已知[a]克糖水中含有[b]克糖（[a>b>0]），再添加[m]克糖與m克水[（m>0）]（假設(shè)全部溶解），則糖水變甜了.將其用一個(gè)不等式表示為[ba<b+ma+m]，這就是糖水不等式.糖水不等式的形式較為特殊，在解題中應(yīng)用廣泛.下面主要介紹一下糖水不等式及其應(yīng)用技巧.

仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，糖水不等式左右兩側(cè)的式子均為分式，且右邊的分子、分母是在左邊的分子、分母的基礎(chǔ)上增加了同一個(gè)正數(shù).我們往往很難根據(jù)不等式的性質(zhì)直接得出這樣的分式，而利用糖水不等式便可以快速比較出[ba、b+ma+m]的大小.

根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)可知，若把糖水中的糖與水減掉[m]克，則糖水會(huì)變淡，于是得出一個(gè)不等式：若[a>b>m>0]，則[b-ma-m<ba]. 由此可知，若[a>b>m>0]，則[b-ma-m<ba<b+ma+m].

糖水不等式主要用來(lái)證明分式不等式、比較兩個(gè)分式的大小.在解題時(shí)，只需將分式的分子和分母同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)（或代數(shù)式），那么根據(jù)糖水不等式即可快速確定原分式的取值范圍，將原分式放大或者縮小.

例1.設(shè)[a=log32，b=log43，c=log54]，則（ ）.

A. [a<b<c] &nbsp; B. [c<b<a] C. [a<c<b] D. [c<a<b]

解：由糖水不等式可知[ln2ln3<ln2+ln43ln3+ln43=ln83ln4<ln3ln4]，

即[log32<log43]，同理可得[log43<log54].

綜上可知，[log32<log43<log54].故本題選A.

由于[a=log32=ln2ln3]，[b=log43=ln3ln4，c=log54=ln4ln5]，都是小于1的正分?jǐn)?shù)，所以可以利用糖水不等式來(lái)比較[log32、log43、log54]的大小，即可輕松解題.

例2.已知[n∈N*]，求證：[21×54×…×3n-13n-2>3n+13].

證明：記[S=21×54×…×3n-43n-5×3n-13n-2]，

則[S>32×65×…×3n-33n-4×3n3n-1]，

[S>43×76×…×3n-23n-3×3n+13n]，

將以上三式相乘，可得[S3>3n+1]，即[S>3n+13].

不等式左側(cè)的式子為n個(gè)分式的乘積，且n個(gè)分式的通項(xiàng)公式為[3n-13n-2].根據(jù)糖水不等式可得[3n-13n-2>3n3n-1、3n-13n-2>3n+13n]，將每個(gè)分式的分子、分母都加上1、2，并將三個(gè)式子相乘，即可根據(jù)不等式的可乘性證明不等式.

例3.證明不等式：[A+a+B+bA+a+B+b+c+r+B+b+C+cB+b+C+c+a+r>C+c+A+aC+c+A+a+b+r]，其中所有的字母都是正數(shù).

證明：易知[A+a+B+bA+a+B+b+c+r>A+aA+a+c+r>A+aC+c+A+a+b+r]，

[B+b+C+cB+b+C+c+a+r>C+cC+c+a+r>C+cC+c+A+a+b+r]，

將兩式相加即可得：

[A+a+B+bA+a+B+b+c+r+B+b+C+cB+b+C+c+a+r>C+c+A+aC+c+A+a+b+r].

本題的難度較大，采用常規(guī)方法證明的話比較復(fù)雜.不等式中的三個(gè)單項(xiàng)式均為分式，于是令糖水不等式[b-ma-m<ba<b+ma+m]中的[m]為[B+b]，然后通過(guò)放縮，使得其分母等于不等式右邊的分母，這樣將兩式相加即可證明不等式.

例4.設(shè)[an=3n-12]，證明：[1a1+1a2+…+1an<32].

證明：當(dāng)[n≥2]時(shí)，[0<23n-1<1]，

由糖水不等式得[1an=23n-1<2+13n=13n-1].

所以[1a1+1a2+…+1an<1+13+132+…+13n-1]

[=1?（1-13n）1-13=32（1-13n）<32].

由于[1an=23n-1]，所以[1an]不是等比數(shù)列，不能直接求和.但觀察其結(jié)構(gòu)可發(fā)現(xiàn)，只要根據(jù)糖水不等式將數(shù)列各項(xiàng)的分子、分母都加上1，即可構(gòu)成等比數(shù)列，便能根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求和，從而證明不等式.

運(yùn)用糖水不等式解題，關(guān)鍵要明確題目中分式的結(jié)構(gòu)特征，將其分子、分母同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)（式子），以將分式放縮.