數(shù)列最值問題常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)相結(jié)合.常見的數(shù)列最值問題有：（1）求數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)；（2）求數(shù)列通項(xiàng)公式的最大值、最小值；（3）求數(shù)列和的最大值、最小值.本文將結(jié)合幾道例題，來談一談如何解答數(shù)列最值問題.

一、利用函數(shù)的性質(zhì)

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，具有單調(diào)性.一般地，若數(shù)列單調(diào)遞增，則當(dāng)n越大時(shí)，第n項(xiàng)越大；若數(shù)列單調(diào)遞減，則當(dāng)n越大時(shí)，第n項(xiàng)越小.在求解數(shù)列最值問題時(shí)，可以將目標(biāo)式視為關(guān)于n的一次函數(shù)式、二次函數(shù)式、指數(shù)函數(shù)式，即可利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來求最值.

例1.已知數(shù)列[an]為等差數(shù)列，[a2=-31，a5=-22].

（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和[Sn]的最小值.

解：（1）數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式為[an=3n-37]（過程略）；

（2）由（1）知[a1=-34，d=3，]

由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：

[Sn=-34n+nn-12×3=32n-7162-504124]，

因?yàn)閇n]為正整數(shù)，所以當(dāng)[n=12]時(shí)，[Sn]有最小值，計(jì)算得：[S12=-210].

將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和視為關(guān)于n的一元二次函數(shù)，對(duì)函數(shù)式進(jìn)行配方，便可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值.在求解數(shù)列最值問題時(shí)，需注意自變量n為自然數(shù)，千萬不能忽視此隱含條件，否則會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果.

二、放縮法

要求數(shù)列的最值，通常需求得目標(biāo)式的取值范圍.在解題時(shí)，我們不妨根據(jù)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行合理的變形，利用不等式的可加性、可減性、可乘性等將目標(biāo)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，如去掉一些多余的項(xiàng)或者是增加一些項(xiàng)，從而將目標(biāo)式化成更為簡便的形式，以順利求得目標(biāo)式的最值.

例2.已知數(shù)列[an]的每一項(xiàng)都是正數(shù)，其前[n]項(xiàng)和[Sn=n（n+3）4].若不等式[1S1+1S2+???+1Sn<M]恒成立，求[M]的最小值.

解：因?yàn)閇Sn=n（n+3）4]，所以[1Sn=43（1n-1n+3）].

則[1S1+1S2+???+1Sn=43×[（1-14）+（12-15）+???+（1n-1n+3）]=43×（116-1n+1-1n+2-1n+3）<229]，

所以[M≥229]，故實(shí)數(shù)[Mmin=229].

我們先將[1Sn=4n（n+3）]進(jìn)行裂項(xiàng)，便可運(yùn)用裂項(xiàng)相消法順利求得數(shù)列[1Sn]的前n項(xiàng)和；再舍棄[-1n+1]、[-1n+2]、[-1n+3]三項(xiàng)，便可利用放縮法求得數(shù)列的最值.

三、利用基本不等式

基本不等式[a+b≥2aba>0，b>0]是解答最值問題的常用工具.利用數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式將目標(biāo)式化簡后，即可嘗試通過代數(shù)變換配湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值，為使用基本不等式創(chuàng)造條件，便可順利求得最值.

例3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列[an]滿足[a7=a6+2a5]，若存在兩項(xiàng)[am和an]，使得[aman=22a1]，其中[m∈N*， n∈N*]，求[1m+1+4n]的最小值.

解：因?yàn)閇a7=a6+2a5]，則[a1q6=a1q5+2a1q4]，且[q>0]，

得[q2-q-2=0]，解得[q=2或-1（舍去）].

又因?yàn)閇aman=22a1]，則[a1×2m-1×a12n-1=22a1]，

可得[m+n=5，m+1+n=6]，

所以[1m+1+4n=16（1m+1+4n）（m+1+n）]

[=16[4（m+1）n+nm+1]+56].

由基本不等式可得：

[4（m+1）n+nm+1≥24（m+1）n?nm+1=4]，

當(dāng)且僅當(dāng)[4（m+1）n=nm+1]時(shí)取等號(hào)，此時(shí)[m=1，n=4]，

則[1m+1+4n]的最小值為[32].

在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要注意對(duì)取等號(hào)時(shí)的條件進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否滿足題意.若不滿足，則需要另外進(jìn)行討論.

總的來說，解答數(shù)列最值問題，關(guān)鍵在于先利用數(shù)列的性質(zhì)和題目中的已知條件對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行化簡、變形；再根據(jù)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇合適的方法來求最值.在解答的過程中，要將數(shù)列知識(shí)與函數(shù)知識(shí)、不等式知識(shí)等結(jié)合起來，以尋找到最佳的解題方案.