在解答代數(shù)問題時，學生經(jīng)常會出現(xiàn)這樣或者那樣的錯誤，這與學生的學習習慣、知識的掌握情況、思維能力等有關(guān).但是，這些錯誤也是一種資源，如果能很好地利用這些資源，就能有效地規(guī)避錯誤，提升學習的效率.下面簡要歸納一些常見錯誤.

一、錯用公式

在解答代數(shù)問題時，經(jīng)常要用到一些公式、性質(zhì)、定理、運算法則等，學生需熟記這些基礎(chǔ)知識，并將其靈活地應用于解題當中.但是很多學生經(jīng)常會將相似的公式混淆，或記錯公式，導致解題出錯.

例1.若[cos（π-x）=-32]，求滿足條件的[x]的集合.

錯解：[cos（π-x）=cosx=-32]，

則在[[0，2π]]內(nèi)滿足條件的角為[5π6]和[7π6]，

所以滿足條件的[x]的集合為[xx=2kπ+5π6或2kπ+7π6].

分析：出現(xiàn)該錯誤的原因在于學生錯用了余弦的誘導公式：[cos（π-x）=-cosx].

正解：[cos（π-x）=-cosx=-32]，則[cosx=32]，

則在[[0，2π]]內(nèi)滿足條件的角為[π6]和[11π6]，

所以滿足條件的[x]的集合為[xx=2kπ±π6].

應對策略：公式是解答代數(shù)問題的重要依據(jù)，在求值、化簡、證明題中都少不了要用到它.因此巧妙地記憶并熟練地使用公式是必須的.學生可以借助一些口訣或表格來記憶公式.對于誘導公式，可將任意一個角表示成[kπ2±α]（[k∈Z]）的形式，則誘導公式的口訣為：奇變偶不變，符號看象限.其意思是：若k為奇數(shù)，則改變函數(shù)的名稱；若k為偶數(shù)，則不改變函數(shù)的名稱，“變”與“不變”是相對于互余關(guān)系的函數(shù)而言的，正弦與余弦互余，正切與余切互余.所得結(jié)果的符號要根據(jù)角[kπ2±α]（將[α]看作銳角）所在的象限來確定.另外可以借助表格來熟記特殊角[0、π6、π4、π3、π2]的三角函數(shù)值，這樣就能順利求得正確的三角函數(shù)值.

二、審題不清

很多學生經(jīng)常會不仔細審讀題目，錯誤理解題目的意思，遺漏或誤判一些條件，導致解題失敗.還有的學生在解題時，連題目都沒讀懂就開始答題，出現(xiàn)審題不清的情況.

例2.解不等式[14-4x2≥x].

錯解：將原不等式移項，得[-4x2-x+14≥0]，

因為[Δ=225>0]，

所以[-4x2-x+14=0]的解為[x1=-2，x2=74]，

因此原不等式的解集是[x|x≤-2或x≥74].

分析：學生在做題時沒有注意：二次項系數(shù)是負數(shù)（即[a<0]），就直接根據(jù)拋物線的開口向下以及方程的兩根確定不等式的解集.事實上，在解二次不等式時，我們往往要先判斷二次項的系數(shù)，若為負數(shù)，則需把不等式化成二次項系數(shù)為正數(shù)的不等式，再求它的解集.

正解：將原不等式變形，得[4x2+x-14≤0]，

因為[Δ=225>0]，

所以[4x2+x-14=0]的解為[x1=-2，x2=74]，

因此原不等式的解集是[x|-2≤x≤74].

應對策略：在解題時，要認真讀題，準確理解題目的意思，抓住重點，同時要改掉急于求成的毛病，勾畫出關(guān)鍵的字詞、數(shù)據(jù)、條件，對其作深入的分析、研究，挖掘其隱含條件，不能因為遺漏一些關(guān)鍵條件式使題目無法解答，或顧此失彼無法找到解題的線索.

三、邏輯推理不嚴密

數(shù)學是一門邏輯非常嚴密的學科，在解題時稍不注意就會出現(xiàn)考慮不周、邏輯推理不嚴密的情況，這就很容易在解題時出現(xiàn)錯誤.

例3.已知正項等比數(shù)列[an]滿足[a7=a6+2a5]，若存在兩項[am，an]，使得[aman=16a12]，求[1m+9n]的最小值.

錯解：設(shè)數(shù)列[an]的公比為[q>0].

由[a7=a6+2a5]得[a6q=a6+2a6q]，即[q2-q-2=0]，

解得[q=2]或[q=-1]（舍）.

因為[aman=16a12]，所以[（a1qm-1）?（a1qn-1）=16a12]，

即[qm+n-2=16]，所以[m+n=6]，

于是[1m+9n=16（m+n）（1m+9n）=16（nm+9mn+10）≥16（2nm×9mn+10）][=83]，當且僅當[nm=9mn]，即[m=32，n=92]時取等號.

分析：出現(xiàn)該錯誤的根源在[m，n∈N?]時取不到等號.須得明確用基本不等式求最值的前提條件：一正二定三相等，這里忽視了“三相等”，出現(xiàn)了邏輯推理不嚴密的情況.另外經(jīng)驗證可知，當[m=2，n=4]時，[（1m+9n）min=114>83].

正解：設(shè)數(shù)列[an]的公比為[q>0].

由[a7=a6+2a5]得[a6q=a6+2a6q]，即[q2-q-2=0]，

解得[q=2]或[q=-1]（舍）.

因為[aman=16a12]，所以[（a1qm-1）?（a1qn-1）=16a12]，

即[qm+n-2=16]，所以[m+n=6]，

則[1m+9n=1m+96-m]，

令[f（x）=1x+96-x]（[x>0]），由[f（x）=0]得[x=32].

易知[f（x）]在[（0，32）]上單調(diào)遞減，在[（32，+∞）]上單調(diào)遞增，

所以當[x∈N?]時， [f（x）]在[x=1]或2處取得最小值，

又[f（1）=145，f（2）=114]，所以[f（x）min=f（2）=114].

應對策略：學生需夯實基礎(chǔ)，完善知識體系，加強邏輯思維的訓練.在讀題時，要仔細審題，不能丟三落四，看錯、用錯已知條件，或忽視隱含、附加條件.在分析問題時，要清晰、有條理地理清思路，根據(jù)上一步的結(jié)論和相關(guān)的公式、定理、性質(zhì)等進行推理，做到有理有據(jù)，不能生搬硬套.最后還需對所得的結(jié)果進行檢驗.

在日常學習中，學生需認真對待、分析、研究錯題，將錯題收集在錯題本中，對其產(chǎn)生錯誤的原因進行剖析，及時糾正錯誤、進行反思，并有針對性地展開訓練.這樣才能有效地提升學習的效率.