解答函數(shù)值域問題需綜合運用函數(shù)的解析式、定義域、單調性、對稱性、奇偶性、圖象等.求解函數(shù)值域問題的常用方法有：導數(shù)法、換元法、反函數(shù)法、分離常數(shù)法.下面結合實例作詳細的介紹.

一、導數(shù)法

導數(shù)法是解答函數(shù)問題的重要方法.運用導數(shù)法解答函數(shù)值域問題，需先根據(jù)求導公式、求導法則對函數(shù)式進行求導；然后根據(jù)導函數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系判斷出函數(shù)在定義域內各個子區(qū)間上的單調性；再結合函數(shù)的單調性求得函數(shù)的極值，判斷出函數(shù)圖象的大致走勢，通過分析函數(shù)的圖象，找出函數(shù)的最大值、最小值，進而求得函數(shù)的值域.

例1.若函數(shù)[y=e2x+2a+xex+a2]的最小值為[ga]，則函數(shù)[y=ga]的值域為____.

解：令[fx=e2x+2a+xex+a2， x∈R]，

則[fx=2e2x+x+2a+1ex=ex2ex+x+2a+1]，

令[hx=2ex+x+2a+1，x∈R]，

則[hx=2ex+1>0]，

所以[hx]在[R]上單調遞增，

由于[fx]有最小值，故[hx]有唯一零點[x0]使[hx0=2ex0+x0+2a+1=0]，①

因為在[-∞，x0]上[fx<0]，所以函數(shù)[fx]單調遞減；

而在[x0，+∞]上[fx>0]，所以函數(shù)[fx]單調遞增；

則[fx]的最小值為[fx0=e2x0+x0+2aex0+a2]，

即[ga=e2x0+x0+2aex0+a2][=a+ex02+x0ex0]，

根據(jù)二次函數(shù)性質可得，當[a=-ex0]時，[ga]取得最小值[x0ex0]，

則[2ex0+x0-2ex0+1=0]，即[x0=-1]，

可知[ga]最小值為[-e-1=-1e].

故函數(shù)[y=ga]的值域為[-1e，+∞].

解答本題，需對函數(shù)進行二次求導，根據(jù)導函數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系判斷出函數(shù)的單調性，進而確定函數(shù)的極小值.一般地，在求得函數(shù)的極值后，只需將函數(shù)的極值與定義域端點處的函數(shù)值相比較，就可以確定函數(shù)的值域.

二、換元法

對于較為復雜的函數(shù)，如含有根式、絕對值、高次冪、多個單項式等，我們通常要采用換元法來求函數(shù)的值域.首先選取合適的式子或其中某一部分用一個新元替換，這樣通過換元，便可將函數(shù)式化為簡單的一次函數(shù)式、二次函數(shù)式、指數(shù)函數(shù)式、冪函數(shù)式等，就能直接利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性來求最值，從而確定原函數(shù)的值域.

例2.已知函數(shù)[fx=x+x-1]，求該函數(shù)的值域.

解：令[x-1=tt≥0]，∴[x=t2+1]，

∴[ft=t2+t+1=t+122+34]，

由二次函數(shù)的性質可得當[t=0]時， [ft]取最小值為[ftmin=1]，

∴函數(shù)[fx]的值域為[1，+∞.]

該函數(shù)式中含有根式，于是令[x-1=tt≥0]，即可將原函數(shù)式化為關于t的二次函數(shù)式.然后進行配方，根據(jù)二次函數(shù)的單調性和有界性求得函數(shù)的值域.

例3.求函數(shù)[y=x+1-x2]的值域.

解：∵[1-x2≥0]，∴[-1≤x≤1]，

設[x=sint-π2≤t≤π2]，

∴[y=x+1-x2]等價于[y=sint+cost=2sint+π4]，

∵[-π2≤t≤π2]，∴[-π4≤t+π4≤3π4]，

可知[-22≤sint+π4≤1]，

即[-1≤2sint+π4≤2]，

∴原函數(shù)的值域為[-1，2].

由[1-x2]聯(lián)想到正弦函數(shù)的誘導公式，于是令[x=sint-π2≤t≤π2]，通過三角換元，將函數(shù)式化為三角函數(shù)式.然后根據(jù)輔助角公式進行化簡，即可利用正弦函數(shù)的有界性和單調性求得函數(shù)的值域.在換元的過程中，要關注新舊元取值范圍的等價性.

三、反函數(shù)法

我們知道，反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域.反函數(shù)法是指通過求反函數(shù)的定義域來求得原函數(shù)的值域.運用反函數(shù)法解題，需先將函數(shù)式中的x、y替換，求得函數(shù)的反函數(shù)[f-1x]；然后根據(jù)已知條件以及整式的性質，如分式的分母不為0、根號下的式子為非負數(shù)等，求其自變量[x]的范圍，即可確定反函數(shù)的定義域.

例4.求函數(shù)[y=x+1x+2]的值域.

解：函數(shù)[y=x+1x+2]的反函數(shù)為：[x=2y-11-y]，

即[f-1x=2x-11-x]，其定義域為[x≠1]，

故函數(shù)y的值域為[y|y≠1，y∈R].

我們根據(jù)原函數(shù)的解析式求得反函數(shù)[f-1x=2x-11-x]，即可根據(jù)分式的分母不為0，求得反函數(shù)的定義域，從而求得原函數(shù)的值域.

四、分離常數(shù)法

分離常數(shù)法適用于求分式函數(shù)的值域.在解題時，需先將分式的分子配湊為分母的倍數(shù)、平方、立方、n次方等；再通過約分，將分式化為“整式+最簡分式”的形式，這樣便可將常數(shù)分離出來，只需根據(jù)反比例函數(shù)的單調性、基本不等式求最簡分式的最值，即可求得函數(shù)的值域.

例5.已知函數(shù)[fx=2-3xx-1]，則函數(shù)的值域為_____.

解：由[fx=2-3xx-1]可知[x≠1]，

則函數(shù)的定義域為[-∞，1?1，+∞]，

[fx=2-3xx-1=-3x-1-1x-1=-3-1x-1]，

而[x-1≠0]，則[1x-1≠0]，即[-3-1x-1≠-3]，

故函數(shù)[fx=2-3xx-1]的值域為[-∞，-3?-3，+∞].

將分子化為[-3x-1-1]，即可通過約分將函數(shù)式化為“常數(shù)+最簡分式”的形式.那么根據(jù)函數(shù)的定義域求得[1x-1]的范圍，就能求得函數(shù)的值域.

例6.已知[x>-1]，求函數(shù)[fx=x2+7x+10x+1]的最小值.

解：∵[x>-1]，∴[x+1>0]，

∴[fx=x+1-12+7x+1-1+10x+1]

[=x+12+5x+1+4x+1]

[=x+1+4x+1+5≥2x+1?4x+1+5=9]，

當且僅當[4x+1=x+1]，即[x=1]時[fx]有最小值，且最小值為9，

∴函數(shù)[fx=x2+7x+10x+1]的值域[9，+∞].

函數(shù)式中分子的最高次為二次，于是將分子配湊為分母的倍數(shù)和平方式，即可通過約分將函數(shù)式中的常數(shù)分離出來，把函數(shù)式化為[x+1+4x+1+5].再運用基本不等式即可求得函數(shù)的值域.在化簡函數(shù)式時，往往要將分子中次數(shù)較高的式子進行配湊，使得最簡分式中分子的最高次數(shù)小于或等于分母的最高次數(shù).

由上述分析可以看出，函數(shù)值域中的最小值為函數(shù)的最小值，最大值為函數(shù)的最大值.因此我們往往需將函數(shù)值域問題當作函數(shù)的最值問題來求解，靈活運用導數(shù)法、換元法、反函數(shù)法、分離常數(shù)法來求得函數(shù)的最大值、最小值，即可順利求得函數(shù)的值域.無論運用上述哪種方法求函數(shù)的值域，我們都要做到如下幾點：（1）靈活運用簡單基本函數(shù)的單調性和圖象；（2）將問題轉化為函數(shù)的最值問題來求解；（3）密切關注函數(shù)的定義域；（4）仔細研究函數(shù)的解析式，將其進行合理的變形、換元、化簡，以便找到最佳的解題方案.