖7所示，共振區(qū)間為[61，107]U[123，168]。由于激勵頻率方向為RZ，著重關(guān)注機匣繞Z軸的旋轉(zhuǎn)振型，即繞Z軸單階有效質(zhì)量占比大的階次。第6階模態(tài)單階有效質(zhì)量占比最大，說明其繞Z軸旋轉(zhuǎn)振型最明顯；累計有效質(zhì)量占比曲線在前6階遞增至0.99后在第7階保持平穩(wěn)，說明前6階模態(tài)繞Z軸旋轉(zhuǎn)振型查找充足；3、4、5、6階固有頻率均落在機匣共振風(fēng)險區(qū)間，表明機匣共振風(fēng)險較大。

基于典型工況下的工作頻率和彈性薄壁機匣有限元計算模型模態(tài)頻率、振型對比分析，給出圖8所示的彈性薄壁機匣結(jié)構(gòu)參數(shù)化模態(tài)分析優(yōu)化流程。

2彈性并車機匣結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率的影響

基于上述計算，發(fā)現(xiàn)彈性薄壁機匣共振風(fēng)險較大，通過改變機匣支承位置、機匣壁厚t、機匣筋板幾何尺寸3個結(jié)構(gòu)參數(shù)，如圖9所示，對彈性薄壁機匣進行模態(tài)分析，并依次提取約束模態(tài)前6階固有頻率，從而探究彈性薄壁機匣結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率的影響。其中機匣支承位置包括支承方式、支承距離l，支承方式包括A-D、A-E、A-F、B-E、B-F五種支承（注：對稱支承方式只取其一，如A-F與C-D）；機匣筋板幾何尺寸參數(shù)包括筋板角度θ、筋板寬度w、筋板高度h以及筋板相同截面積s下不同寬高比μ，μ=w/h=w2/s。

2.1支承位置對固有頻率的影響分析

圖10為支承方式對彈性薄壁機匣前6階約束模態(tài)頻率的影響。從圖中可以看出，第1階約束模態(tài)頻率中B-E支承最大，A-F支承最?。坏?、3、4階約束模態(tài)頻率中A-F支承最大，B-E支承最??；第5、6階約束模態(tài)頻率中A-D支承最大，B-E支承最小。不同的支承方式存在模態(tài)頻率差異性，原因是支承方式的變化會改變彈性薄壁機匣狹長平面剛度分布，即產(chǎn)生剛度擾動量ΔK，且ΔK主要改變參與2、3、5、6階模態(tài)頻率的有效剛度。由上述計算知，當(dāng)通過調(diào)小3、4、5、6階模態(tài)頻率來避開共振區(qū)間時，可優(yōu)先考慮B-E支承。

改變支承距離l，進行約束模態(tài)分析，得到前6階固有頻率的變化規(guī)律，如圖11所示。隨著支承距離減小，前6階模態(tài)頻率均呈現(xiàn)減小的趨勢，當(dāng)支承距離l從750 mm減小到150 mm，前6階模態(tài)頻率分別減小16.4%、58.9%、64.4%、31.1%、22.5%、24.2%。彈性薄壁機匣支承距離對約束模態(tài)固有頻率影響較大，這是由于支承距離減小使2個彈性支承附近的機匣大剛度區(qū)域重疊面積變大，導(dǎo)致彈性薄壁機匣狹長薄壁平面剛度分布不均勻性增加、節(jié)點平均剛度降低。

因此，支承位置對彈性薄壁機匣約束模態(tài)固有頻率影響較大，在設(shè)計階段，合理考慮應(yīng)力變形設(shè)計，改變支承方式，減小支承距離，可以有效降低固有頻率。

2.2機匣壁厚對固有頻率的影響分析

改變彈性薄壁機匣薄壁厚度t，進行約束模態(tài)分析，得到前6階固有頻率的變化規(guī)律，如圖12所示。

可以看出，隨著彈性薄壁機匣薄壁厚度增大，2、4階模態(tài)頻率分別增大了29.0%和20.8%，1、3、5、6階模態(tài)頻率分別減小了11.2%、11.9%、16.9%、12.4%。壁厚增加會引起質(zhì)量波動量ΔM和剛度擾動量ΔK，當(dāng)ΔK的正相關(guān)大于ΔM的負(fù)相關(guān)時，固有頻率平方變化率ε>0，模態(tài)頻率呈增大趨勢。由于2、4階模態(tài)主要表現(xiàn)為平動，說明壁厚增大所產(chǎn)生的ΔK主要改變參與平動振型對應(yīng)模態(tài)的有效剛度。

2.3機匣筋板幾何尺寸對固有頻率的影響分析

改變筋板角度θ，進行約束模態(tài)分析，得到前6階固有頻率的變化規(guī)律，如圖13所示。

可以看出，隨著彈性薄壁機匣筋板角度增加，1、3階固有頻率基本不變；2階固有頻率先減小再增大且在筋板角度為45°時最??；4階固有頻率逐漸增大且受影響程度最明顯，增加20.6%；5、6階固有頻率變化趨勢相同，均為先增大后不變。

改變筋板寬度w、高度h，分別進行約束模態(tài)分析，得到前6階固有頻率的變化規(guī)律，如圖14～15所示。

隨著彈性薄壁機匣筋板寬度增加，1、3階固有頻率基本不變；2、4階固有頻率逐漸增大，分別增加18.4%、17.1%；5、6階固有頻率逐漸減小，分別減小4.4%、3.8%。

隨著彈性薄壁機匣筋板高度增加，1、3階固有頻率先增大后不變，分別增加5.1%、30.9%；2、4階固有頻率先不變后增大，分別增加38.4%、23.1%；1、2階和3、4階固有頻率轉(zhuǎn)折點分別為高度5.0 mm、12.5 mm，表明1、2階頻率變化規(guī)律的單調(diào)性較3、4階強；5、6階固有頻率逐漸減小，分別減小4.1%、1.6%。

為減小質(zhì)量波動量ΔM對固有頻率的影響，在筋板截面尺寸為200 mm2的基礎(chǔ)上，改變筋板截面寬高比μ，進行約束模態(tài)分析，得到前6階固有頻率的變化規(guī)律，如圖16所示。

可以看出，隨著彈性薄壁機匣筋板截面寬高比的增加，1、3、5階模態(tài)頻率不受其影響；2、4、6階模態(tài)頻率逐漸減小，分別減小了14.1%、18.1%、2.3%。這是由于隨著彈性薄壁機匣筋板截面寬高比的增加，ΔK<0且主要是減小參與2、4、6階約束模態(tài)頻率的有效剛度。

3彈性并車機匣結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

由式（8）可知，結(jié)構(gòu)的固有頻率的變化量只與剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣M及兩者變化量ΔK、ΔM有關(guān)，其他因素都是通過改變上述因子來影響結(jié)構(gòu)固有頻率。由圖7知，3、4、5、6階固有頻率均落在機匣共振風(fēng)險區(qū)間，可以通過增大或減小這4階固有頻率來避開共振區(qū)間。根據(jù)第2節(jié)分析：改變支承位置是大幅度改變結(jié)構(gòu)固有頻率最有效的方式；當(dāng)固有頻率處在共振區(qū)間邊緣時，可改變壁厚和筋板做小幅度調(diào)整。

在原模型中已采用較大支承距離的單側(cè)A-D約束，由圖10～11可知該支承位置已使5、6階固有頻率達(dá)到最大，只能通過減小機匣薄壁厚度、筋板寬度或增加筋板角度來提升固有頻率，但都不足以突破機匣共振區(qū)間，且很容易導(dǎo)致2階固有頻率增大至機匣共振風(fēng)險區(qū)間?？紤]到航空飛行器并車機匣的工況并不惡劣，應(yīng)力變形都很小，可通過降低固有頻率的方法將3、4階降至61 Hz以下，5、6階頻率降至107～123 Hz，即先優(yōu)化支承位置適當(dāng)降低固有頻率，再依次改進筋板和壁厚以微調(diào)固有頻率，直至完全避開共振區(qū)間。結(jié)合圖8，并車機匣在優(yōu)化支承位置和筋板后即避開了共振區(qū)間，故無需再更新壁厚，改進前后參數(shù)如表3所示。

將優(yōu)化后的模型再次求解并將前后固有頻率進行對比，1階模態(tài)頻率增大27.2%，2、3、4、5、6階分別減小35.7%、17.7%、41.1%、14.8%、20.4%，完全避開了機匣共振風(fēng)險區(qū)間（圖17）。

4結(jié)論

1）以某型航空飛行器并車子系統(tǒng)彈性薄壁機匣為研究對象，考慮航空機架彈性支承剛度，進行典型工況下約束模態(tài)分析，發(fā)現(xiàn)1、3、5、6階模態(tài)振型出現(xiàn)較大的扭轉(zhuǎn)偏移，且3、4、5、6階固有頻率落在共振區(qū)間，因此，研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對約束模態(tài)固有頻率的影響規(guī)律。

2）當(dāng)2個支承位置位于機匣平面對稱軸線時，固有頻率最小且隨支承距離減小而明顯減??；隨著壁厚增大，扭轉(zhuǎn)振型對應(yīng)階次模態(tài)頻率減小，平動振型頻率增大；筋板參數(shù)對平動振型固有頻率的影響較扭轉(zhuǎn)振型更為明顯。

3）優(yōu)化過程中發(fā)現(xiàn)，壁厚和筋板參數(shù)均能使3、4階模態(tài)產(chǎn)生同頻現(xiàn)象，且主要表現(xiàn)為高階向低階貼近；機匣1階振型始終表現(xiàn)為繞支承位置連線的扭轉(zhuǎn)，其固有頻率較小且受結(jié)構(gòu)參數(shù)影響不大，故在設(shè)計階段應(yīng)盡量避免傳動系統(tǒng)在并車處轉(zhuǎn)速過低。

4）通過優(yōu)化支承位置適當(dāng)降低固有頻率，再改進筋板和壁厚微調(diào)固有頻率的優(yōu)化設(shè)計，1階頻率增大27.2%，2、3、4、5、6階頻率分別減小35.7%、17.7%、41.1%、14.8%、20.4%，完全避開了機匣共振風(fēng)險區(qū)間，減小了機匣的共振風(fēng)險。

參考文獻

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（編輯呂建斌）