求動點的軌跡方程問題經常出現(xiàn)在解析幾何試題中.這類問題側重于考查圓錐曲線的定義、方程、幾何性質等.求解這類問題的方法很多，常用的有待定系數法、直接法、相關點法.下面結合實例介紹幾種求動點的軌跡方程的途徑.

一、引入待定系數

若根據題意可以判斷出動點的軌跡是哪種曲線，如橢圓、圓、雙曲線等，則可以采用待定系數法來求動點的軌跡方程.引入待定系數，設出動點的軌跡方程，將相關的點的坐標代入所設的方程中，求得各個待定系數的值，即可求得動點的軌跡方程.

例1.已知[?ABC]的頂點C為動點，頂點A、B坐標分別為[-4，0，4，0]，且[sinA+sinB=54sinC]，求點C的軌跡方程.

解：因為[A、B]的坐標分別為[-4，0，4，0，]

所以[AB=8，]因為[sinA+sinB=54sinC]，

根據正弦定理可得[BC+AC=54×AB=54×8=10]，

由橢圓的定義可知C點在橢圓上.

設橢圓的方程為 [x2a2+y2b2=1]，則[2c=8]，[ 2a=10]，

可得a=5，c=4，則[b=3]，

則C點的軌跡方程為 [x225+y29=1（x≠±5）].

由[BC+AC=10]可聯(lián)想到橢圓的定義：動點到兩定點的距離之和為定值，便可確定C點的軌跡為橢圓，其中[A]、[B]為橢圓的焦點.引入待定系數a、b，設出橢圓的方程為[x2a2+y2b2=1]，求得a、b的值，即可求得動點的軌跡方程.

二、采用直接法

運用直接法求動點的軌跡方程，需直接根據已知的幾何關系，利用相關的定義、定理、性質建立動點所滿足的關系式，即可求得動點的軌跡方程.其步驟為：設點——建立方程——化簡——檢驗.

例2.若一條繩子的長為2a，兩個端點分別為A、B，繩的中點為P，若A、B分別在x軸和y軸上移動，求P點的軌跡方程.

解：設點P的坐標為[x，y]，

因為A、B分別在x軸和y軸上移動，

所以三角形AOB為直角三角形，

因為AB的中點為P，所以[OP=12AB=12×2a=a]，

由兩點間的距離公式可得[x2+y2=a]，

化簡得[x2+y2=a2]，即為P點的軌跡方程.

解題本題，需先提煉出有用的信息：（1）AB的中點為P；（2）A、B分別在x軸和y軸上移動，據此可推出：在直角三角形AOB中，中線OP等于斜邊AB的一半，即[OP=12AB]；然后根據兩點間的距離公式建立方程，即可得到關于P點的坐標的方程.

例3.已知圓[O：x2+y2=4]，點A坐標為[（4，0）]，過A點作一條直線與圓[O]相交于[B，C]兩點，求[BC]的中點M的軌跡方程.

解：設點[M]的坐標為[x，y]，

因為點[M]是[BC]的中點，所以[OM]⊥[BC]，

所以在[Rt?OMA]中，[|OM|2+|MA|2=|OA|2]，

即[x2+y2+x-42+y2=16]，

化簡得：[x-22+y2=4].

由于M在圓內，所以[x2+y2<4]，

則[x2+4-x-22<4]，解得[x<1]，

因為最大的弦長在x軸上，此時M點的橫坐標為0，

故[0≤x<1]，

所以點M的軌跡方程為[x-22+y2=4]（[0≤x<1]）.

解答本題主要運用了直接法，先設出P點的坐標；然后根據[OM]⊥[BC]建立關于x、y的方程，并求得x的取值范圍，即可得到P點的軌跡方程.值得注意的是，在消參或者代換的過程中要關注x、y的取值范圍.

例4.如圖，兩條互相垂直的直線[l1，l2]相交于點[P（2，4）]，直線[l1]與[x]軸的交點為A，直線[l2]與y軸的交點為B，求線段AB的中點[M]的軌跡方程.

解：設M點坐標為[x，y]，

因為M為AB的中點，

所以A（2x，0），B（0，2y），

因為直線[l1，l2]過點P（2，4），

所以[kPA=4-02-2x，kPB=4-2y2-0]，

而[l1⊥l2]，所以PA⊥PB，則[kPA?kPB=-1]，

即[42-2x×4-2y2=-1]，化簡得[x+2y-5=0]，

故點M的軌跡方程為[x+2y-5=0].

我們直接設出M的坐標，根據[l1⊥l2]，建立關于兩條直線的斜率的關系式，即可得到關于M的坐標的方程.

三、運用相關點法

如果點P的位置變化是由另外一點[P]的運動引起的，且點[P]的運動軌跡是已知的，就可以采用相關點法來求P點的軌跡方程.先設出點P的坐標；再根據點P與相關點[P]之間的關系，用點[P]的坐標表示點[P]的坐標；然后將[P]的坐標代入相應的軌跡方程，便可通過化簡得到點[P]的軌跡方程.

例5.已知[A2a，0]，點[B]是橢圓[x2a2+y2b2=1]上任意的一點，[AB]的中點為[M]，求點[M]的軌跡方程.

解：設點[M]的坐標為[x，y]，點B的坐標為[x0，y0]，

因為點[M]是[AB]的中點，

所以[x0+2a2=x，y0+02=y，可得x0=2x-2a，y0=2y，]

所以點[B2x-2a，2y]，

因為點[B]在橢圓[x2a2+y2b2=1]上，

所以[x02a2+y02b2=1]，即[2x-2a2a2+2y2b2=1]，

整理得[4x-a2a2+4y2b2=1]，即為點[M]的軌跡方程.

本題中A為定點，點B在橢圓上移動，點M的位置隨著點B的移動而發(fā)生變化，故可采用相關點法求動點M的軌跡方程.用點[M]的坐標表示點B的坐標，再將點B的坐標代入橢圓的方程中，即可通過化簡得點[M]的軌跡方程.

綜上所述，求動點的軌跡方程的方法多種多樣，每種方式各有其優(yōu)勢.同學們需熟練掌握并學會靈活運用上述幾種常用的解題方法，這樣才能在求動點的軌跡方程時信手拈來.