【摘 要】“數(shù)學(xué)小項目學(xué)習(xí)”從學(xué)科視角出發(fā)，依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，以對數(shù)學(xué)的核心概念和原理的深度理解與遷移為目標(biāo)，在國家課程中“小切口”確定項目主題，融入項目學(xué)習(xí)元素，設(shè)計和實施能在課堂中進(jìn)行的探索實踐任務(wù)。在“平行四邊形的面積”教學(xué)中，通過數(shù)學(xué)小項目學(xué)習(xí)，從大概念整體設(shè)計的角度，讓學(xué)生在推導(dǎo)面積計算方法的過程中進(jìn)行深入持續(xù)的探索，在富有挑戰(zhàn)性的小項目學(xué)習(xí)中不斷探究，再次感受面積度量的本質(zhì)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠基。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)學(xué)科 小項目學(xué)習(xí) 度量方法

新課標(biāo)指出，要使學(xué)生在推導(dǎo)一些常見圖形周長、面積、體積計算方法的過程中，感悟數(shù)學(xué)度量方法，逐步形成量感和推理意識?！岸噙呅蔚拿娣e”單元是蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊的學(xué)習(xí)內(nèi)容，旨在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形這些平面圖形的面積公式，幫助學(xué)生培養(yǎng)空間觀念和推理意識。本節(jié)課，筆者通過數(shù)學(xué)小項目學(xué)習(xí)，從大概念整體設(shè)計的角度，讓學(xué)生在推導(dǎo)面積計算方法的過程中進(jìn)行深入持續(xù)的探索，在富有挑戰(zhàn)性的小項目學(xué)習(xí)中不斷探究，再次感受面積度量的本質(zhì)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠基。

一、基于真實情境的“能理解”，體會內(nèi)在聯(lián)系

數(shù)學(xué)小項目學(xué)習(xí)改變了原來學(xué)科學(xué)習(xí)從低階開始并且主要在低階學(xué)習(xí)附近徘徊的特點。學(xué)習(xí)任務(wù)單要有一定的真實性和挑戰(zhàn)性，從開始貫穿到最終，往往要求學(xué)生有全局性的、復(fù)雜性的、策略性的思考。本節(jié)課一開始筆者就借助“玻璃有多大”這個小項目學(xué)習(xí)任務(wù)形式，通過回顧長方形面積推導(dǎo)過程，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，如圖1。

片段一：

出示小項目學(xué)習(xí)任務(wù)：玻璃有多大？

學(xué)生研究思考后便有了如下課堂交流：

師：哪塊玻璃的面積你已經(jīng)會求了？

生：長方形。

師：要求長方形的面積你需要什么條件？

生：長和寬。

師：好的（出示數(shù)據(jù)，如圖2），誰來說說面積是多少？

生：12平方分米。

師：12平方分米你是怎么理解的呢？

生：12個1平方分米。

師：1平方分米有多大？你能比畫一下嗎？

學(xué)生比畫。

師：也就是說用1平方分米的小正方形來進(jìn)行測量，測量出來長方形中包含了12個1平方分米的面積單位，那12平方分米又是怎么得到的？你能來講一講嗎？

集體交流后教師小結(jié)：是的，沿著長數(shù)出每排面積單位的個數(shù)，再沿著寬數(shù)出排數(shù)，用“每排個數(shù)×排數(shù)”就能知道包含多少個面積單位，也就得出了長方形的面積。

師：由此我們發(fā)現(xiàn)長方形的面積其實就是指什么？（指著板書：包含（ ）個面積單位）那照這樣的說法，平行四邊形的面積也就是指什么？

生：面積單位的個數(shù)。

本課始于用來組織和推進(jìn)教學(xué)活動的真實問題“玻璃有多大？”，讓學(xué)生回憶通過數(shù)面積單位的個數(shù)確定圖形面積的大小是計算面積大小的基本方法，也體現(xiàn)了測量的本質(zhì)。學(xué)生盡管學(xué)習(xí)了用方格紙推導(dǎo)長方形面積的方法，但對數(shù)方格度量面積并沒有留下深刻印象。通過這樣的小項目任務(wù)，在交流中，學(xué)生不僅回憶了長方形面積的計算方式，而且知道了為什么要這樣算以及這樣算的好處是什么。當(dāng)再次面對新的問題時，解決問題的角度就更加清晰了。

二、基于動手操作的“會理解”，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)特征

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動，不經(jīng)過親身體驗，僅僅靠看書本、聽講解、觀察他人演示是學(xué)不會的。操作是學(xué)生思維的起點，親身經(jīng)歷觀察與操作的過程，能促使學(xué)生將視覺和觸覺協(xié)調(diào)起來，實現(xiàn)內(nèi)化知識的目標(biāo)。數(shù)學(xué)小項目學(xué)習(xí)是一種包含知識、行動和態(tài)度的學(xué)習(xí)實踐，強(qiáng)調(diào)知、行、思合一，使得學(xué)生操作目標(biāo)更明確，要求更細(xì)化，結(jié)果也更可視化。

片段二：

師：看來大家對測量已經(jīng)理解得很深刻了，那我們就用1平方分米的小正方形直接來測量一下這個平行四邊形（圖3）的面積。先想象一下測量出來會是怎樣的情況。

生：長方形的面積測量時正好，沒有多余的部分，也沒有少掉的地方。而平行四邊形測量時不是正好，（指著圖3）這邊不夠一個正方形，這邊又多了一些。

師：是呀，用面積單位直接測量平行四邊形時不像長方形那樣可以整整齊齊地擺好，讓人一目了然。還是有點麻煩的，是吧？今天這節(jié)課我們就來研究平行四邊形的面積。

師：我們在研究長方形面積時，首先研究出了它的面積與長和寬有關(guān)，所以計算時只需要知道長方形的長和寬，那關(guān)于平行四邊形的面積你覺得要先研究什么？

生1：我覺得也要先研究平行四邊形的面積和什么有關(guān)。

生2：要研究誰的變化能引起平行四邊形面積的變化。

師：真好，一下子就找到了研究的重點。那你打算怎么研究呢？先小組討論，再集體交流。

生1：可以拿兩個平行四邊形看看，比較一下有什么不同，再比比他們的面積。

生2：可以拉動平行四邊形的邊看看是怎么變化的。

師：根據(jù)你們的思路，老師簡單梳理了一下，并且提供了一些素材。（圖4）

小組討論，集體交流。

生1：我拿的平行四邊形可以拉動，我發(fā)現(xiàn)把它的邊拉得長一些，面積就變大了。

師：你的意思是平行四邊形的面積和邊的長短有關(guān)。

生1：對。

生2：我覺得邊的長短不變面積也在變。我拿的平行四邊形，邊沒法拉長拉短。但是你看，把它壓得扁一些，面積就小了，拉得高一些，面積就大了。

師：還真是。我們來看，壓得扁一些，其實就是什么在變化？

生：是高在變化！

師：對。那如果這條是高（用手指），那這條就是什么？

生：底。

師：（屏幕出示幾何畫板）我們一起來看一看！

師：通過剛才的研究我們發(fā)現(xiàn)，平行四邊形的面積不僅和底有關(guān)，還和高有關(guān)。那到底有怎樣的關(guān)系呢？我們不妨再來回看一下長方形的面積。（出示長方形）它的面積與長和寬有關(guān)（演示）。仔細(xì)觀察一下，是不是有那么點像？（指著長方形的長和寬）這條邊其實就是表示每排個數(shù)，這條邊表示排數(shù)。（指著平行四邊形）那平行四邊形有沒有可能也變成像每排個數(shù)和排數(shù)那樣的關(guān)系呢？我們繼續(xù)往下研究。

再次出示小項目學(xué)習(xí)任務(wù)：小組活動，集體交流。

師：這樣操作以后，面積發(fā)生變化了嗎？

生：面積沒有發(fā)生變化，只是形狀變了。原來是平行四邊形，現(xiàn)在變成了長方形。

學(xué)生講完，出示3個平行四邊形，如圖5。

師：觀察一下，它們都是沿著什么剪的？為什么沿著高剪？

生：這樣就能把不是整格的變成整格的了，數(shù)起來就方便了。

師：原來半格的拼成整格的啦！這樣就把平行四邊形轉(zhuǎn)化（板書）成了長方形，把未知的知識轉(zhuǎn)化成了已知的知識，太棒了！

……

學(xué)生感受到直接測量方法的局限性，繼而產(chǎn)生對間接測量方法的探索意愿，主動尋求更為便捷的間接測量方法。通過開展小項目學(xué)習(xí)，學(xué)生始終圍繞“玻璃有多大？”這一項目進(jìn)行探索，進(jìn)一步意識到多邊形的面積與圖形中兩個關(guān)鍵的長度有關(guān)，而想要對圖形實現(xiàn)間接測量就要找到這兩個關(guān)鍵的長度，從而開闊視野、發(fā)展思維。這樣的教學(xué)，改變了一問一答式的教學(xué)模式，給予學(xué)生更多的自主空間，有利于深入思考，使學(xué)習(xí)從淺表走向深層次，使思維從低階上升到高階。

三、基于想象聯(lián)系的“真理解”，提升思維品質(zhì)

在日常教學(xué)中，教師往往會花大量的時間讓學(xué)生進(jìn)行知識點的識記、練習(xí)，從最基礎(chǔ)的知識點入手夯實基礎(chǔ)，很少涉及高階思維。而小項目學(xué)習(xí)則不同，一開始就明確提出一個具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，從識記到理解到應(yīng)用再到創(chuàng)造，在問題解決的過程中培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。

片段三：

師：那讓我們再回到第二款門，玻璃的面積有多大？你打算怎么做？

生：需要知道平行四邊形的底和高。

出示兩種測量方法，如圖6。

師：你會選擇哪組測量數(shù)據(jù)來計算面積？為什么？

生1：我會選第一組。因為數(shù)據(jù)好算。

師：哦！你是關(guān)注了數(shù)據(jù)的特點。還有誰想補(bǔ)充的？

生2：我也選第一組。因為第一組的30厘米a5Cqw3bGeSPS1eruPEXLZg==就是40厘米的高。第二組的30厘米不是48厘米的高。

師：也就是說進(jìn)行面積計算的底和高必須要對應(yīng)。

分析之后學(xué)生計算出面積：40×30=1200（平方厘米）。

師：那對于第二組測量數(shù)據(jù)，你能動動腦算出這條高對應(yīng)的底嗎？先獨立思考，再和同桌說說你的想法。

生：因為平行四邊形的面積=底×高，所以底=面積÷高。只要用平行四邊形的面積除以高，就能得到底是多少。

……

上述片段，依然是在“玻璃有多大？”這個小項目引領(lǐng)下，引發(fā)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行深入運(yùn)用及遷移。數(shù)學(xué)小項目學(xué)習(xí)鍛煉了學(xué)生在面對復(fù)雜問題情境時的整體數(shù)學(xué)思維和決策能力。

四、基于推理驗證的“深理解”，培養(yǎng)高階思維

小項目學(xué)習(xí)指向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心概念，并用真實的驅(qū)動性問題引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，實現(xiàn)從低階思維到高階思維的飛躍。開展數(shù)學(xué)小項目學(xué)習(xí)，學(xué)生不只將數(shù)學(xué)看成枯燥的知識點和公式，而是能夠領(lǐng)略數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，并且能夠?qū)ΜF(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化的思考，從而指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

片段四：

師：同學(xué)們，今天我們從門上的玻璃入手，提出了“玻璃有多大？”的問題，然后進(jìn)行研究方案設(shè)計，通過大家的合作交流，最終“玻璃有多大？”的問題得到解決。反思一下，通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你收獲了什么？

師：其實，不光有這兩種款式，還有其他款式，你們想看嗎？（出示圖7）

師：三角形、梯形、圓的面積還不知道怎么求，如果以后要去研究，你覺得可以怎樣研究？

生1：數(shù)方格！

生2：也像平行四邊形那樣把它們變成長方形。

……

師（追問）：通過數(shù)面積就能知道圖形的面積是多少，為什么還要推導(dǎo)面積的計算公式呢？

生：面積計算公式簡潔??！

本課即將結(jié)束時，學(xué)生不僅已經(jīng)感受到通過數(shù)格子可以計算任何圖形的面積，對面積是由一個一個的面積單位累加出來的有了深刻的感悟，而且對于其他平面圖形的面積也有了新的思考，無形中拓展了單元學(xué)習(xí)，整體把握了單元教學(xué)，關(guān)注知識本質(zhì)，建立知識間的聯(lián)系，促進(jìn)高階思維發(fā)展，實現(xiàn)有深度的學(xué)習(xí)。

小項目學(xué)習(xí)并不僅僅意味著“動手做”“做項目”“生活化”等，更意味著做事情的“思維”和“智慧”。整堂課借助“玻璃有多大？”這一個項目，通過讓學(xué)生從有方格地數(shù)到無方格地數(shù)，在數(shù)的過程中感受轉(zhuǎn)化的思想，體會平行四邊形與轉(zhuǎn)化后的長方形之間的聯(lián)系。這樣一來，學(xué)生不僅完成了面積計算公式的推導(dǎo)，還深刻地理解了面積計算公式為什么是底乘高。最后，學(xué)生的感悟不僅體現(xiàn)了學(xué)生感受到了圖形面積公式與面積本質(zhì)的聯(lián)系，還感受到了圖形面積公式的抽象概括性。這樣基于“面積計算公式推導(dǎo)”的數(shù)學(xué)小項目活動，學(xué)習(xí)素材更簡單，課堂探究更深入，寓簡單于豐富中，寓直觀于深刻中，有利于學(xué)生形成有包容力的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。