二項(xiàng)式定理：[a+bn=C0nan+C1nan-1b1+…+Cn-1na1bn-1+Cnnbn].雖然該定理較為復(fù)雜，但是仔細(xì)研究可以發(fā)現(xiàn)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為[Tk+1=Cknan-kbk]，且a的次數(shù)遞減，b的次數(shù)遞增.對于高次冪運(yùn)算問題，運(yùn)用二項(xiàng)式定理可簡化運(yùn)算，這有助于提升解題的效率.下面結(jié)合實(shí)例，來探討一下二項(xiàng)式定理在解題中的妙用.

一、比較代數(shù)式的大小

對于含有高次冪的代數(shù)式，要比較兩式的大小，通常要利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì).在無法直接運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)比較出代數(shù)式的大小時(shí)，可以先運(yùn)用二項(xiàng)式定理將代數(shù)式展開；然后進(jìn)行放縮；再運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)解題.

例1.已知[a=1.110]，[5b=3a+4a]，請比較a，b的大小.

解：由[5b=3a+4a]得[b=log5（3a+4a）]，

則[b-a=log5（3a+4a）-a=log5（3a+4a）-log55a]

[=log53a+4a5a=log535a+45a].

因?yàn)閇a=1.110=（1+0.1）10]

[=C010+C110×0.1+C210×0.12][+C310×0.13+C410×0.14+C510×0.15][+C610×0.16+C710×0.17+C810×0.18+C910×0.19+C1010×0.110]

[=1+1+45×0.12+120×0.13+210×0.14+252×0.15][+210×0.16+120×0.17+45×0.18+10×0.19+0.110]，

所以[2.5<a<2.6]，

所以[352.6<35a<352.5<352]，[452.6<45a<452.5<452]，故[35a+45a<352+452=1]，

所以[log535a+45a<0]，即[b-a<0]，故[b<a].

由題意可知a、b均為高次冪，很難直接比較出二者大小，于是將二者作差，運(yùn)用作差法來進(jìn)行比較.先將差式化為對數(shù)式；然后利用二項(xiàng)式展開式將[a=1.110=（1+0.1）10]展開，就能通過放縮得出a的取值范圍，即可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較出差式與0的大小，進(jìn)而比較出a、b的大小.

二、化簡組合式

二項(xiàng)式的展開式中含有組合數(shù).對于某些較為復(fù)雜的組合式的化簡與求值問題，可以直接運(yùn)用二項(xiàng)式定理將其進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，這樣問題便可迎刃而解.運(yùn)用二項(xiàng)式定理化簡組合式時(shí)，要仔細(xì)觀察組合式，明確a、b的對應(yīng)值，并對其進(jìn)行合理的變形.

例2.化簡：[122018（C02018-3C22018+32C42018-33C62018+…+31008C20162018-31009C20182018）].

解：原式[=1+3i2018=C02018+C12018×3i+C22018×-3+C320183i3+…+C20162018×3i2016+]

[C20172018×3i2017+C201820183i2018]，①

[1-3i2018=C02018+C12018×-3i+C22018×-3+C32018-3i3+…+C20162018×-3i2016+C20172018×-3i2017]

[+C20182018-3i2018]，②

將①+②可得： [1+3i2018+1-3i2018]

[=2（C02018-3C22018+32C42018-33C62018+…+31008C20162018-31009C20182018）]

[∴C02018-3C22018+32C42018-33C62018+…+31008C20162018-31009C20182018]

[=121+3i2018+1-3i2018]

[=1212+32i2018+12-32i2018]

[=1212+32i2+12-32i2] [=-12].

運(yùn)用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式[1+3i2018]和[1-3i2018]展開，即可根據(jù)復(fù)數(shù)的周期性，使組合式得以簡化.求解與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的求值、化簡問題，常需采用賦值法，靈活運(yùn)用二項(xiàng)式定理求和、化簡.

例3.已知[fnx=k=1nCknxkn∈N*]．證明：[C0m+1+2C1m+2+3C2m+3+…+nCn-1m+nCm+2m+n+1=（m+2）n+1m+3]．

證明：設(shè)[hx=1+xm+1+21+xm+2+…+n1+xm+n]（[x≠0]且[x≠-1]），①

則函數(shù)[hx]中含[xm+1]項(xiàng)的系數(shù)為[Cm+1m+1+2Cm+1m+2+…+nCm+1m+n]，

由[①×1+x]得：[1+xhx=1+xm+2+21+xm+3]

[+…+n1+xm+n+1]，②

將[①-②]得：[-xh（x）=（1+x）m+11-（1+x）n1-（1+x）-n（1+x）m+n+1]，

得[h（x）=（1+x）m+1-（1+x）m+n+1x2+n（1+x）m+n+1x]，

則[hx]中含[xm+1]項(xiàng)的系數(shù)為：[-Cm+3m+n+1+nCm+2m+n+1]，

而[-Cm+3m+n+1+nCm+2m+n+1=-m+n+1！m+3！n-2！+nCm+2m+n+1]

[=-n-1m+3Cm+2m+n+1+nCm+2m+n+1=（m+2）n+1m+3Cm+2m+n+1]，

所以[Cm+1m+1+2Cm+1m+2+…+nCm+1m+n=（m+2）n+1m+3Cm+2m+n+1]，

所以[C0m+1+2C1m+2+3C2m+3+…+nCn-1m+n]

[=（m+2）n+1m+3Cm+2m+n+1]，

則[C0m+1+2C1m+2+3C2m+3+…+nCn-1m+nCm+2m+n+1=（m+2）n+1m+3]．

證明組合數(shù)等式，往往需將組合式與二項(xiàng)式定理聯(lián)系起來，通過構(gòu)造多個(gè)二項(xiàng)式，并對比展開式的系數(shù)來證明組合數(shù)等式.對于本題，我們需構(gòu)造函數(shù)[hx=1+xm+1+21+xm+2+…+n1+xm+n]（[x≠0]且[x≠-1]），進(jìn)而利用二項(xiàng)式定理和錯(cuò)位相減法求得含[xm+1]項(xiàng)的系數(shù).

三、求解概率問題

當(dāng)概率問題中出現(xiàn)組合數(shù)或高次冪[2n]時(shí)，就需要運(yùn)用二項(xiàng)式定理來進(jìn)行求和、化簡，從而順利求得問題的答案.

例4.（多選）甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽[2nn∈N*]局，且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為[12].如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為[P（n）]，則（ ）.

A. [P（2）=18] B. [P（3）=1132]

C. [P（n）=121-Cn2n22n] D. [P（n）]的最大值為[14]

解：由題意知：要使甲贏得比賽，則甲至少贏[n+1]局，

則[P（n）=（12）2n（Cn+12n+Cn+22n+…+C2n2n）]，

而[C02n+C12n+…+Cn-12n+Cn2n+Cn+12n+…+C2n2n=22n]，

則[P（n）=12-Cn2n22n+1]，故C項(xiàng)正確；

而[P（2）=12-C2425=516]，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；

[P（3）=12-C3627=1132]，所以B項(xiàng)正確；

當(dāng)[n=1]時(shí)，[P（1）=12-C1223=14]，由A知[P（2）>P（1）]，顯然[P（n）]的最大值不是[14]，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤.故本題選BC兩項(xiàng).

由題設(shè)得[P（n）=（12）2n（Cn+12n+Cn+22n+…+C2n2n）]，于是根據(jù)二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和的性質(zhì)：[C02n+C12n+…+Cn-12n+Cn2n+Cn+12n+…+C2n2n=22n]，即可求得[P（n）]，進(jìn)而判斷出各選項(xiàng)的正誤.

四、解答數(shù)列問題

對于涉及高次冪的數(shù)列問題，我們很難采用常規(guī)方法求得數(shù)列各項(xiàng)的值以及數(shù)列的和.此時(shí)不妨運(yùn)用二項(xiàng)式定理將其展開，通過變形、化簡，求得問題的答案.

例5.已知數(shù)列[an]的前n項(xiàng)和為[Sn]，[a1=-2]，且[Sn=32an+n]，[fx]是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足[f2-x=fx]，則[fa2021=]______．

解：[∵Sn=32an+n]，[∴Sn-1=32an-1+n-1n≥2]，

將兩式相減得，[an=32an-32an-1+1]，即[an-1=3an-1-1]，

[∴an-1an-1-1=3]，即數(shù)列[an-1]是以[-3]為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

[∴an-1=-3?3n-1=-3n]，[∴an=-3n+1].

[∵fx]是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足[f2-x=fx]，

[∴]令[x=2]，則[f2=f0=0]，

又[f2-x=fx=-f（-x）]，∴[f2+x=-fx]，

∴ [f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），]

即[f（x+4）=f（x）]，即[fx]是以4為周期的周期函數(shù).

[∵a2021=-32021+1=-4-12021+1]

[=-C0202142021?-10+C1202142020?-11+…+C2020202141?-12020][+C2021202140?-12021+1]

[=-C0202142021?-10+C1202142020?-11+…+C2020202141?-12020]+2，

其中[C0202142021?-10+C1202142020?-11+…+C2020202141?-12020]能被4整除，∴[f（a2021）=f（2）=0].

由數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的關(guān)系容易求得[a2021=-32021+1=-4-12021+1]，再將[4-12021]用二項(xiàng)式定理展開，找出各項(xiàng)中能被4整除的，即可根據(jù)數(shù)列的周期性求得[fa2021]的值.