摘要：針對(duì)傳統(tǒng)局域共振彈性超材料存在禁帶寬度窄的問題，引入非均勻分布振子設(shè)計(jì)方法，在不改變振子總質(zhì)量的前提下實(shí)現(xiàn)了禁帶拓寬。首先，采用譜元法（SEM）建立通用彈性超材料梁模型，對(duì)單、雙層均勻振子超材料梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳遞特性進(jìn)行分析；然后，保持振子總質(zhì)量相等，提出單、雙層非均勻振子超材料梁的設(shè)計(jì)策略;最后，搭建實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)所提結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制性能進(jìn)行測(cè)試。研究結(jié)果表明：振子間的特征頻率差異越大，最終形成的禁帶寬度越寬，但禁帶范圍內(nèi)的頻響曲線會(huì)大幅波動(dòng)，此時(shí)可通過加入適當(dāng)阻尼進(jìn)行抑制，使禁帶曲線變得平穩(wěn)；對(duì)于雙振子超材料梁，振子的質(zhì)量比和阻尼均會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的禁帶特性產(chǎn)生影響，在振子與梁質(zhì)量相同的條件下，單層非均勻及均勻振子超材料梁可分別形成帶寬為440、68Hz的禁帶，雙層非均勻及均勻振子超材料梁可分別形成帶寬為395、40Hz的禁帶。研究表明所提超材料結(jié)構(gòu)能夠有效實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制，可為周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題提供一種新的調(diào)控方法。

關(guān)鍵詞：彈性超材料；局域共振；譜元法；振動(dòng)抑制；非均勻振子

中圖分類號(hào)：TB535"文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202410006"文章編號(hào)：0253-987X（2024）10-0063-09

Methods for Broadening the Band Gap Width of Local Resonance

Elastic Metamaterial Beams

WANG Gang1，2， WAN Shaoke1，2， HONG Jun1，2， LI Lele1，2， LIU Shuo1，2， LI Xiaohu1，2

（1. Key Laboratory of Education Ministry for Modern Design and Rotor-Bearing System， Xi’an Jiaotong University，

Xi’an 710049， China; 2. School of Mechanical Engineering， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China）

Abstract：To address the issue of narrow band gap width in traditional local resonance elastic metamaterials， a design approach is introduced that employs non-uniformly distributed resonators to widen the band gap without modifying the total mass of the resonators. Firstly， a generalized elastic metamaterial beam model is established using the spectral element method （SEM）， and the vibration transmission characteristics of both single-and double-layer metamaterial beams with uniform resonators are analyzed. Subsequently， a design strategy for single-and double-layer metamaterial beams with non-uniform resonators is proposed while maintaining a constant total mass of the resonators. Finally， an experimental setup is devised to evaluate the vibration suppression performance of the proposed structures. The findings indicate that a wider band gap is achieved when there is a greater difference in eigenfrequencies between the resonators. However， the frequency response curve within the band gap range may exhibit significant fluctuations， which can be mitigated by introducing appropriate damping to stabilize the band gap curve. The band gap properties of the structure in double-layer metamaterial beams are influenced by both the mass ratio and damping of the resonators. Under the condition of equal mass between the resonators and the beam， the single-layer metamaterial beam with non-uniform and uniform resonators exhibits band gaps with widths of 440Hz and 68Hz， respectively. Similarly， the double-layer metamaterial beam with non-uniform and uniform resonators displays band gaps with widths of 395Hz and 40Hz， respectively. The study demonstrates that the proposed metamaterial structures effectively achieve vibration suppression， providing a novel approach to address vibration-related challenges in periodic structures.

Keywords：elastic metamaterials; local resonance; spectral element method; vibration suppression; non-uniform distributed resonators

振動(dòng)和噪聲普遍存在于工程的各個(gè)領(lǐng)域，由于低頻的振動(dòng)和噪聲傳播能力較強(qiáng)，所以如何抑制低頻振動(dòng)成了一大工程難題［1-2］。近年來，學(xué)者們提出了彈性超材料的概念，其重要特性是能夠產(chǎn)生頻率帶隙（禁帶），使彈性波在該頻率范圍內(nèi)不能傳播［3］。Liu等［4］率先指出，采用局域共振超材料，能夠通過振子與基體之間的相互作用抑制亞波長(zhǎng)范圍波的傳播，在低頻范圍內(nèi)產(chǎn)生禁帶區(qū)間從而抑制振動(dòng)，為超材料在低頻減振降噪領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。此后，出現(xiàn)了大量有關(guān)局域共振超材料的研究［5-11］。本質(zhì)上，這些方法都是通過調(diào)節(jié)振子質(zhì)量和剛度來獲得低頻禁帶。采用局域共振機(jī)理，對(duì)軸［12］、板［13-14］、框架結(jié)構(gòu)［15］、環(huán)形結(jié)構(gòu)［16］等低頻振動(dòng)抑制的研究也取得了較好成果。

然而，傳統(tǒng)周期性布置相同諧振子單元的超材料結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的禁帶寬度相對(duì)較窄。因此，如何拓寬禁帶寬度具有重要意義。Zuo等［17］將兩種形式的諧振子等間距周期布置于基體上，并證明了該結(jié)構(gòu)能有效地拓展禁帶寬度。El-Borgi等［18］通過改變梁的長(zhǎng)度來改變振子剛度，從而調(diào)節(jié)振子特征頻率，使得結(jié)構(gòu)能夠產(chǎn)生兩個(gè)不同范圍的禁帶區(qū)間，并證明了禁帶寬度與布置在基體梁上諧振子的總質(zhì)量有關(guān)。Hu等［19］在基體梁上布置質(zhì)量相同但特征頻率不同的諧振子，通過調(diào)節(jié)頻率間隔和阻尼，成功拓寬了禁帶區(qū)間。

以上研究大多只針對(duì)單層振子結(jié)構(gòu)形式的超材料，然而由于實(shí)際工程的空間限制，勢(shì)必不可能在一個(gè)方向上無限布置振子，在這種情況下，改變振子的空間分布是一種必然選擇。因此，在不改變梁上振子總質(zhì)量的條件下，本文以單、雙層振子超材料結(jié)構(gòu)為例，研究了振子空間分布對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制特性的影響，通過引入非均勻特征頻率的振子，對(duì)振子的阻尼、特征頻率和質(zhì)量比進(jìn)行了詳細(xì)分析。由于本文的研究對(duì)象是連續(xù)均勻結(jié)構(gòu)，因此基于譜元法（SEM）建立了彈性超材料梁的數(shù)學(xué)模型［20-22］。

1"理論基礎(chǔ)

以雙層振子結(jié)構(gòu)為例建立SEM矩陣，具體單元和節(jié)點(diǎn)的劃分如圖1（a）所示，基本單元包含圖1（b）所示的梁?jiǎn)卧蛨D1（c）所示的振子單元，即只要建立起這兩個(gè)基本單元的SEM矩陣，通過類似于有限元方法的矩陣組裝，就可進(jìn)一步得到任意數(shù)量振子結(jié)構(gòu)的譜單元矩陣。圖1中，m1、m2、k1、k2分別為雙層振子的質(zhì)量和剛度，wa、wb、θa、θb、Ma、Mb、Qa、Qb分別為節(jié)點(diǎn)a、b的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力。

對(duì)圖1（b）的梁?jiǎn)卧M(jìn)行受力分析，根據(jù)SEM理論，可得到梁?jiǎn)卧淖V單元矩陣Sbeam［23］。將圖1（c）中的振子單元分解為彈簧單元和質(zhì)量單元進(jìn)行受力分析，各節(jié)點(diǎn)的受力表達(dá)式如下

f2=k（u2－u1）

f3－f2=m3

f1=f2

u3=u2（1）

式中：fi=Fiejωt為節(jié)點(diǎn)i所受的力，其中j為虛數(shù)符號(hào)，ω為圓頻率，t為時(shí)間，F(xiàn)i為力幅值，i=1，2，3分別表示圖1（c）中3個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)；ui=Uiejωt為節(jié)點(diǎn)i的位移，其中Ui為位移幅值；k為等效剛度；m為等效質(zhì)量；3為節(jié)點(diǎn)3的加速度。

將式（1）寫為矩陣形式

SresonatorUresonator=fresonator（2）

式中：振子的譜單元矩陣Sresonator=－kk－kk－mω2；節(jié)點(diǎn)位移幅值矩陣Uresonator=U1U3T；節(jié)點(diǎn)力幅值矩陣fresonator=F1F3T。

對(duì)得到的梁?jiǎn)卧驼褡訂卧仃囬_展與有限元方法相似的矩陣組裝，得到總的譜單元矩陣，從而對(duì)超材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行頻域響應(yīng)分析。

2"數(shù)值仿真和討論

分別對(duì)單層、雙層振子超材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，基體梁的尺寸和材料參數(shù)如表1所示。單、雙層結(jié)構(gòu)均包含8個(gè)振子。定義μ為振子總質(zhì)量與基體梁的質(zhì)量之比，本節(jié)中μ取1。

2.1"單層振子超材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析

對(duì)于單層均勻振子超材料結(jié)構(gòu)，布置有8個(gè)均勻分布的相同振子，每個(gè)振子質(zhì)量為整個(gè)梁質(zhì)量的1/8，每個(gè)振子的特征頻率pn=160Hz，n = 1，2，…，8。采用損耗因子方式引入阻尼η，即在剛度中引入虛數(shù)項(xiàng)（1+jηn）kn，其中ηn為第n個(gè)振子的阻尼，kn為第n個(gè)振子的等效剛度。單層均勻振子超材料結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的禁帶寬度只與振子本身的特征頻率以及振子總質(zhì)量和基體梁質(zhì)量之比有關(guān)。定義Ω為禁帶起始頻率，當(dāng)均勻布置無限多個(gè)相同振子后，單層均勻超材料結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的禁帶寬度Δ［24］可寫為

Δ=（1+μ－1）Ω（3）

值得注意的是，式（3）成立的前提是保持質(zhì)量比μ不變，且均勻布置無限個(gè)相同的振子。對(duì)于實(shí)際的有限結(jié)構(gòu)來說，在基體梁質(zhì)量和振子總質(zhì)量不變的條件下，振子數(shù)目越多，禁帶寬度越接近式（3）的結(jié)果。因此，式（3）的計(jì)算結(jié)果可作為實(shí)際禁帶寬度的上限。

若超材料梁上安裝振子的總質(zhì)量為整個(gè)梁質(zhì)量的1/8（即μ=1/8），則由式（3）可得到最大禁帶寬度為9.7Hz，也就是說，當(dāng)梁?jiǎn)卧现徊贾靡粋€(gè)振子時(shí)，其禁帶寬度必小于9.7Hz。綜合以上分析，取非均勻振子頻率間隔δ=8Hz，使得不同振子所產(chǎn)生的禁帶范圍發(fā)生重疊，但不會(huì)影響整個(gè)禁帶范圍的連續(xù)性。在這種情況下，不同振子n的特征頻率pn分別為160、168、176、184、192、200、208、216Hz，不同振子n對(duì)應(yīng)的剛度kn可通過kn=mn（2πpn）2來計(jì)算，其中mn為振子n的質(zhì)量。

分別對(duì)單層均勻（δ=0）、非均勻（δ=8Hz）振子結(jié)構(gòu)的禁帶特性進(jìn)行分析，得到的頻響曲線如圖2所示。在結(jié)構(gòu)一端施加頻率為0～800Hz、大小為10N的簡(jiǎn)諧激振力，拾取另一端響應(yīng)，計(jì)算兩端位移之比，得到響應(yīng)Tr的表達(dá)式

Tr=20lgwfws（4）

式中：wf為自由端位移；ws為激勵(lì)端位移。

由圖2可見，相較于無附加局域共振單元的光梁，附加振子后的結(jié)構(gòu)在一定頻率范圍內(nèi)出現(xiàn)了衰減區(qū)域。對(duì)比振子不同特征頻率間隔工況，發(fā)現(xiàn)頻響曲線顯示出不同特征。當(dāng)δ=0時(shí)，禁帶范圍為160～228Hz， 禁帶寬度為68Hz，該禁帶寬度與式（3）計(jì)算所得結(jié)果（66Hz）基本一致；當(dāng)δ=8Hz時(shí)，禁帶寬度范圍為 157～288Hz，相較于δ=0工況，此時(shí)的禁帶寬度明顯增加。同時(shí)，在δ=8Hz工況下，振動(dòng)響應(yīng)衰減的極值約為－180dB，相較于δ=0時(shí)約為-700dB的最大衰減量，呈現(xiàn)明顯減小趨勢(shì)。此外，由于非均勻振子的引入，響應(yīng)曲線在極值頻率之前出現(xiàn)大幅波動(dòng)。

接著，分別研究了δ為0、8Hz時(shí)，不同阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)衰減能力的影響，結(jié)果如圖3所示。由圖可見，阻尼的添加使得禁帶范圍內(nèi)的頻響幅值降低，且隨著阻尼增大，頻響極值逐漸減小，而禁帶寬度卻逐漸增大。與圖2中無阻尼條件下的頻響曲線相比，此時(shí)的曲線更加光滑，特別是圖3（b）中衰減極值頻率之前的頻響曲線，已沒有大幅波動(dòng)現(xiàn)象，表明阻尼的存在有利于衰減區(qū)域的平滑穩(wěn)定。隨著阻尼的增加，δ=8Hz工況下禁帶范圍的變化趨勢(shì)與δ=0工況下的變化趨勢(shì)大致相同，但由于引入了非均勻振子，δ=8Hz工況下的禁帶范圍更寬。

通過以上分析，可得到以下結(jié)論：一是引入非均勻振子能夠有效拓寬禁帶，二是阻尼的存在能夠使振子頻率間隔所造成頻響曲線的不穩(wěn)定波動(dòng)現(xiàn)象消失?；谝陨纤悸?，首先增加頻率間隔δ，推導(dǎo)得出在無阻尼情況下，禁帶寬度變寬，但頻響曲線會(huì)變得更加不穩(wěn)定；接著通過添加阻尼使得曲線更加平穩(wěn)，從而獲取穩(wěn)定的衰減區(qū)間。圖4給出了不同阻尼條件下，頻率間隔對(duì)單層非均勻振子超材料梁振動(dòng)特性的影響規(guī)律。

圖4（a）為阻尼η=0時(shí)，振子頻率間隔分別為20、30、40Hz時(shí)得到的頻響曲線?？梢钥闯?，雖然隨著頻率間隔的增大，禁帶寬度越來越寬，但頻響曲線出現(xiàn)很大波動(dòng)，且頻率間隔越大，波動(dòng)效應(yīng)越強(qiáng)，這種現(xiàn)象對(duì)獲得穩(wěn)定衰減區(qū)域的目標(biāo)來說較為不利。因此，引入阻尼η=0.10來消除波動(dòng)，如圖4（b）所示?？梢钥闯觯捎谧枘岬囊?，頻響曲線變得光滑，在振子頻率間隔為40Hz時(shí)，獲得了大約440Hz 的禁帶寬度，相較于圖2中均勻振子產(chǎn)生的大約68Hz 的禁帶寬度，經(jīng)過阻尼和非均勻振子調(diào)制后的禁帶寬度得到了大幅提升。

2.2"雙層振子超材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析

通過對(duì)單層振子超材料結(jié)構(gòu)的研究可以發(fā)現(xiàn)，單層均勻振子結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)禁帶區(qū)間，而禁帶起始頻率在單層振子的特征頻率處，通過引入阻尼可以拓寬該結(jié)構(gòu)的帶隙。然而，對(duì)于圖1所示的雙層振子結(jié)構(gòu)，每個(gè)子結(jié)構(gòu)由上、下兩層振子組成，由振動(dòng)分析可知該子結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)不同的特征頻率，這意味著會(huì)有兩個(gè)離散分布的帶隙。文獻(xiàn)［25］的研究結(jié)果表明，只有上、下兩層振子的特征頻率相同時(shí)，子結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的兩個(gè)特征頻率才最接近，在這個(gè)條件下對(duì)系統(tǒng)引入適當(dāng)阻尼，就能形成一個(gè)連續(xù)的振動(dòng)衰減區(qū)間。

基于以上分析，對(duì)雙層均勻、非均勻振子超材料梁開展研究。為了便于與單層結(jié)構(gòu)對(duì)比，對(duì)于雙層振子均勻分布的超材料梁，設(shè)置振子質(zhì)量和剛度與單層均勻分布超材料梁相同，以縱向分布的上、下兩層振子為一組，每組質(zhì)量為

mⅠn+mⅡn=mbeam4（5）

式中：下標(biāo)n表示第n組雙層振子，本節(jié)中n = 1，2，3，4；上標(biāo)Ⅰ、Ⅱ分別表示第1、2層振子；mbeam為基體梁的質(zhì)量。

首先，考慮mⅠn=mⅡn=mbeam/8的情況。初始振子特征頻率Ω=160Hz，由式（3）可得到不同振子之間的最大頻率間隔為18.9Hz，根據(jù)2.1節(jié)分析，取δ=15Hz，此時(shí)每個(gè)子結(jié)構(gòu)中振子的特征頻率pn分別為160、175、190、205Hz，剛度為kn=mn（2πpn）2。分別對(duì)雙層均勻（δ=0）、非均勻（δ=15Hz）振子結(jié)構(gòu)的禁帶特性進(jìn)行分析，得到頻響曲線如圖5所示。

從圖5可以看出，對(duì)于均勻分布的雙層振子超材料梁，禁帶范圍為97～137Hz，且在258～267Hz區(qū)間有一個(gè)極小的振動(dòng)衰減區(qū)間。在97～137Hz低頻禁帶區(qū)域范圍內(nèi)，起始頻率處衰減最大，隨著頻率升高，衰減量逐漸減少。

當(dāng)δ=15Hz時(shí)，非均勻振子結(jié)構(gòu)的主禁帶寬度為99～174Hz，相較于均勻結(jié)構(gòu)，衰減區(qū)間明顯得到了拓寬。同時(shí)，在257～360Hz區(qū)間范圍內(nèi)，由于振子間的頻率間隔，禁帶范圍內(nèi)的頻響曲線出現(xiàn)了波動(dòng)，而該現(xiàn)象也曾出現(xiàn)在單層非均勻振子超材料結(jié)構(gòu)的頻響曲線中。以上分析表明，二自由度的振子能夠產(chǎn)生兩個(gè)禁帶衰減區(qū)域，且非均勻超材料結(jié)構(gòu)的禁帶寬度更大，若能消除兩個(gè)衰減區(qū)間之間的通帶區(qū)域，就能進(jìn)一步拓寬禁帶區(qū)間。

接著，分別研究了δ為0、15Hz時(shí)，不同阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)衰減能力的影響，如圖6所示。計(jì)算過程中，上、下兩層振子的阻尼相同。

從圖6（a）可以看出，隨著阻尼增加，結(jié)構(gòu)在禁帶范圍內(nèi)對(duì)振動(dòng)的抑制能力減小，而整個(gè)系統(tǒng)的禁帶寬度增加。由此可見，阻尼能夠?qū)﹄p層均勻振子超材料結(jié)構(gòu)的禁帶范圍起到有效的調(diào)制作用。

相較于δ=0，當(dāng)δ=15Hz時(shí)，在相同阻尼條件下，雙層非均勻振子超材料結(jié)構(gòu)的衰減區(qū)間更寬，如圖6（b）所示，這表明引入非均勻振子也能有效地拓寬禁帶區(qū)間。當(dāng)阻尼η=0.05時(shí)，可以清晰地觀察到兩個(gè)禁帶區(qū)域內(nèi)，頻響曲線在響應(yīng)極值之前均出現(xiàn)了大幅波動(dòng)；而隨著阻尼增大，該波動(dòng)現(xiàn)象逐漸減少，頻響曲線也變得平滑。

類比圖4中單層非均勻振子超材料結(jié)構(gòu)的結(jié)論，對(duì)于雙層振子超材料結(jié)構(gòu)，可通過引入非均勻振子以及阻尼來達(dá)到拓寬衰減區(qū)間的目的。不同阻尼條件下，頻率間隔對(duì)雙層非均勻振子超材料梁振動(dòng)特性的影響如圖7所示。

由圖7（a）可見，相較于單層非均勻振子超材料，雙層非均勻振子超材料的頻響曲線波動(dòng)更加劇烈，特別是在第2個(gè)禁帶區(qū)域中，隨著頻率間隔的增大，超出0dB的頻響曲線越來越多。當(dāng)引入大小為0.15的阻尼后，從圖7（b）可以觀察到，兩個(gè)獨(dú)立的禁帶區(qū)間合并成一個(gè)連續(xù)的禁帶，原先兩個(gè)禁帶區(qū)域中波動(dòng)頻率處的頻響曲線變得更加平滑。在振子頻率間隔為40Hz時(shí)，獲得了約395Hz的禁帶寬度，相較于圖5中均勻振子產(chǎn)生的約40Hz的主禁帶寬度，經(jīng)過阻尼和非均勻振子調(diào)制后的禁帶寬度大大增加。由此可見，阻尼和頻率間隔能夠有效拓寬結(jié)構(gòu)的禁帶范圍，從而獲得穩(wěn)定的衰減區(qū)間。

由以上分析可知，對(duì)雙層非均勻振子超材料結(jié)構(gòu)添加阻尼，能夠有效消除頻響曲線的波動(dòng)現(xiàn)象，使得兩個(gè)衰減區(qū)間之間的通帶范圍消失。因此，研究阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)禁帶特性的影響十分必要。

以上研究均基于上、下兩層振子質(zhì)量相同，為了進(jìn)一步研究上、下兩層振子質(zhì)量變化對(duì)結(jié)構(gòu)衰減特性的影響，引入振子質(zhì)量比λ，在保持mⅠn+mⅡn=mbeam/4的條件下，令mⅠn=λmbeam/4，所得結(jié)果如圖8所示。

圖8（a）給出了δ=15Hz、λ=0.50工況下，阻尼η在0～1之間變化時(shí)的頻響曲線云圖，空白區(qū)間的響應(yīng)值在0以下，即為振動(dòng)衰減區(qū)間。由圖8（a）可見，當(dāng)阻尼大于0.50時(shí)，低于500Hz的低頻范圍內(nèi)能夠產(chǎn)生最大范圍的衰減區(qū)間，而當(dāng)阻尼小于0.50時(shí)，衰減區(qū)間范圍逐漸減小，且衰減區(qū)域中間出現(xiàn)間斷的通帶范圍。

圖8（b）給出了δ=15Hz、η=0.50工況下，質(zhì)量比λ在0～1之間變化時(shí)的頻響曲線云圖。從圖中可以看出，當(dāng)質(zhì)量比大于0.50時(shí)，存在一個(gè)連續(xù)的衰減區(qū)間。值得注意的是，當(dāng)質(zhì)量比趨近于0時(shí)，意味著第一層振子質(zhì)量趨近于0，在這種情況下相當(dāng)于無振子安裝到基體梁上，此時(shí)的云圖與圖2、圖5中未加振子梁的頻響曲線相對(duì)應(yīng)；當(dāng)質(zhì)量比趨近于1時(shí)，意味著質(zhì)量完全分布在第一層振子上，此時(shí)的云圖與單層非均勻振子超材料梁結(jié)構(gòu)的頻響曲線相對(duì)應(yīng)。

3"實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出的設(shè)計(jì)方法，分別制作了單、雙層非均勻振子超材料梁結(jié)構(gòu)?；w梁尺寸為1500mm×30mm×20mm，材料為鋁，其材料參數(shù)與表1相同。振子單元由密度為8300kg/m3、長(zhǎng)寬尺寸為20mm×30mm的銅塊，以及密度為1300kg/m3、彈性模量為7.5MPa、尺寸為20mm×30mm×10mm的硅橡膠塊組成。由于橡膠剛度難以調(diào)節(jié)，保持橡膠塊的尺寸及銅塊的長(zhǎng)度、寬度不變，僅通過調(diào)節(jié)銅塊的高度來調(diào)節(jié)振子的特征頻率。對(duì)于單層非均勻振子超材料結(jié)構(gòu)，每個(gè)最小重復(fù)單元（300mm的基體梁）包含6個(gè)振子，取銅塊的最大高度為30mm，通過有限元軟件求得構(gòu)成振子的特征頻率為415Hz，然后以該值為起始頻率，由式（3）求得振子產(chǎn)生的最大禁帶寬度為60Hz。為了獲得連續(xù)的衰減區(qū)間，相鄰振子的特征頻率應(yīng)當(dāng)小于475Hz，由此計(jì)算得到相鄰振子的銅塊高度，重復(fù)以上步驟，即可得到所有銅塊的高度，其具體參數(shù)見表2，此時(shí)求得結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比μ=1.27。對(duì)于雙層非均勻振子超材料結(jié)構(gòu)，每個(gè)子結(jié)構(gòu)包含質(zhì)量相同的上、下兩層振子，3個(gè)子結(jié)構(gòu)的振子高度分別為19、16、14mm，可求得結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比μ=1.10。實(shí)驗(yàn)原理及測(cè)試裝置如圖9所示。

測(cè)試樣件懸掛安裝，由激振器（the modal shop公司， model 2060E）在一端激發(fā)出頻率為0～2000Hz的正弦掃頻信號(hào)，采用加速度傳感器測(cè)量超材料梁兩端的加速度響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)（億恒 MI-7008）處理，得到的頻響曲線如圖10所示。

圖10給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果與SEM法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，由于實(shí)際中硅橡膠的阻尼難以測(cè)量，因此采用SEM法分別計(jì)算了η為0、 0.40時(shí)超材料結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。由圖10可見，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的頻響曲線與η=0.40 時(shí)SEM法計(jì)算得到的結(jié)果基本一致。值得一提的是，由于橡膠材料阻尼在不同頻率下會(huì)發(fā)生改變［26］，所以實(shí)驗(yàn)結(jié)果與阻尼取常數(shù)時(shí)SEM的仿真結(jié)果并不完全一致。此外，結(jié)構(gòu)的安裝誤差以及測(cè)試誤差都會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生一定影響。

在商業(yè)軟件COMSOL 6.0中建立二維有限元模型，模型尺寸和邊界條件與單、雙層非均勻振子超材料梁實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖嗤?，橡膠層阻尼設(shè)置為0。在梁模型左端沿豎直方向施加頻率為0～2000Hz的簡(jiǎn)諧激振力，通過有限元仿真分析，得到不同頻率下單、雙層結(jié)構(gòu)的變形如圖11、12所示。

從仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)振動(dòng)頻率處于禁帶范圍內(nèi)，如圖11（b）、12（b）、12（d）所示，梁左端產(chǎn)生的振動(dòng)均得到了明顯抑制；當(dāng)振動(dòng)頻率處于禁帶范圍外，如圖11（a）、11（c）、12（a）、12（c）所示，兩種結(jié)構(gòu)均未對(duì)梁左端的振動(dòng)產(chǎn)生抑制效果。

4"結(jié)"論

本文采用SEM法建立了多振子局域共振超材料梁結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，研究了單層和雙層振子結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，得到的主要結(jié)論如下。

（1）增加振子特征頻率間隔，能夠拓寬禁帶區(qū)間，但同時(shí)會(huì)造成頻響曲線波動(dòng)，頻率間隔越大，波動(dòng)現(xiàn)象越劇烈。

（2）添加阻尼（損耗因子）可以抑制波動(dòng)現(xiàn)象。對(duì)于單層振子超材料結(jié)構(gòu)，阻尼越大，禁帶區(qū)間越寬，但振動(dòng)衰減越??；對(duì)于雙層超材料結(jié)構(gòu)，當(dāng)阻尼大于一定范圍后，禁帶區(qū)間內(nèi)的波動(dòng)現(xiàn)象得到抑制，且系統(tǒng)形成的兩個(gè)離散禁帶區(qū)間匯合到一起，形成一個(gè)連續(xù)的禁帶區(qū)間。單層非均勻、均勻振子超材料梁的禁帶寬度分別為440、68Hz，雙層非均勻、均勻振子超材料梁的禁帶寬度分別為395、40Hz。

（3）通過調(diào)節(jié)雙層非均勻振子超材料梁的質(zhì)量比和阻尼，能夠?qū)㈦p層均勻振子超材料梁的離散禁帶區(qū)間合并成一個(gè)連續(xù)的禁帶區(qū)間。在質(zhì)量比為0.50的條件下，阻尼大于0.50時(shí)禁帶區(qū)間連續(xù)；在阻尼為0.50的條件下，質(zhì)量比大于0.50時(shí)禁帶區(qū)間連續(xù)。

參考文獻(xiàn)：

［1］溫卓群， 王鵬飛， 張雁， 等. 面向大尺度結(jié)構(gòu)的力學(xué)超材料減振技術(shù) ［J］. 航空學(xué)報(bào)， 2018， 39（S1）： 150-154.

WEN Zhuoqun， WANG Pengfei， ZHANG Yan， et al. Vibration reduction technology of mechanical metamaterials presented to large scale structures ［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2018， 39（S1）： 150-154.

［2］吳九匯， 馬富銀， 張思文， 等. 聲學(xué)超材料在低頻減振降噪中的應(yīng)用評(píng)述 ［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2016， 52（13）： 68-78.

WU Jiuhui， MA Fuyin， ZHANG Siwen， et al. Application of acoustic metamaterials in low-frequency vibration and noise reduction ［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2016， 52（13）： 68-78.

［3］PAI P F， PENG Hao， JIANG Shuyi. Acoustic metamaterial beams based on multi-frequency vibration absorbers ［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2014， 79： 195-205.

［4］LIU Zhengyou， ZHANG Xixiang， MAO Yiwei， et al. Locally resonant sonic materials ［J］. Science， 2000， 289（5485）： 1734-1736.

［5］LI Zhengwei， WANG Xiaodong. Wave propagation in a dual-periodic elastic metamaterial with multiple resonators ［J］. Applied Acoustics， 2021， 172： 107582.

［6］LU Kuan， TIAN Yongjun， GAO Nansha， et al. Propagation of longitudinal waves in the broadband hybrid mechanism gradient elastic metamaterials rods ［J］. Applied Acoustics， 2021， 171： 107571.

［7］LIN Siqi， ZHANG Yongshan， LIANG Yingjing， et al. Bandgap characteristics and wave attenuation of metamaterials based on negative-stiffness dynamic vibration absorbers ［J］. Journal of Sound and Vibration， 2021， 502： 116088.

［8］LIU Panxue， ZUO Shuguang， WU Xudong， et al. Study on the vibration attenuation property of one finite and hybrid piezoelectric phononic crystal beam ［J］. European Journal of Mechanics： A"Solids， 2020， 84： 104017.

［9］THOMES R L， MOSQUERA-SNCHEZ J A， DE MARQUI C. Bandgap widening by optimized disorder in one-dimensional locally resonant piezoelectric metamaterials ［J］. Journal of Sound and Vibration， 2021， 512： 116369.

［10］李鎖斌， 魏儒義， 周安安， 等. 超結(jié)構(gòu)夾芯板及其低寬頻振動(dòng)帶隙機(jī)理 ［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2021， 55（4）： 77-85.

LI Suobin， WEI Ruyi， ZHOU An’an， et al. A new sandwich type metamaterial plate and its mechanism of low-frequency broad vibration band gap ［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2021， 55（4）： 77-85.

［11］李麗霞， 楊繼博， 呂銳翔， 等. 新型環(huán)狀諧振徑向彈性超材料結(jié)構(gòu)低頻帶隙機(jī)理研究 ［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2020， 54（11）： 91-97.

LI Lixia， YANG Jibo， L Ruixiang， et al. Low-frequency band gap mechanism of radial elastic metamaterial with new ring resonance ［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2020， 54（11）： 91-97.

［12］YU Dianlong， LIU Yaozong， ZHAO Honggang， et al. Flexural vibration band gaps in Euler-Bernoulli beams with locally resonant structures with two degrees of freedom ［J］. Physical Review： B， 2006， 73（6）： 064301.

［13］李鎖斌， 陳天寧， 奚延輝， 等. 聲子晶體板中低頻完全禁帶形成機(jī)理研究 ［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2016， 50（12）： 51-57.

LI Suobin， CHEN Tianning， XI Yanhui， et al. Forming mechanisms of low-frequency complete band gaps in phononic crystal plate ［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2016， 50（12）： 51-57.

［14］李鎖斌， 竇益華， 陳天寧， 等. 局域共振型周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶隙形成機(jī)理 ［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2019， 53（6）： 169-175.

LI Suobin， DOU Yihua， CHEN Tianning， et al. Formation mechanisms of vibration band gaps in locally resonant periodic structures ［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2019， 53（6）： 169-175.

［15］ZHANG Zhen， LI Tuanjie， WANG Zuowei， et al. Band gap characteristics of flexural wave of two-dimensional periodic frame structure composed of locally resonant composite beam ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2019， 131： 364-380.

［16］羅金雨， 姚凌云， 江國(guó)期， 等. 一種圓柱殼類聲子晶體振動(dòng)帶隙及振動(dòng)特性研究 ［J］. 振動(dòng)與沖擊， 2019， 38（8）： 133-138.

LUO Jinyu， YAO Lingyun， JIANG Guoqi， et al. A study on the vibration band gap and vibration characteristics of a cylindrical shell phononic crystal ［J］. Journal of Vibration and Shock， 2019， 38（8）： 133-138.

［17］ZUO Shuguang， NI Tianxin， WU Xudong， et al. Studies of band gaps in flexural vibrations of a locally resonant beam with novel multi-oscillator configuration ［J］. Journal of Vibration and Control， 2017， 23（10）： 1663-1674.

［18］EL-BORGI S， FERNANDES R， RAJENDRAN P， et al. Multiple bandgap formation in a locally resonant linear metamaterial beam： theory and experiments ［J］. Journal of Sound and Vibration， 2020， 488： 115647.

［19］HU Guobiao， AUSTIN A C M， SOROKIN V， et al. Metamaterial beam with graded local resonators for broadband vibration suppression ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2021， 146： 106982.

［20］吳志靜， 李鳳明， 王毅澤. 譜元法研究桁架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)帶隙特性 ［J］. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)， 2013， 30（S1）： 92-95.

WU Zhijing， LI Fengming， WANG Yize. Study on truss periodic structures with vibration band gap properties using the spectral element method ［J］. Chinese Journal of Computational Mechanics， 2013， 30（S1）： 92-95.

［21］WU Zhijing， LIU Wenyu， LI Fengming， et al. Band-gap property of a novel elastic metamaterial beam with X-shaped local resonators ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2019， 134： 106357.

［22］AN Xiyue， FAN Hualin， ZHANG Chuanzeng. Elastic wave and vibration bandgaps in planar square metamaterial-based lattice structures ［J］. Journal of Sound and Vibration， 2020， 475： 115292.

［23］吳志靜. 周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)行為與隔振性能研究 ［D］. 哈爾濱： 哈爾濱工業(yè)大學(xué)， 2015.

［24］SUGINO C， LEADENHAM S， RUZZENE M， et al. On the mechanism of bandgap formation in locally resonant finite elastic metamaterials ［J］. Journal of Applied Physics， 2016， 120（13）： 134501.

［25］PENG Hao， FRANK PAI P， DENG Haoguang. Acoustic multi-stopband metamaterial plates design for broadband elastic wave absorption and vibration suppression ［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2015， 103： 104-114.

［26］王成林， 張之敬， 馬斌， 等. 新型阻尼橡膠圈的動(dòng)態(tài)特性測(cè)試 ［J］. 材料導(dǎo)報(bào)， 2006， 20（S1）： 273-274.

WANG Chenglin， ZHANG Zhijing， MA Bin， et al. Dynamic characteristic test of the new damping rubber ring ［J］. Materials Review， 2006， 20（S1）： 273-274.

（編輯"李慧敏）