分段函數(shù)是對不同自變量的取值范圍有著不同解析式的函數(shù)，通常用幾段表示.相較于常規(guī)函數(shù)，分段函數(shù)較為復雜，我們通常需靈活運用分類討論思想來求解分段函數(shù)問題.下面主要談一談兩類分段函數(shù)問題的解法.

一、求值問題

分段函數(shù)的求值問題主要有求自變量的值、求函數(shù)的值、求參數(shù)的值.解答這類問題，需找準各個自變量對應的函數(shù)式，將相應的值代入函數(shù)式中進行運算、求解.在求得問題的答案后，要注意檢驗所求的值是否滿足已知條件、自變量的取值范圍，以確保推理的嚴謹、結(jié)果的正確.

例1.已知函數(shù)[f（x）=2x2+x，x≤0，-2x2，x>0，]若[f（f（a））-f（a）+1=0]，則a的值為_____.

解：令[f（a）=t]，因為[f（f（a））-f（a）+1=0]，

所以[f（t）-t+1=0];

當[t≤0]時，[2t2+t-t+1=0]，即[2t2+1=0]，該方程無解；

當[t>0]時，[-2t2-t+1=0]，

解得[t=12]或[t=-1]（舍去），即[f（a）=12].

當[a≤0]時，[2a2+a=12]，整理得[4a2+2a-1=0]，

解得[a=-1-54]或[a=-1+54]（舍去）.

當[a>0]時，[-2a2=12]，該方程無解.

所以a的值為[-1-54].

已知關系式中涉及了復合函數(shù)，需先令[f（a）=t]，通過換元、解方程求得[f（a）]的值；然后通過分類討論求關于a的方程的解，即可得到參數(shù)a的值.

例2.已知函數(shù)[f（x）=4x， x≤0，2f（x-1）-2f（x-2）， x>0，]則[f（2023）]的值為____.

解：當[x>0]時， [f（x）=2f（x-1）-2f（x-2）]①.

令[x=x+1]，則[f（x+1）=2f（x）-2f（x-1）]②.

由①②可得[f（x+1）=2f（x-1）-4f（x-2）]，

令[x=x+1]，則[f（x+2）=2f（x）-4f（x-1）]③，

將①代入到③中得到[f（x+4）=-4f（x）].

則[f（2023）=f（4×506-1）=（-4）506f（-1）=4505=21010.]

解答本題，需先仔細研究當[x>0]時函數(shù)的解析式，通過代換得出[f（x+4）=-4f（x）]，即可根據(jù)該結(jié)論找出函數(shù)值與自變量之間的變化規(guī)律；然后將x=2023、-1代入，即可快速獲得問題的答案.

二、求分段函數(shù)零點的個數(shù)

求分段函數(shù)零點的個數(shù)，需分別討論每個區(qū)間段上函數(shù)與x軸的交點，或方程[f（x）=0]的根的個數(shù).我們可以令每個區(qū)間段上的函數(shù)為0，通過解幾個方程來求零點的個數(shù)；也可以畫出函數(shù)在每個區(qū)間段上的圖象，通過數(shù)形結(jié)合，找出零點.

例3.已知函數(shù)[f（x）=x+1x，x<0，lnx，x>0， ]若函數(shù)[g（x）=f（x）+a]有2個零點，求函數(shù)[h（x）=f（f（x）+a）+a]零點的個數(shù).

解：根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，如圖所示.

因為當[x<0]時，[x+1x≤-2]，則當[a=2]時，函數(shù)[f（x）]的圖象和直線[y=-a]有2個交點，此時[h（x）=f（f（x）+2）+2].

令[h（x）=0]，

則[f（f（x）+2）=-2].

令[t=f（x）+2]，則[t<0，t+1t=-2，]或[t>0，lnt=-2，]

解得[t=-1]或[t=1e2].

則[f（x）+2=-1]或[f（x）+2=1e2]，

可得[f（x）=-3]或[f（x）=1e2-2>-2.]

由圖可知當[f（x）=-3]時，[h（x）=f（f（x）+a）+a]有3個零點；當[f（x）=1e2-2]時，[h（x）=f（f（x）+a）+a]有1個零點，則總共有4個零點.

我們根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，便可通過研究函數(shù)的圖象，確定函數(shù)[f（x）]的圖象和直線[y=-a]的交點，通過研究臨界情形：[a=2]，求得問題的答案.

由上述分析可知，分段函數(shù)問題中往往會涉及多種類型的函數(shù)，較為復雜.同學們要學會靈活運用分類討論思想，將問題拆分為每個區(qū)間段上的函數(shù)求值問題、零點個數(shù)問題來求解.