在研究或解答解析幾何問題時，我們可以將方程中的變量x、y看作曲線上點的坐標（x，y），那么根據(jù)方程即可確定點（x，y）的運動軌跡，畫出相應的曲線.同時根據(jù)曲線上點之間的位置關系，我們也可以建立關于點的坐標（x，y）的關系式，得到相應的方程.這就是說，解析幾何中的方程都具有幾何意義，且可巧妙運用這些方程的幾何意義來解題.本文主要探討一下方程[x0x=p（y+y0）]的幾何意義及其應用技巧.

方程[x0x=p（y+y0）]的幾何意義：若[P（x0，y0）]在拋物線[x2=2py]上，則拋物線[x2=2py]在[P（x0，y0）]處的切線方程為[x0x=p（y+y0）].

證明：由題意可知[p≠0]，對[y=x22p]求導得[y=xp]，

故拋物線在[P（x0，y0）]處切線的斜率為[x0p]，

所以拋物線在[P（x0，y0）]處切線的方程為[y-y0=x0p（x-x0）]，

而[P（x0，y0）]在拋物線上[x20=2py0]，所以切線的方程為[x0x=p（y+y0）].

根據(jù)該幾何意義，我們可以快速求得拋物線上某點處切線的方程，解答拋物線上某點處的切線問題.

例1.如圖1，若[P（x0，y0）]是拋物線[x2=2py]外一點，過點[P（x0，y0）]向拋物線[x2=2py]作兩條切線[PA， PB]，切點分別為[A（x1，y1），B（x2，y2）].求兩切點A、B所在直線的方程.

解：設PA所在直線的方程為[l1：x1x=p（y+y1）]，PB所在直線的方程為[l2：x2x=p（y+y2）]，

因為[l1，l2]都過點[P（x0，y0）]，所以[x1x0=p（y0+y1），x2x0=p（y0+y2），]

則A、B的坐標都滿足方程[x0x=p（y+y0）]，

所以兩切點A、B所在直線的方程為[x0x=p（y+y0）].

根據(jù)方程[x0x=p（y+y0）]的幾何意義，我們可以快速求得兩切點處切線的方程，建立關系式，進而求得問題的答案.

例2.如圖2，若[P（x0，y0）]是拋物線[x2=2py]內的任意一點，過點[P（x0，y0）]作拋物線的兩條割線[M1N1，M2N2]，并在割線與拋物線的四個交點處作切線[M1A，M2B，][N1A，N2B]，求切線的交點A、B所在直線的方程.

解：設點[A（x1，y1）]，點[B（x2，y2）]，

則[M1N1]所在直線的方程為[x1x=p（y+y1）]，

[M2N2]所在直線的方程為[x2x=p（y+y2）]，

因為兩條直線[M1N1，M2N2]都過點[P（x0，y0）]，

所以[x1x0=p（y0+y1），x2x0=p（y0+y2），]

則直線[x0x=p（y+y0）]過點[A（x1，y1），B（x2，y2），]

所以直線[x0x=p（y+y0）]即為[A，B]兩點所在直線的方程.

雖然割線是任意的，且點[A，B]的位置是不確定的，但是這兩點始終在直線[x0x=p（y+y0）]上.根據(jù)方程[x0x=p（y+y0）]的幾何意義，可以快速建立拋物線、割線、切點、切線的方程之間的關系式，獲得問題的答案.

例3.已知拋物線的方程為[x2=8y]，P為直線[y=-2]上的任意一點，過點[P]向拋物線作切線[PA，PB]，切點分別為A、B，則[|AB|]的最小值為[______].

解：設[P（x0，-2）]，則[AB]所在直線的方程為[l：x0x=4（y-2）]，

明顯[l]恒過點[Q（0，2），]又[Q]是拋物線[x2=8y]的焦點，

則[AB]為焦點弦，可得[|AB|]的最小值為[2p=8.]

根據(jù)方程[x0x=p（y+y0）]的幾何意義，可快速確定[AB]所在直線的方程為[l：x0x=4（y-2）]，進而利用拋物線的幾何性質和梯形中位線的性質順利求得最值.

解析幾何中的曲線與方程之間呈一一對應的關系，我們要對方程和曲線作深入的研究，學會挖掘方程的幾何意義，尋找一些解題的規(guī)律，將其應用于解題當中，這樣才能有效地提升解題的效率.