含參不等式恒成立問(wèn)題常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識(shí)相結(jié)合，這類問(wèn)題的難度往往較大，需靈活運(yùn)用函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想來(lái)輔助解題.下面結(jié)合實(shí)例，介紹幾種解答含參不等式恒成立問(wèn)題的措施.

一、分離參變量

當(dāng)含參不等式中的參數(shù)、變量容易被分離時(shí)，可以采用分離參變量的方法來(lái)解題.先利用不等式的性質(zhì)，通過(guò)變形將不等式中的參數(shù)、變量分別置于不等式的兩側(cè)；然后將含有變量的式子構(gòu)造成函數(shù)，使得參數(shù)恒大于或小于函數(shù)的最值，即可解題.

例1.若不等式[ax-lnx-1≥0]恒成立，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍為______.

解：因?yàn)閇x>0]，所以[ax-lnx-1≥0]可變形為[a≥lnx+1x]，

令[gx=lnx+1xx>0]，要使不等式恒成立，只需使[a≥gxmax].

因?yàn)閇gx=-lnxx2]，所以當(dāng)[0<x<1]時(shí)，[gx>0]，則[g（x）]單調(diào)遞增；當(dāng)[x>1]時(shí)，[gx<0]，則[g（x）]單調(diào)遞減，

所以[gxmax=g1=1]，

所以[a≥1]，即實(shí)數(shù)[a]的取值范圍為[1，+∞].

先將不等式變形，使得參變量分離，得出[a≥lnx+1x]；然后構(gòu)造函數(shù)[gx=lnx+1xx>0]，只要使[a≥gxmax]，即可確保不等式恒成立；最后通過(guò)研究[g（x）]的導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極大值，便可求得參數(shù)a的取值范圍.

例2.若[x2-2alnx≥0]在[1，+∞]上恒成立，求參數(shù)[a]的取值范圍.

解：因?yàn)閇x∈1，+∞]，所以[lnx>0]，

將[x2-2alnx≥0]變形可得[2a≤x2lnx]，

設(shè)[gx=x2lnx]，[x∈1，+∞]，則[gx=x2lnx-1ln2x]，

所以當(dāng)[x>e]時(shí)，[gx>0]，則[gx]單調(diào)遞增，當(dāng)[1<x<e]時(shí)，[gx<0]，則[gx]單調(diào)遞減，所以[gxmin=ge=elne=2e]，

要使[x2-2alnx≥0]在[1，+∞]上恒成立，需使[2a≤2e]，解得[a≤e]，

因此參數(shù)[a]的取值范圍為[-∞，e].

一般地，運(yùn)用參變量分離法解題，需將不等式中的參變量分離，并構(gòu)造函數(shù)，將[a>fx]（或[a<fx]）恒成立，轉(zhuǎn)化為[a>fxmax]（或[a<fxmin]）成立，通過(guò)求最值使問(wèn)題順利得解.

二、構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)

有時(shí)將不等式進(jìn)行合理的變形，可使不等式兩側(cè)的式子為同構(gòu)式，即兩式的結(jié)構(gòu)相同，形式相似，此時(shí)便可以根據(jù)同構(gòu)式的特征構(gòu)造出同構(gòu)函數(shù)，將不等式兩側(cè)的式子視為取不同自變量時(shí)的函數(shù)式.然后判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解題.

例3.若關(guān)于[x]的不等式[ex+3a>alnax-3aa>0]恒成立，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍為（ ）.

A. [（0，e4）] B. [0，e3] C. [0，e-2] D. [0，e-4]

解：由題意可知[a>0]，[ax-3a>0]，解得[x>3]，

則原不等式可化為[exa+3>ln（x-3）+lna]，

即[ex-lna+x-lna>ln（x-3）+eln（x-3）]，

設(shè)[f（x）=ex+x]，

原不等式可化為[f（x-lna）>f[ln（x-3）]]，

易知[f（x）]是[R]上的增函數(shù)，

所以[x-lna>ln（x-3）]，即[lna<x-ln（x-3）]，

設(shè)[g（x）=x-ln（x-3）]，則[g（x）=1-1x-3=x-4x-3]，

當(dāng)[3<x<4]時(shí)，[g（x）<0]，則[g（x）]單調(diào)遞減，當(dāng)[x>4]時(shí)，[g′（x）>0]，則[g（x）]單調(diào)遞增，

所以[g（x）min=g（4）=4-ln（4-3）=4]，

所以[lna<4]，即[a<e4]，綜上可知[0<a<e4]．故選A．

先將不等式變形為[ex-lna+x-lna>ln（x-3）+eln（x-3）]，即可使不等式左右兩邊的式子成為同構(gòu)式，便可構(gòu)造出同構(gòu)函數(shù)[f（x）=ex+x]；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將原不等式化簡(jiǎn)，就能求得參數(shù)[a]的取值范圍.一般地，把不等式化為同構(gòu)式后，即可將不等式轉(zhuǎn)化為[f（x1）>f（x2）]或[f（x1）<f（x2）]，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式簡(jiǎn)化為[x1>x2]（或[x1<x2]）．

三、放縮不等式

對(duì)于某些較為復(fù)雜的不等式恒成立問(wèn)題，可以利用幾個(gè)常用的重要不等式：①[ex≥x+1]（僅當(dāng)[x=0]取等號(hào)）；②[ln（x+1）≤x]（僅當(dāng)[x=0]取等號(hào)）；③[lnx≤x-1<x]（僅當(dāng)[x=1]取等號(hào)）；④當(dāng)[x≥0]時(shí)，[x≥sinx]（僅當(dāng)[x=0]取等號(hào)）等，將不等式進(jìn)行放縮，從而將原不等式化簡(jiǎn)，快速獲得問(wèn)題的答案.

例4.已知函數(shù)[fx=eax-2axa∈R，a≠0].

（1）討論[fx]的單調(diào)性；

（2）若不等式[fx≥sinx-cosx+2-2ax]對(duì)任意[x≥0]恒成立，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍.

解：（1）[fx=eax-2ax]，則[fx=aeax-2a=aeax-2]，

當(dāng)[a>0]時(shí)，由[fx<0]得[x<ln2a]，由[fx>0]得[x>ln2a]，

所以[fx]在區(qū)間[-∞，ln2a]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[ln2a，+∞]上單調(diào)遞增；

當(dāng)[a<0]時(shí)，由[fx<0]得[x<ln2a]；由[fx>0]得[x>ln2a]；

所以[fx]在區(qū)間[-∞，ln2a]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[ln2a，+∞]上單調(diào)遞增.

綜上可知[fx]在區(qū)間[-∞，ln2a]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[ln2a，+∞]上單調(diào)遞增.

（2）由題意得[eax≥sinx-cosx+2]對(duì)任意[x≥0]恒成立，

令[hx=eax-sinx+cosx-2]，則[hx=aeax-cosx-sinx].

當(dāng)[a≥1]時(shí)，[aeax≥ex，hx≥ex-cosx-sinx].

令[ux=x-sinxx≥0]，則[ux=1-cosx≥0]，

所以[ux]在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增，且[ux≥u0=0]，

即[x≥sinx]，令[vx=ex-x-1x≥0]，則[vx=ex-1≥0]，

所以[vx]在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增，且[vx≥v0=0]，即[ex≥x+1]，

所以當(dāng)[x≥0]時(shí)，[ex≥x+1≥sinx+1]，

則[hx≥ex-cosx-sinx≥1-cosx≥0]，

所以[hx]在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增，

且[hx≥h0=0]，即[eax≥sinx-cosx+2]恒成立.

當(dāng)[a<1]時(shí)，[h0=a-1<0]，存在實(shí)數(shù)[x0>0]，使得[?x∈0，x0]，均有[hx<0]，

則[hx]在區(qū)間[0，x0]上單調(diào)遞減，且[hx<h0=0]，不符合題意.

綜上可知，實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[1，+∞].

解答本題第二個(gè)小問(wèn)題主要采用了放縮法，利用重要不等式[ex≥x+1]、[ex≥x+1≥sinx+1]，將原不等式簡(jiǎn)化，從而快速求得參數(shù)a的取值范圍.

四、數(shù)形結(jié)合

有些不等式問(wèn)題中涉及了簡(jiǎn)單基本初等函數(shù)，此時(shí)我們便可以采用數(shù)形結(jié)合法，畫出函數(shù)的圖象，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸，兩個(gè)函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系問(wèn)題，就能借助圖形快速找到使不等式恒成立的臨界情形，從而獲得問(wèn)題的答案.

例5.已知[lnxx≥mx-m]恒成立，則[m]的取值范圍為______．

解：設(shè)[fx=lnxx]，[y=m（x-1）]，

由[fx=lnxx]可得[fx=1-lnxx2]，

故當(dāng)[x∈（0，e）]時(shí)，[f（x）>0]，則[f（x）]單調(diào)遞增；當(dāng)[x∈（e，+∞）]時(shí)， [f（x）<0]，則[f（x）]單調(diào)遞減，

由[f（x）=0]得[x=1]，是唯一零點(diǎn)，

又[fx=-lnxx，0<x<1，lnxx，x≥1，][y=m（x-1）]是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)[（1，0）]的直線，在同一坐標(biāo)軸系中畫出兩個(gè)函數(shù)[y=fx]，[y=m（x-1）]的圖象，如圖所示.

顯然，當(dāng)[m>0]時(shí)不等式不成立，當(dāng)[m=0]時(shí)，[f（x）≥0]成立，

當(dāng)[m<0]時(shí)，[y=m（x-1）]和[y=g（x）=-lnxx]相切于[（1，0）]，

對(duì)[y=g（x）=-lnxx]求導(dǎo)可得[g（x）=lnx-1x2]，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得[m=g（1）=-1]，由圖可知，只有當(dāng)[m∈-1，0]時(shí)，[fx≥mx-m]恒成立，所以[m]的取值范圍為[-1，0].

利用數(shù)形結(jié)合法解答含參不等式恒成立問(wèn)題，需將不等式拆分為幾個(gè)簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)，以便快速畫出函數(shù)的圖象，通過(guò)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)獲得問(wèn)題的答案.運(yùn)用這種方法解題，不僅省時(shí)省力，還有助于培養(yǎng)直觀想象能力.

從以上分析可以看出，對(duì)于含參不等式恒成立問(wèn)題，我們不僅要了解這些常用解題方法的特點(diǎn)和適用條件，還要仔細(xì)研究不等式，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，將其進(jìn)行合理的拆分、變形、化簡(jiǎn)，針對(duì)不同的條件選用合適的方法進(jìn)行求解.