摘 要：２０２３年重慶高考物理壓軸題延續(xù)之前壓軸題的特點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，思維難度大。第15題的命題起點(diǎn)是高中物理中最基本的兩個(gè)模型。嘗試給出如何從最基本的模型構(gòu)造出難度極大、選拔功能極強(qiáng)的高考壓軸題，為高考備考和模擬題命制提供參考。

關(guān)鍵詞：高考真題；壓軸題；命題策略

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）9-0049-5

２０２３年重慶高考物理卷第 １５ 題，作為全卷的壓軸題，綜合性強(qiáng)，思維難度大，突出體現(xiàn)了對學(xué)生關(guān)鍵能力和綜合素質(zhì)的考查。據(jù)了解，完整解出此題的考生數(shù)量很少，不同能力水平考生的完成度差異明顯，體現(xiàn)出良好的試題區(qū)分度。拆解題目后發(fā)現(xiàn)，本題的核心是兩個(gè)高中物理最基本的模型，高三學(xué)生對這兩個(gè)模型都很熟悉，為什么組合起來就難以完成了呢？本文以此為例嘗試給出如何從最基本的模型構(gòu)造出難度極大、選拔功能極強(qiáng)的高考壓軸題，為高考備考和模擬題命制提供參考。

第一步 根據(jù)考點(diǎn)，選擇基本模型。

本題計(jì)劃構(gòu)造一道帶電粒子在電場和磁場中運(yùn)動的綜合試題，先在電場和磁場中各選擇一個(gè)基本模型。

模型１：帶電粒子（質(zhì)量為ｍ、電荷量為ｑ，重力略去不計(jì)，下同）以垂直于電場的速度ｖ０進(jìn)入勻強(qiáng)電場（場強(qiáng)記為Ｅ）后，做類平拋運(yùn)動，如圖１所示。

由牛頓第二定律，對帶電粒子有

qE=ma（1）

可得帶電粒子運(yùn)動的加速度為

a=（2）

模型２：帶電粒子以垂直于磁場的速度ｖ０進(jìn)入勻強(qiáng)磁場后（磁感應(yīng)強(qiáng)度記為Ｂ），做勻速圓周運(yùn)動，如圖２所示。

圖2 帶電粒子在均強(qiáng)磁場中運(yùn)動

由牛頓第二定律，對帶電粒子有

qv0B=m=mR（3）

可得帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑和周期分別為

R=，T= （4）

第二步 增加變數(shù)，提升模型難度。

增加變數(shù)的方式很多，比如構(gòu)造電場和磁場的邊界，改變帶電粒子的質(zhì)量（同位素）、電荷量（同種元素的不同離子）、初速度（加速條件偏差）等屬性，引入其他受力等。本題主要從兩個(gè)方面增加變數(shù)。

變數(shù)１：讓帶電粒子的初速度大小有不同取值。

變數(shù)２：給電場和磁場各確定一條直線邊界。

如圖３所示，帶電粒子以不同大小的初速度同方向進(jìn)入該勻強(qiáng)電場的直線邊界，由類平拋運(yùn)動的基本規(guī)律可知

β1=β2=β（5）

圖3 不同速度大小的粒子進(jìn)出電場邊界

其中，β的值為

β=arctan（2tanα1）-α1（6）

與粒子的初速度大小無關(guān)。

同時(shí)，考慮到粒子在出電場時(shí)垂直于電場方向的分速度和進(jìn)入電場時(shí)相等，沿電場方向的分速度大于進(jìn)入電場時(shí)的分量，所以

β<α1（7）

如圖４所示，帶電粒子以不同大小的初速度進(jìn)出該勻強(qiáng)磁場的直線邊界，由圓的幾何關(guān)系不難得到

β3=β4=α2（8）

圖4 不同速度大小的粒子進(jìn)出磁場邊界

同樣與粒子的初速度大小無關(guān)。

第三步 構(gòu)造銜接，組合兩個(gè)模型。

構(gòu)造１：讓粒子始終從同一點(diǎn)離開電場進(jìn)入磁場。

兩個(gè)模型都是進(jìn)入磁場的點(diǎn)相同，出射點(diǎn)不同。為了讓它們更好地組合起來，可以將電場里不同的軌跡進(jìn)行平移，讓這些軌跡具有相同的出射點(diǎn)，不同的入射點(diǎn)，如圖５所示。如果粒子多次運(yùn)動過程中，每次都是從同一點(diǎn)離開電場進(jìn)入磁場，那么就可以將這兩個(gè)基本模型銜接在一起了。

圖5 帶電粒子在電場中有共同出射點(diǎn)的軌跡圖

但是，由前文對角度大小的討論可知，若直接將兩個(gè)邊界重合，粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后再次進(jìn)入電場時(shí)速度方向不再垂直于電場，讓后續(xù)運(yùn)動的復(fù)雜程度顯著增加，運(yùn)動過程無法形成周期性，如圖６所示。

圖6 電磁場邊界重合的情形

構(gòu)造２：在兩個(gè)邊界之間增加一個(gè)真空區(qū)域。

由圖7可知，帶電粒子出磁場前一定存在一個(gè)狀態(tài)，其速度方向與電場線垂直，若磁場的邊界正好就在此處，電場和磁場邊界之間的區(qū)域?yàn)檎婵?，那么粒子出磁場后?jīng)歷一段勻速直線運(yùn)動，即可再次以垂直于電場的方向進(jìn)入電場做類平拋運(yùn)動。由類平拋運(yùn)動的規(guī)律可知，只要每次入射方向相同，在電場直線邊界出射的方向就相同，經(jīng)歷磁場中偏轉(zhuǎn)后又以同樣的方向進(jìn)入真空，一段位移后再次以垂直于電場的方向進(jìn)入電場，具備實(shí)現(xiàn)運(yùn)動的周期性的可能。

圖7 電場、磁場邊界不重合的情形

構(gòu)造３：選擇恰當(dāng)?shù)拇鸥袘?yīng)強(qiáng)度，以保證構(gòu)造１成立。

若帶電粒子以垂直于電場的初速度ｖ０進(jìn)入電場，建立如圖８所示的坐標(biāo)系，則

x=v0t（9）

y=at2（10）

圖8 粒子進(jìn)出電場邊界

出電場時(shí)，位移方向正好與電場邊界方向重合，有

tanα= （11）

出電場時(shí)的速度和位移大小分別為

v1=（12）

s=（13）

聯(lián)立以上各式可得

v1=v0（14）

s=（15）

粒子在磁場和真空中運(yùn)動時(shí)速度大小均不變，所以粒子第二次進(jìn)入電場時(shí)速度大小為ｖ０的ｋ倍，由（14）（15）式可知，在電場中第二次運(yùn)動的位移為第一次的ｋ２倍，其中

k=（16）

為了保證粒子從同一點(diǎn)射出電場，需要選擇恰當(dāng)?shù)拇鸥袘?yīng)強(qiáng)度，讓粒子第二次入射點(diǎn)到第一次出射點(diǎn)的距離為第一次在電場中運(yùn)動位移大小的k2倍。

不難發(fā)現(xiàn)，以后每一次粒子進(jìn)入電場的速度都是上一次的ｋ倍，位移都是上一次的k2倍，這要求粒子每次在磁場中運(yùn)動的軌跡半徑為上一次的k2倍?？紤]到粒子每次進(jìn)入磁場的速度為上一次的k倍，由（4）式可知，粒子每次進(jìn)入磁場時(shí)，需要將磁感應(yīng)強(qiáng)度調(diào)整為上一次的倍。由此形成的周期性運(yùn)動如圖９所示（為凸顯軌跡特點(diǎn)，圖中電場和磁場均未畫出，只畫出其邊界）。

圖9 粒子周期性運(yùn)動示意圖

第四步 設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)，形成優(yōu)質(zhì)試題。

設(shè)計(jì)１：隱去顯性條件，增加思維難度。

有界電場的邊界，通常作為帶電粒子運(yùn)動的前提條件，而此題告知粒子每次都從邊界垂直于電場方向進(jìn)入電場，每次都從同一點(diǎn)沿同一方向射出電場，由這些信息來反推電場的邊界信息，從而增大試題的思維難度，更好地考查學(xué)生的物理直覺或靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力。學(xué)生需要具有較強(qiáng)的分析綜合能力，才能尋找到正確的解題路徑?？碱}引導(dǎo)我們在平時(shí)教學(xué)和備考中要注重理解，發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”。題目敘述中要說清楚電場區(qū)域是連續(xù)的，粒子每次進(jìn)入電場到離開電場的整個(gè)過程中是一段完整的類平拋運(yùn)動，不然無法通過分析得到電場的邊界信息。

設(shè)計(jì)２：明確隱含條件，減少過失失誤。

要完成所要求的周期性運(yùn)動，磁場的強(qiáng)弱必須按一定的比值逐次減小，這是題目的一個(gè)重要隱含條件。題目不但指出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可調(diào)，還明確說明磁感應(yīng)強(qiáng)度每次都減小為原來的一半，提醒了題目的隱含條件，有助于學(xué)生分析出粒子運(yùn)動的周期性，也為后續(xù)關(guān)于運(yùn)動時(shí)間的計(jì)算減少了運(yùn)算量。作為優(yōu)質(zhì)試題，不故意通過“陷阱”來為難學(xué)生，反而在關(guān)鍵信息上給出充分提示。

設(shè)計(jì)３：虛構(gòu)理想條件，避免科學(xué)爭議。

題目中的靜電場有一條理想邊界，按題目要求運(yùn)動的粒子每次出電場的速度均為上一次出電場速度的k（k>1）倍，即粒子的動能增加了。對于相鄰兩次出電場的閉合路徑，只有電場力做功，由動能定理可知電場力做功一定大于0，即q·d>0，考慮到其中 ｑ 為常數(shù)，意味著·d>0，這違背了靜電場的環(huán)路定理。２０１５年重慶卷壓軸題曾經(jīng)出現(xiàn)過這個(gè)問題，引起了較多關(guān)于電場理想邊界科學(xué)性的討論。本題再次面臨這種模型，第一句就先聲明這是“某同學(xué)設(shè)計(jì)了一種粒子加速器的理想模型”，那么后續(xù)求解就只能按照題目約定的信息進(jìn)行，至于違背環(huán)路定理那是這種設(shè)計(jì)的不合理之處，不影響在理想假設(shè)的前提下對帶電粒子運(yùn)動情況的討論。這也給教學(xué)中處理類似問題提供了一種思路。

通過以上構(gòu)造，形成最終試題，下面給出真題和最后結(jié)果，供大家參考使用，限于篇幅，解答過程從略。

題目 某同學(xué)設(shè)計(jì)了一種粒子加速器的理想模型。如圖10所示，在 ｘＯｙ 平面內(nèi) ｘ 軸下方充滿垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場。ｘ 軸上方被某邊界分割成兩部分，一部分充滿勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度與 ｙ 軸負(fù)方向成 α 角，另一部分無電場。該邊界與 ｙ 軸交于 Ｍ 點(diǎn)，與 ｘ 軸交于 Ｎ 點(diǎn)。與 ｘ 軸正方向成 α 角斜向下運(yùn)動的帶電粒子才能進(jìn)入磁場。從 Ｍ 點(diǎn)向電場內(nèi)發(fā)射一個(gè)比荷為的帶電粒子 Ａ，其速度大小為 ｖ０，方向與電場方向垂直，僅在電場中運(yùn)動時(shí)間 Ｔ 后從 Ｎ 點(diǎn)進(jìn)入磁場，且通過 Ｎ 點(diǎn)的速度大小為 ２ｖ０。忽略邊界效應(yīng)，不計(jì)粒子重力。

圖10 題目示意圖

（１）求 α 角的大小以及 Ｍ、Ｎ 兩點(diǎn)的電勢差 ＵＭＮ。

（２）在該邊界上任意位置沿垂直于電場強(qiáng)度方向射入的帶電粒子，只要速度大小合適就能通過 Ｎ 點(diǎn)進(jìn)入磁場，求 Ｎ 點(diǎn)的橫坐標(biāo)及電場的邊界方程。

（３）若粒子第一次進(jìn)入磁場時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度為 Ｂ１，之后粒子每次經(jīng)過 Ｎ 點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?。則粒子 Ａ 從 Ｍ 點(diǎn)發(fā)射后，每次加速后均能通過Ｎ點(diǎn)，求 Ｂ１及粒子從 Ａ 發(fā)射到第 ｎ 次通過 Ｎ 點(diǎn)的時(shí)間ｔｎ。

參考答案：

（１）α=，U=

（２）x=，y=-x，（x≤）

（３）B=，

t=（2-1）（2+π）+2）T，（n=1，2，3…）

用同樣的方法，筆者基于帶電粒子在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場這兩個(gè)基本模型，命制了一道高考模擬題，供大家批評指正。

（重慶一中２０２３年５月月考，物理，第１５題）如圖11所示，在邊長分別為Ｌ和２Ｌ的長方形區(qū)域ａｂｃｄ內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為Ｂ。沿ａｂ邊和ｃｄ邊分別放置一塊絕緣彈性板，帶電粒子與彈性板碰撞前后電荷量不變，垂直于彈性板的分速度等大（下轉(zhuǎn)第56頁）（上接第52頁）反向，平行于彈性板的分速度不變。彈性板的長度略小于Ｌ，ａｄ邊和ｂｃ邊沒有任何遮擋，粒子可以從這兩個(gè)邊（包括端點(diǎn)處）自由通過。在ａ處有一粒子源沿ａｄ方向發(fā)出兩個(gè)質(zhì)量同為ｍ、電荷量也相同的帶電粒子甲和乙。甲粒子的初速度為ｖ１，發(fā)出后不與彈性板發(fā)生碰撞，直接從ｃ處離開磁場區(qū)域。乙粒子與兩彈性板各碰撞一次后也從ｃ處離開磁場區(qū)域。不計(jì)兩粒子的重力以及它們之間的作用。

圖11 題目示意圖

（１）求粒子的帶電量ｑ及電性；

（２）求乙粒子的初速度ｖ2和甲粒子初速度ｖ１的比值；

（３）若撤去磁場，在ａｂｃｄ區(qū)域內(nèi)加上沿紙平面且與ａｂ邊平行的勻強(qiáng)電場（圖中未畫出），其他條件均不變。發(fā)現(xiàn)兩粒子從ｂｃ邊上同一點(diǎn)Ｐ（圖中未畫出）離開電場區(qū)域，且甲粒子與彈性板之間有且僅有１次碰撞。求電場強(qiáng)度可能取值中的最大值Ｅ（用Ｂ、ｖ１表示），并分別計(jì)算所有可能情況下Ｐ點(diǎn)與ｂ點(diǎn)的距離Ｄ。

參考答案：

（１）q=，負(fù)電

（２）=

（３）E=Bv，D=L或L或L。

參考文獻(xiàn)：

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（欄目編輯 陳 潔）