函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合.求函數(shù)的值域問題比較常見，這類問題側(cè)重于考查同學(xué)們的直觀想象和運(yùn)算能力.解答函數(shù)的值域問題的方法很多，如分離常數(shù)法、反函數(shù)法、換元法、圖象法、判別式法、函數(shù)性質(zhì)法等.下面結(jié)合實(shí)例談一談求函數(shù)值域的幾種方法.

一、分離常數(shù)法

若題目中給出的函數(shù)式為分式，如[y=cx+dax+b（a≠0）]，通?？刹捎梅蛛x常數(shù)法來解題.首先將函數(shù)式變形為[y=m+nax+b]的形式，這樣便可以將常數(shù)分離出來，只需根據(jù)基本不等式、反比例函數(shù)的單調(diào)性求得分式[nax+b]的取值范圍，就能順利求得函數(shù)的值域.

例1.求函數(shù)[y=2x-1x+3]的值域.

解：由函數(shù)的解析式可知[x+3≠0，]所以[x≠-3，]

而[y=2（x+3）-7x+3=2-7x+3]，

因?yàn)閇7x+3≠0]，所以[y≠2].

所以函數(shù)的值域?yàn)閇y∈-∞，2?（2，+∞）].

先將函數(shù)式中的分子化為分母的倍數(shù)；然后通過約分將函數(shù)式簡化，使得常數(shù)被分離出來；再求得[7x+3]的取值范圍，即可解題.

二、反函數(shù)法

原函數(shù)中的y即為反函數(shù)中的x，相應(yīng)的，原函數(shù)中的x即為反函數(shù)中的y.在求原函數(shù)的值域較為困難時(shí)，我們不妨采用反函數(shù)法，求出反函數(shù)及其定義域，即可求得原函數(shù)的值域.須得注意，運(yùn)用反函數(shù)法解題的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù).

以例1為例.

解：由[y=2x-1x+3]可知其反函數(shù)為[y=-3x-1x-2]，

其定義域?yàn)閇x≠2]，所以原函數(shù)的值域?yàn)閇y≠2].

所以函數(shù)的值域?yàn)閇y∈-∞，2?（2，+∞）].

在運(yùn)用反函數(shù)法解題時(shí)，往往要根據(jù)整式的性質(zhì)，如根號(hào)下的式子大于或等于0、絕對值大于或等于0、分式的分母不為0，等等來求得反函數(shù)的定義域.

三、函數(shù)性質(zhì)法

函數(shù)性質(zhì)法是解答代數(shù)問題的常用方法.在求函數(shù)的值域時(shí)，我們經(jīng)常要用到函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、有界性.

1.利用函數(shù)的單調(diào)性

利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，要先確定函數(shù)的定義域；然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義、簡單基本函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則“同增異減”，來判斷出函數(shù)的單調(diào)性；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的值域.一般地，若函數(shù)在[a，b]上單調(diào)遞增，則函數(shù)的值域?yàn)閇f（a），f（b）]；若函數(shù)在[a，b]上單調(diào)遞減，則函數(shù)的值域?yàn)閇f（b），f（a）].

例2.求函數(shù)[f（x）=x-4-x2]的值域.

解：因?yàn)閇4-x2≥0]，所以[-2≤x≤2].

由[f（x）=1+x4-x2≥0]得[-2≤x≤2]，

則[f（x）]在該區(qū)間上單調(diào)遞增.

由[f（x）=1+x4-x2≤0]得[-2≤x≤-2]，

則[f（x）]在該區(qū)間上單調(diào)遞減.

所以[f（x）max=f（2）=2]， [f（x）min=f（-2）=-22].

所以[f（x）]的值域?yàn)閇-22，2].

解答本題，需先根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)的定義域；然后對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極大值、極小值，從而求得函數(shù)的值域.一般地，若在某區(qū)間上[f（x）>0]，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；若在某區(qū)間上[f′（x）<0]，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.

2. 利用函數(shù)的有界性

我們知道，函數(shù)具有有界性，如當(dāng)[0≤x≤π2]時(shí)，[0≤sinx≤1]，[0≤cosx≤1]；當(dāng)[x∈R]，[a∈R]時(shí)，[sinα≤1，x2≥0，ax>0].在求函數(shù)的值域時(shí)，我們可以直接根據(jù)函數(shù)的定義域和有界性來解題.

例3.求函數(shù)[f（x）=sinx+1cosx-2]的值域.

解：令[f（x）=sinx+1cosx-2=t]，則[tcosx-sinx=2t+1].

由輔助角公式可得[t2+1cosx+?=2t+1]，

所以[cosx+?=2t+1t2+1].

所以[cosx+?=2t+1t2+1≤1]，解得[-43≤t≤0].

所以[f（x）]的值域?yàn)閇-43，0].

求三角函數(shù)的值域，往往要先利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、輔助角公式等將函數(shù)式化為只含一種函數(shù)名稱的式子；再根據(jù)三角函數(shù)的有界性求最值.

四、換元法

求函數(shù)的值域常用的換元方法有整體換元、局部換元、三角換元.對于形如[y=ax+b±cx+d]、[y=ax+bcx+d]、[y=cx+dax+b]（a、b、c、d為常數(shù)，[ac≠0]）的無理函數(shù)式，通?？梢圆捎脫Q元法，將根式或根號(hào)下的式子用新元替換，如令[cx+d=t（t≥0）]，即可將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為簡單基本函數(shù)式，利用簡單基本函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域.

以例2為例.

解：令[x=2sinθ，θ∈-π2，π2]，

則[f（x）=f（θ）=2sinθ-2cosθ=22sin（θ-π4）]，

因?yàn)閇θ-π4∈-3π4，π4]，

所以[f（x）max=22sinπ4=2]，

[f（x）min=22sin-π2=-22]，

所以[f（x）]的值域?yàn)閇-22，2].

在求無理函數(shù)的值域時(shí)，可以根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式[sin2θ+cos2θ=1]進(jìn)行換元，從而將函數(shù)式中的根號(hào)去掉，便可以將問題轉(zhuǎn)化為正余弦函數(shù)的最值問題.

五、圖象法

若容易畫出函數(shù)的圖象，或根據(jù)函數(shù)式的幾何意義畫出相應(yīng)的圖形，則可以運(yùn)用圖象法，通過研究圖形中的點(diǎn)、曲線的位置關(guān)系來找到函數(shù)式取最值的臨界情形，從而求得問題的答案.

以例3為例.

解：如圖，設(shè)[A2，-1]，[B（cosx，sinx）]，則點(diǎn)B在單位圓[x2+y2=1]上，函數(shù)[f（x）=sinx+1cosx-2]可視為定點(diǎn)A與單位圓上任意一點(diǎn)B的連線的斜率.由圖可知，當(dāng)直線AB與單位圓相切時(shí)直線AB的斜率取得最值.

由于AB1∥x軸，所以[kAB1=0]，[kAB2=-tanB1AB2=-2tanB1AO1-tan2B1AO.]

而[tanB1AO=12]，所以[kAB2=][-43].所以[f（x）]的值域?yàn)閇-43，0].

將函數(shù)式視為定點(diǎn)[A2，-1]到單位圓上的點(diǎn)B的連線的斜率，即可將問題轉(zhuǎn)化為求直線的斜率的取值范圍問題.我們只需仔細(xì)研究圖形，移動(dòng)直線AB，找到AB斜率取得最值的情形，即可解題.

六、判別式法

若分式函數(shù)中含有二次項(xiàng)，則可以運(yùn)用判別式法求解.令函數(shù)式為y，并將其視為參數(shù)，把函數(shù)式變形為關(guān)于x的一元二次方程.而方程有實(shí)根，則方程的判別式[Δ≥0]，即可通過解不等式求出函RM3MJ4kdHALnk4xRvi0jsw==數(shù)的值域.

以例3為例.

解：由萬能公式知[sinα=2tanα21+tan2α2，cosα=1-tan2α21+tan2α2]，

令[tanx2=t]，則[f（x）=sinx+1cosx-2=-t2+2t+13t2+1=y].

變形可得[1+3yt2+2t+y+1=0].

當(dāng)[y=-13]時(shí)，[t=-13].

當(dāng)[y≠-13]時(shí)，[Δ=4-4（1+3y）（1+y）≥0]，

解得[-43≤y≤0，]且[y≠-13].

所以[f（x）]的值域?yàn)閇-43，0].

對于形如[y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2（a1]、[a2]不同時(shí)為0）的函數(shù)式，通?？梢圆捎门袆e式法，將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)判別式[Δ≥0]求解.

總之，求函數(shù)的值域，往往需仔細(xì)研究函數(shù)的解析式、定義域、圖象、性質(zhì).這就要求我們熟練掌握函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，并將其靈活地應(yīng)用于解題當(dāng)中.