含有根式的函數(shù)往往較為復(fù)雜.由于函數(shù)式中含有根式，所以通常很難采用常規(guī)方法求得函數(shù)的最值.解答此類問題的關(guān)鍵是將含有根式的函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的函數(shù)最值問題來求解，常用的方法有平方法、導(dǎo)數(shù)法、三角代換法.下面結(jié)合實(shí)例作詳細(xì)的介紹.

一、平方法

對(duì)于含有根式的函數(shù)式，我們通?？梢圆捎闷椒椒▉砬笃渥钪担簩⒑瘮?shù)式平方，以去掉根號(hào).再研究去掉根號(hào)后的新函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)其單調(diào)性求得最值.若一次平方后無法去掉全部的根號(hào)，則需進(jìn)行二次平方，或直接研究根號(hào)下的式子，求得其最值即可解題.

例1.函數(shù)[y=1-x+x+3]的最大值為[M]，最小值為[m]，則[mM=]_____.

解：由[y=1-x+x+3]可知函數(shù)的定義域?yàn)閇[-3，1]]，

將其平方得[y2=4+2-x2-2x+3]，

令[t=-x2-2x+3，x∈[-3，1]]，

則該函數(shù)的對(duì)稱軸為[x=-1]，且函數(shù)在[[-3，-1]]上單調(diào)遞增，在[（-1，1]]上單調(diào)遞減，

則當(dāng)[x=-1]時(shí)，[tmax=4]，

當(dāng)[x=1]時(shí)，[tmin=0]，所以[y2∈[4，8]]，

所以[ymax=M=22]，[ymin=m=2]，因此[mM=22].

用平方法可以將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為至多只含有一個(gè)根式的函數(shù)式，這樣便能化繁為簡(jiǎn).在求得新函數(shù)的最值后，要注意其與原函數(shù)之間的等價(jià)性，有時(shí)需將所得的最值開方.

二、導(dǎo)數(shù)法

若含有根式的函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的，就可以利用導(dǎo)數(shù)法來求函數(shù)的最值.首先根據(jù)求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；然后判斷出函數(shù)的單調(diào)性，探尋其極值點(diǎn)，即可得到最值.

例2.求函數(shù)[fx=1-x+x+3-1]的最值.

解：根據(jù)[fx=1-x+x+3-1]可得函數(shù)的定義域?yàn)閇-3，1]，

則[f′x=1-x-x+321-x?x+3]，由[f′x>0]可得[x<-1]，

則函數(shù)在[-3，-1]上單調(diào)遞增，

同理可得，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在[x=-1]處取得極大值，

而[f-1=22-1，f-3=1，f1=1]，

故函數(shù)的最小值為1，最大值為[22-1].

在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的極值后，往往需將所得的極值與函數(shù)定義域上的端點(diǎn)值相比較，較大的為最大值，較小的為最小值.

三、三角代換法

三角代換法是指將函數(shù)式中的變量用三角函數(shù)來替換，之后利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性來求函數(shù)最值.在運(yùn)用三角代換法解題時(shí)，要選取合適的式子進(jìn)行換元，并且要關(guān)注新舊自變量的取值范圍.

例3.求函數(shù)[f（x）=x+4-x2]的最值.

解：由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)閇[-2，2]]，

設(shè)[x=2sint，t∈[-π2，π2]]，

則[y=2sint+2cost=22sin（t+π4）].

而[t+π4∈[-π4，3π4]]，所以[sin（t+π4）∈[-22，1]].

則[y∈[-2，22]]，即函數(shù)[f（x）=x+4-x2]的值域?yàn)閇[-2，22].]

所以函數(shù)的最大值是[22]，最小值為[-2].

令[x=2sint，t∈[-π2，π2]]，便可通過三角換元，將目標(biāo)式化為三角函數(shù)式.再將其化簡(jiǎn)，即可運(yùn)用正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性求得函數(shù)的最大值、最小值.一般地，可以根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式[sin2θ+cos2θ=1]或完全平方公式進(jìn)行三角代換，這樣便可以去掉根號(hào)，將函數(shù)式化為常規(guī)的三角函數(shù)式.

上述三種方法的特點(diǎn)和應(yīng)用情形均不相同.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要仔細(xì)觀察函數(shù)式，對(duì)其進(jìn)行合理的變形、化簡(jiǎn)、構(gòu)造，這樣才能根據(jù)根式函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)找到最佳的解題方案.