我們一般用數(shù)列的第n項來表示數(shù)列的通項公式，該式是一個關(guān)于n的式子.求數(shù)列的通項公式的途徑很多，如利用[Sn]與[an]之間的關(guān)系、累加（乘）法、構(gòu)造法等.筆者對其中三種途徑進(jìn)行了總結(jié)，下面作詳細(xì)的介紹.

一、利用[Sn]與[an]之間的關(guān)系

當(dāng)遞推關(guān)系式中含有[Sn]和[an]時，可以考慮利用[Sn]與[an]之間的關(guān)系：[an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，]來求數(shù)列的通項公式.首先令[n=1]，求出首項[a1]的值；然后分別求得[Sn]、[Sn-1]的表達(dá)式，并將兩者作差得[an=Sn-Sn-1]；最后化簡，即可求出數(shù)列的通項公式.

例1.已知數(shù)列[an]的前[n]項和為[Sn]，且[Sn=2an+1]，求數(shù)列[an]的通項公式.

解：令[n=1]，由[Sn=2an+1]可得[a1=S1=2a1+1]，即[a1=-1].

當(dāng)[n≥2]時，由[Sn=2an+1]可得[Sn-1=2an-1+1]，

根據(jù)[Sn]與[an]之間關(guān)系可得，[an=Sn-Sn-1=2an+1-2an-1+1=2an-2an-1]，

即[an=2an-1]，

所以[an]是首項為[a1=-1]，公比為[q=2]的等比數(shù)列.

由等比數(shù)列的通項公式可得[an=-1×2n-1=-2n-1].

已知關(guān)系式[Sn=2an+1]中含有[Sn]和[an]，需用[Sn]與[an]的關(guān)系解題，首先求出[a1]；然后將[Sn]、[Sn-1]作差并化簡，得出[an=2an-1]，即可發(fā)現(xiàn)[an]為等比數(shù)列，便可根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列[an]的通項公式.

二、累加（乘）法

當(dāng)數(shù)列的遞推關(guān)系形如[an+1-an=f（n）]時，可以考慮用累加法求通項公式，即[a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=an（n≥2，n∈N+）.]當(dāng)遞推關(guān)系形如[an+1an=f（n）]時，可以用累乘法求通項公式，即[f（1）?f（2）?…?f（n-1）=a1?a2a1?a3a2?…?anan-1=an.]

例2.在數(shù)列[an]中，[a1=1]，若[an-an-1=n-1]，求數(shù)列[an]的通項公式.

解：由[an-an-1=n-1]可得[an-an-1=n-1]，[an-1-an-2=n-2]，[…]，[a3-a2=2]，[a2-a1=1]，

將上述式子累加可得[an-a1=1+2+3+…+（n-1）=[1+（n-1）]（n-1）2]，

由[a1=1]得[an=n2-n+22].

[an-an-1=n-1]形如[an+1-an=f（n）]，于是運(yùn)用累加法，將n=1，2，3，…，n-1時的這[n-1]個式子累加，即可求得當(dāng)[n≥2]時[an]的表達(dá)式.

三、構(gòu)造法

對于結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的遞推關(guān)系式，可以試著轉(zhuǎn)換思路，構(gòu)造一個輔助數(shù)列，如此就可以將復(fù)雜問題變?yōu)槲覀兪煜さ牡炔?、等比?shù)列的通項公式問題，從而順利解題.

例3.在數(shù)列[an]中，[a1=1]，[an+1=2an+5]，求數(shù)列[an]的通項公式.

解：令[an+1+t=2（an+t）]，則[an+1=2an+t]；

由[an+1=2an+5]可知[t=5]，

則數(shù)列[{an+5}]是以[a1+5=6]為首項，[2]為公比的等比數(shù)列，

所以[an+5=6?2n-1]，則[an=3?2n-5].

由[an+1=2an+5]可知[an]既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，很難采用常規(guī)方法求得數(shù)列的通項公式，于是引入?yún)?shù)[t]，構(gòu)造出等比數(shù)列[{an+5}]，通過求該等比數(shù)列的通項公式求得問題的答案.一般地，對于形如[an+1=pan+q]（[p]、[q]為非零常數(shù)）的遞推關(guān)系式，可以構(gòu)造出輔助數(shù)列[{an+t}]，用構(gòu)造法求出數(shù)列[an]的通項公式.

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的遞推關(guān)系式多種多樣，但我們只要將其合理變換，就可以將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的、簡單的形式，從而快速求出數(shù)列的通項公式.