摘 要：從主動(dòng)防御的實(shí)際作戰(zhàn)需求入手， 分析軌跡預(yù)測不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)及使用場景， 分析空中平臺(tái)主動(dòng)防御作戰(zhàn)場景相較于目前主要研究的其他飛行器軌跡預(yù)測場景的區(qū)別， 針對(duì)該場景下軌跡預(yù)測對(duì)象特殊的攻擊意圖和運(yùn)動(dòng)規(guī)律提出一種基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的狀態(tài)估計(jì)方案。 基于仿真軟件模擬了攻擊彈以比例導(dǎo)引攻擊載機(jī)的過程， 以滿足比例導(dǎo)引系數(shù)不變的條件建立觀測模型， 采用擴(kuò)展卡爾曼濾波為非線性的模型進(jìn)行線性化仿真， 觀測到不同時(shí)刻攻擊彈的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)， 并以此進(jìn)行短時(shí)間的軌跡預(yù)測。 仿真結(jié)果表明， 該模型在主動(dòng)防御作戰(zhàn)場景下能顯著減小狀態(tài)估計(jì)誤差。

關(guān)鍵詞：空空導(dǎo)彈； 主動(dòng)防御； 三體對(duì)抗； 軌跡預(yù)測； 狀態(tài)估計(jì)； 擴(kuò)展卡爾曼濾波

中圖分類號(hào)： TJ765.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

文章編號(hào)：1673-5048（2024）04-0041-08

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2023.0251

0 引 言

目前， 空中平臺(tái)主要依靠逃逸機(jī)動(dòng)、 電磁干擾等手段應(yīng)對(duì)敵方空空導(dǎo)彈的威脅， 然而在存在干擾的情況下， 空空導(dǎo)彈的命中率仍能達(dá)到50％～60％， 亟待發(fā)展新的防御手段來提升空中平臺(tái)的生存能力。 歐美已經(jīng)開始發(fā)展攔截來襲導(dǎo)彈的空中平臺(tái)主動(dòng)防御技術(shù)［1-2］， 通過“硬殺傷”的手段對(duì)來襲導(dǎo)彈進(jìn)行攔截。 來襲空空導(dǎo)彈的飛行馬赫數(shù)能夠達(dá)到3以上， 攔截彈與目標(biāo)的交會(huì)馬赫數(shù)可以達(dá)到6～7， 需要迎頭小角度交會(huì)才能形成有效的毀傷時(shí)間窗口［3］。 因此， 空中平臺(tái)攔截彈需要在保證制導(dǎo)精度的同時(shí)， 滿足末端彈目交會(huì)角度約束。

目標(biāo)的識(shí)別和狀態(tài)估計(jì)過程存在誤差， 而且空空導(dǎo)彈具備較高的機(jī)動(dòng)能力， 機(jī)動(dòng)過載最高可達(dá)50g［4］， 傳統(tǒng)的制導(dǎo)方法直接將攔截對(duì)象作為跟蹤目標(biāo)進(jìn)行交會(huì)角度約束制導(dǎo)時(shí)， 需要頻繁變更過載大小及方向， 又因?yàn)橛^測誤差和目標(biāo)機(jī)動(dòng)的影響， 實(shí)時(shí)保持約束跟蹤目標(biāo)對(duì)能量的消耗很大， 且很難實(shí)現(xiàn)交會(huì)角約束， 因而目前交會(huì)角約束制導(dǎo)律的研究多為通過軌跡預(yù)測得到虛擬目標(biāo)或虛擬碰撞點(diǎn)通過跟蹤虛擬對(duì)象的方法進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)［5-9］， 或在目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可預(yù)測的前提下［10］使用最優(yōu)制導(dǎo)［11-13］， 以滿足約束條件并減小脫靶量和能量消耗。 實(shí)際情況下， 對(duì)來襲導(dǎo)彈的探測過程存在各種噪聲， 因此減小噪聲影響并準(zhǔn)確預(yù)測來襲導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡， 是空中平臺(tái)主動(dòng)防御武器制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的重要條件。

目前關(guān)于飛行器軌跡預(yù)測的研究對(duì)象多為飛機(jī)、 彈道導(dǎo)彈和高超聲速飛行器等， 針對(duì)空空導(dǎo)彈軌跡預(yù)測研究較少。 本文針對(duì)空中平臺(tái)主動(dòng)防御作戰(zhàn)場景， 結(jié)合現(xiàn)有其他場景下軌跡預(yù)測的研究方法， 提出一種基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的來襲導(dǎo)彈空空導(dǎo)彈狀態(tài)估計(jì)模型， 并通過仿真驗(yàn)證了方法的有效性。

1 軌跡預(yù)測方法與場景的分析

飛行器軌跡預(yù)測方法設(shè)計(jì)主要分為三步［14］： （1）識(shí)別目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特征； （2）跟蹤目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)； （3）根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)外推進(jìn)行軌跡預(yù)測， 同時(shí)根據(jù)目標(biāo)信息是否透明分為合作型目標(biāo)和非合作型目標(biāo)。

識(shí)別目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特征， 意在減小目標(biāo)軌跡預(yù)測的范圍， 精確化軌跡預(yù)測的模型。 目前的研究方案分為3種： 基于計(jì)算流體力學(xué)模型的分析［15-16］、 基于風(fēng)洞試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆治觯?7］、 基于動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)方程的目標(biāo)軌跡分析［18-19］。 前兩種方案屬于針對(duì)合作型目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特征識(shí)別方法， 第三種方案屬于針對(duì)非合作型目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特征識(shí)別方法。 作為非合作型目標(biāo)， 空空導(dǎo)彈類目標(biāo)受力復(fù)雜且動(dòng)力充足， 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)方程的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特征分析更具可行性。

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)分為兩類， 以動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)的狀態(tài)估計(jì)和以運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為基礎(chǔ)的狀態(tài)估計(jì)。 基于動(dòng)力學(xué)模型的狀態(tài)估計(jì)常用于空間飛行器的狀態(tài)估計(jì)研究， 因?yàn)槟繕?biāo)機(jī)動(dòng)能力較弱， 受力分析相較于其他場景較為簡單。 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的狀態(tài)估計(jì)多用于存在特定運(yùn)動(dòng)規(guī)律的目標(biāo)， 其本質(zhì)是針對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析而總結(jié)出目標(biāo)的機(jī)動(dòng)規(guī)律。 基于觀測過程中引入干擾的不同分為白噪聲模型和有色噪聲模型， 本文研究的白噪聲問題模型為恒定加速度模型（Constant Acceleration， CA）［20］和勻速轉(zhuǎn)彎模型（Constant Turn， CT）［21］。 這兩種模型分別把目標(biāo)運(yùn)動(dòng)視為瞬時(shí)的勻加速運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 通過卡爾曼濾波等方法將觀測數(shù)據(jù)擬合到對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡中減小噪聲影響， 估計(jì)出較為準(zhǔn)確的狀態(tài)信息和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 雖不同于飛機(jī)類目標(biāo)存在特定運(yùn)動(dòng)模式（CA， CT）， 空空導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)服從特定制導(dǎo)律的控制， 理論上仍可通過運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。

目標(biāo)軌跡的預(yù)測方法有解析法、 幾何法和數(shù)值積分法3種類型。 解析法用于機(jī)動(dòng)能力弱或無機(jī)動(dòng)能力的目標(biāo)， 如彈道導(dǎo)彈被動(dòng)段［22］， 通過帶入狀態(tài)信息到特殊的函數(shù)里得到準(zhǔn)確的預(yù)測結(jié)果， 而在目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力較強(qiáng)的情況下無法得到準(zhǔn)確的解析解。 幾何法通過對(duì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分析， 使其擬合于一條特定的曲線［23］。 該方法計(jì)算速度快、 短時(shí)精確度高、 長時(shí)間的精確度根據(jù)不同研究場景差異度不同。 數(shù)值積分法用于合作類目標(biāo)或信息透明度很高的非合作目標(biāo)。 該方法需要對(duì)目標(biāo)進(jìn)行精確的運(yùn)動(dòng)模型建模分析， 以及準(zhǔn)確的發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)力和氣動(dòng)力分析， 并對(duì)其加速度進(jìn)行積分［24］， 而在攔截作戰(zhàn)場景下預(yù)測目標(biāo)的氣動(dòng)參數(shù)無法獲取， 故無法進(jìn)行精確計(jì)算， 該方法局限性較大。 除此之外， 隨著計(jì)算機(jī)科技的發(fā)展， 人工智能算法也被逐步應(yīng)用到飛行器軌跡預(yù)測領(lǐng)域， 如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度學(xué)習(xí)等方法［25-26］， 但均需要大量的歷史數(shù)據(jù)作為支撐， 且對(duì)目標(biāo)大機(jī)動(dòng)場景預(yù)測效果一般的同時(shí)， 很難滿足快速性的需求。

目前關(guān)于軌跡預(yù)測的研究中， 針對(duì)第三步軌跡預(yù)測的研究方法有很多， 但或是基于目標(biāo)當(dāng)前運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全已知的假設(shè)， 或是在第二步狀態(tài)估計(jì)過程使用了基于卡爾曼濾波的CA或CT簡單模型或多模型融合進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)， 并沒有從觀測模型本身進(jìn)行改進(jìn)。 目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的準(zhǔn)確性作為軌跡預(yù)測的前置條件的同時(shí)， 還直接決定了制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時(shí)脫靶量的理論最小值。 本文針對(duì)狀態(tài)估計(jì)過程中的卡爾曼濾波模型， 結(jié)合空中平臺(tái)主動(dòng)防御作戰(zhàn)的特點(diǎn)， 設(shè)計(jì)出符合該場景下運(yùn)動(dòng)特征的狀態(tài)估計(jì)模型。

空中平臺(tái)主動(dòng)防御問題也稱為三體對(duì)抗（Target- Attacker-Defender， TAD）問題， 最早由Boyell提出［27］， 該場景由攻防兩方至少三個(gè)或以上的飛行器組成， 即攻擊彈（Attacker， A）以防御方空中平臺(tái)（Target， T）為目標(biāo)進(jìn)行攻擊， 防御方空中平臺(tái)以逃逸為目標(biāo)， 防御方攔截彈（Defender， D）以攔截攻擊方空空導(dǎo)彈為目標(biāo)。 該場景有如下幾個(gè)特點(diǎn)：

（1） 大多數(shù)空空導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間為10 s左右， 最多不超過30 s， 有效作戰(zhàn)半徑在百公里內(nèi)［28］， 因此空中平臺(tái)主動(dòng)防御作戰(zhàn)時(shí)間較短， 針對(duì)來襲導(dǎo)彈的作戰(zhàn)意圖分析相比于飛機(jī)、 彈道導(dǎo)彈、 超高聲速飛行器類目標(biāo)更為精確， 同時(shí)目標(biāo)作戰(zhàn)意圖明確， 即攻擊我方載機(jī)。

（2） 攻擊彈機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)且為非合作目標(biāo)， 無法應(yīng)用解析法和數(shù)值積分法進(jìn)行預(yù)測。 比例導(dǎo)引律控制下的攻擊彈（空空導(dǎo)彈和面空導(dǎo)彈）運(yùn)動(dòng)與我方載機(jī)的運(yùn)動(dòng)具有強(qiáng)相關(guān)性。

（3） 載機(jī)是合作飛行器， 我方載機(jī)未來的飛行軌跡是可控制和可預(yù)測的。

在主動(dòng)防御作戰(zhàn)過程中， 攻擊彈的位置信息觀測結(jié)果由空中平臺(tái)、 防御方攔截彈和預(yù)警機(jī)等多個(gè)平臺(tái)數(shù)據(jù)融合得到， 觀測誤差較為復(fù)雜。 為方便研究， 本文將融合后的位置信息噪聲簡化為縱橫坐標(biāo)上滿足高斯分布的白噪聲。 基于以上特點(diǎn)， 針對(duì)目標(biāo)觀測過程中的白噪聲， 本文提出一種在軌跡預(yù)測過程中引入我方載機(jī)位置信息的預(yù)測模型， 即基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的導(dǎo)航比（Constant Proportional Navigation Ratio， CPNR）固定的運(yùn)動(dòng)學(xué)預(yù)測模型。

不同于傳統(tǒng)的以攔截目標(biāo)作為軌跡預(yù)測過程單一研究對(duì)象的預(yù)測方案， 本文使用一種新的狀態(tài)估計(jì)模型。 其核心思想是將載機(jī)運(yùn)動(dòng)信息和攻擊彈位置觀測信息同時(shí)作為已知信息進(jìn)行輸入， 考慮到觀測過程引入的位置信息噪聲， 借由載機(jī)運(yùn)動(dòng)與攻擊彈運(yùn)動(dòng)的高度耦合性以減小狀態(tài)估計(jì)和軌跡預(yù)測過程的誤差。 將載機(jī)與攻擊彈的相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息通過擴(kuò)展卡爾曼濾波線性化擬合到比例導(dǎo)引軌跡上， 對(duì)觀測環(huán)節(jié)引入的白噪聲進(jìn)行濾波， 得到其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律（導(dǎo)航比）， 并通過載機(jī)未來的運(yùn)動(dòng)趨勢來預(yù)測攻擊彈的運(yùn)動(dòng)軌跡。

2 軌跡預(yù)測算法

2.1 狀態(tài)估計(jì)模型

本文使用二維簡化模型， 假設(shè)載機(jī)T的運(yùn)動(dòng)和來襲導(dǎo)彈A的運(yùn)動(dòng)發(fā)生在同一攻擊平面內(nèi)。 假設(shè)攻擊彈的控制環(huán)節(jié)無延遲， 其姿態(tài)始終朝向速度方向， 且加速度始終與速度方向垂直， 即速度模值保持不變， 以導(dǎo)航比不變的比例導(dǎo)引律追擊我方載機(jī)。 坐標(biāo)系選取地面坐標(biāo)系， 坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在攻擊彈在地面的投影處， 如圖1所示。

在主動(dòng)防御作戰(zhàn)時(shí)， 進(jìn)攻方攻擊彈的導(dǎo)航比對(duì)于防御方來說是未知的， 因此選取如下狀態(tài)變量： x1為攻擊彈在x軸上的坐標(biāo)； x2為攻擊彈在z軸上的坐標(biāo)； x3為攻擊彈的速度角； x4為攻擊彈的速度模值； x5為攻擊彈的導(dǎo)航比。

主動(dòng)防御作戰(zhàn)場景中載機(jī)為合作單位， 空戰(zhàn)機(jī)動(dòng)動(dòng)作基本固定， 因而其短時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全透明且可預(yù)知， 因此其位置信息可以作為軌跡預(yù)測過程的輸入變量， 即u1為載機(jī)在x軸上的坐標(biāo)； u2為載機(jī)在z軸上的坐標(biāo)； 而攻擊彈在坐標(biāo)軸上的真實(shí)位置為輸出變量， 即y1為攻擊彈在x軸上真實(shí)位置； y2為攻擊彈在z軸上真實(shí)位置。

假設(shè)離散系統(tǒng)的采樣周期為Ts， 其速度角θA和彈目視線角qA狀態(tài)滿足以下關(guān)系：

θA， k－θA， k－1=N（qA， k－1－qA， k－2）（1）

即

x3， k=x3， k－1+x5（qA， k－1－qA， k－2）（2）

其中， qA， k=arctanu2， k－x2， ku1， k－x1， k。

攻擊彈運(yùn)動(dòng)學(xué)Xk=f（Xk－1， Uk－1）方程為

Xk=Xk－1+x4， k－1cos（x3， k－1）Tsx4， k－1sin（x3， k－1）Tsx5， k－1（qA， k－1－qA， k－2）00（3）

Yk=1000001000Xk（4）

2.2 擴(kuò)展卡爾曼濾波軌跡預(yù)測

2.2.1 運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì)

防御方觀測到的攻擊彈在坐標(biāo)軸上的位置設(shè)置為： z1為攻擊彈在x軸上觀測位置； z2為攻擊彈在z軸上觀測位置； v1為x軸上觀測過程引入的服從N（0， r1）的誤差值； v2為x軸上觀測過程引入的服從N（0， r2）的誤差值。

z1=y1+v1z2=y2+v2 （5）

攻擊彈的非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)方程表達(dá)式為

Zk=HXk－1+VkXk=f（Xk－1， Uk－1） （6）

（1） 先驗(yàn)估計(jì)

X^-k=f（X^k-1， Uk-1）

P-k=AkPk-1ATk （7）

式中： X^-k和P－k分別為狀態(tài)變量和狀態(tài)協(xié)方差矩陣的先驗(yàn)估計(jì)值； Ak矩陣為雅可比矩陣， 即

Ak=JF（x1， x2， x3， x4， x5）|X=

（x^1， k， x^2， k， x^3， k， x^4， k， x^5， k）T=

10x1x3x1x4001x2x3x2x40x3x1x3x210x1x50001000001|X=X^k－1（8）

代入X=X^k－1， 矩陣各元素如下：

x1x3|（X=X^k－1）=－x^4， k－1sin（x^3， k－1）Ts

x1x4|（X=X^k－1）=cos（x^3， k－1）Ts

x2x3|（X=X^k－1）=x^4， k－1cos（x^3， k－1）Ts

x2x4|（X=X^k－1）=sin（x^3， k－1）Ts

x3x1|（X=X^k－1）=x^5， k－1（u2， k－1－x^2， k－1）（u1， k－1－x^1， k－1）2+（u2， k－1－x^2， k－1）2

x3x2|（X=X^k－1）=－x^5， k－1（u1， k－1－x^1， k－1）（u1， k－1－x^1， k－1）2+（u2， k－1－x^2， k－1）2

x3x5|（X=X^k－1）=arctanu2， k－1－x^2， k－1u1， k－1－x^1， k－1－

arctanu2， k－2－x^2， k－2u1， k－2－x^1， k－2 （9）

（2） 后驗(yàn)估計(jì)

Kk=PkHT（HPkHT+R）-1

X^k=X^-+Kk（Zk-HX^-）

Pk=（I-KkH）P-k（10）

式中： Kk為卡爾曼增益； X^k， Pk分別為狀態(tài)后驗(yàn)估計(jì)值和協(xié)方差矩陣； R為觀測噪聲協(xié)方差矩陣， R=r100r2； H為觀測矩陣， H=1000001000。

2.2.2 軌跡預(yù)測

本文使用的軌跡預(yù)測方法， 屬于幾何法的范疇。 在迭代計(jì)算出攻擊彈的運(yùn)動(dòng)參數(shù)后， 將運(yùn)動(dòng)參數(shù)和我方載機(jī)未來的位置信息代入運(yùn)動(dòng)方程（3）和（4）中進(jìn)行多次迭代， 預(yù)測出一段時(shí)間以后的坐標(biāo)軸位置。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真條件

初始時(shí)刻， 載機(jī)位于坐標(biāo)軸（20 000， 10 000）點(diǎn)， 攻擊彈位于（0， 8 000）點(diǎn)。 載機(jī)保持水平向x軸負(fù)方向以300 m/s速度勻速直線飛行， 攻擊彈初始速度角為15°， 保持速度為1 000 m/s， 以比例系數(shù)為3的比例導(dǎo)引追擊載機(jī)， 其控制系統(tǒng)不存在時(shí)間延遲， 仿真步長選擇Ts=0.001 s， 仿真過程中忽略重力作用。 根據(jù)式（3）～（4）仿真得到導(dǎo)彈追擊載機(jī)的軌跡圖， 如圖2所示。 導(dǎo)彈全機(jī)動(dòng)過程的過載如圖3所示。

假設(shè)只存在觀測噪聲而不存在過程噪聲， 觀測值為攻擊彈的縱橫坐標(biāo)位置， 觀測噪聲為均值0方差9的高斯噪聲。 觀測誤差如圖4～5所示。

3.2 仿真數(shù)據(jù)

3.2.1 技術(shù)指標(biāo)

假設(shè)載機(jī)最大可承受過載為5g， 載機(jī)在6 s時(shí)由原有的直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)為向上做最大過載下的筋斗動(dòng)作。 假設(shè)預(yù)計(jì)10 s時(shí)完成攔截， 在6 s時(shí)防御方攔截彈已經(jīng)形成迎頭攻擊態(tài)勢。 防御方攔截彈將根據(jù)剩余時(shí)間的變化同步減少軌跡預(yù)測時(shí)間， 以更新預(yù)計(jì)碰撞點(diǎn)最終在載機(jī)機(jī)動(dòng)后的真實(shí)碰撞點(diǎn)完成攔截。 在此過程中， 脫靶量理論最小值同時(shí)受制于長時(shí)間的預(yù)測誤差和預(yù)計(jì)命中時(shí)間的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)誤差。

以6 s為仿真開始時(shí)間， 對(duì)攻擊彈未來4 s的真實(shí)軌跡與預(yù)測軌跡進(jìn)行仿真， 仿真軌跡包括載機(jī)維持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的情況下6～10 s過程中攻擊彈真實(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡、 載機(jī)機(jī)動(dòng)狀態(tài)改變的情況下6～10 s過程中攻擊彈真實(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡、 6 s時(shí)以載機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)未改變?yōu)榧僭O(shè)得到的未來4 s的攻擊彈預(yù)測軌跡。 在載機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的瞬間會(huì)造成攻擊彈真實(shí)軌跡與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)未改變時(shí)含誤差的預(yù)測軌跡之間產(chǎn)生較長距離的偏移。 為了保證4 s后防御方攔截彈能夠準(zhǔn)確命中攻擊彈， 軌跡預(yù)測的誤差存在一個(gè)可初步計(jì)算的指標(biāo)。

攔截過程的示意圖如圖6所示。

圖中， L1為6 s時(shí)防御方攔截彈位置與載機(jī)機(jī)動(dòng)后真實(shí)碰撞點(diǎn)的距離； L2為6 s時(shí)防御方攔截彈位置與含誤差的載機(jī)機(jī)動(dòng)前預(yù)測碰撞點(diǎn)的距離； L3為真實(shí)預(yù)測碰撞點(diǎn)改變的距離； v為防御方攔截彈的速度模值， v=800 m/s； t為攔截過程剩余時(shí)間， t=4 s。

（L3+E）2+L22≈L21L1－L2<5L2=vt （11）

載機(jī)和攻擊彈的位置仿真結(jié)果如圖7所示。

由仿真結(jié)果可得真實(shí)碰撞點(diǎn)的坐標(biāo)（7 791.0， 9 779.9）， 載機(jī)未機(jī)動(dòng)時(shí)準(zhǔn)確預(yù)測碰撞點(diǎn)的坐標(biāo)（7 808.4， 9 673.5）， 將位置坐標(biāo)信息代入到式（11）中求得E的限制條件， 得到在此場景下6～10 s進(jìn)行對(duì)攻擊彈的攔截， 則脫靶量小于3 m的前提是， 需保證4 s預(yù)測時(shí)間間隔的預(yù)測誤差E<30.7 m， 且預(yù)計(jì)命中點(diǎn)位置估計(jì)誤差小于3 m。

3.2.2 仿真結(jié)果

目前， 以導(dǎo)彈為軌跡預(yù)測對(duì)象的多模型預(yù)測算法中去除高斯分布觀測噪聲時(shí)， 常用的模型為CA和CT模型， 其中CA模型為線性濾波模型， CT模型為非線性濾波模型。 因整個(gè)過程中攻擊彈的運(yùn)動(dòng)規(guī)律并未發(fā)生改變， 故本文將CPNR模型直接與CA和CT模型進(jìn)行對(duì)比。

將攻擊彈位置觀測值代入到式（7）和式（10）中實(shí)時(shí)迭代， 進(jìn)行對(duì)攻擊彈各個(gè)狀態(tài)變量的估計(jì)， 其位置與速度狀態(tài)估計(jì)值誤差與CA和CT模型狀態(tài)估計(jì)誤差的對(duì)比如圖8～11所示。 導(dǎo)航比估計(jì)值如圖12所示。

由圖8～12可知， 導(dǎo)航比固定的擴(kuò)展卡爾曼濾波可以很好地跟蹤攻擊彈的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

一般情況下， 防御方攔截彈速度略小于攻擊彈， 以防御方攔截彈的發(fā)射時(shí)間為起點(diǎn)， 攻擊彈預(yù)計(jì)命中載機(jī)時(shí)間為終點(diǎn)， 攔截過程發(fā)生在攻擊過程的后半段。 在假設(shè)的仿真條件下， 攻擊彈將于15 s以后命中載機(jī)， 因此將攔截時(shí)間假設(shè)為8～10 s之間， 此時(shí)三種模型的狀態(tài)估計(jì)誤差對(duì)比如表1所示。

由表1可知， 在本文仿真假設(shè)條件下， 使用CT模型對(duì)攻擊彈進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)時(shí)， 位置誤差最大可達(dá)4 m， 此時(shí)防御方攔截彈的脫靶量很難控制在4 m以內(nèi)， 而CPNR模型的位置估計(jì)誤差遠(yuǎn)小于CA和CT模型， 最大脫靶量在1.5 m左右， 且速度角估計(jì)誤差也小于另外兩個(gè)模型， 這就決定了在進(jìn)行第三步軌跡預(yù)測時(shí)會(huì)有更小的預(yù)測誤差， 同時(shí)在碰撞角度約束時(shí)更加精確。

以每一時(shí)刻攻擊彈的狀態(tài)和未來幾秒內(nèi)載機(jī)的位置變化趨勢為依據(jù)進(jìn)行外推， 得到一定預(yù)測時(shí)間后的預(yù)測誤差， 與CA和CT模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對(duì)比， 得到不同預(yù)測時(shí)間下三種模型軌跡預(yù)測誤差的對(duì)比圖， 如圖13～15所示。

圖中， 縱坐標(biāo)代表當(dāng)前時(shí)間下對(duì)一定時(shí)長以后攻擊彈軌跡進(jìn)行預(yù)測的位置結(jié)果與對(duì)應(yīng)時(shí)間后攻擊彈真實(shí)位置的偏差， 預(yù)測過程均從0 s開始到11 s結(jié)束。

對(duì)比圖13～15可知， 在不同的預(yù)測時(shí)間長度下， CPNR模型的預(yù)測誤差均小于CT和CA模型。 將攔截時(shí)間假設(shè)為8～10 s之間， 分析對(duì)該時(shí)間段攻擊彈的軌跡進(jìn)行預(yù)測時(shí)產(chǎn)生的誤差， 此時(shí)軌跡預(yù)測的誤差數(shù)據(jù)分別為圖13中7～9 s部分、 圖14中6～8 s部分、 圖15中4～6 s部分， 結(jié)果如表2所示。

由表2可知， 三種模型下對(duì)于短時(shí)間的軌跡預(yù)測都有較小的誤差， 但是隨著預(yù)測時(shí)間的增長， CA和CT模型的預(yù)測誤差增大幅度遠(yuǎn)大于CPNR。 根據(jù)3.2.1節(jié)的推導(dǎo)結(jié)果， 在距離攻擊彈到達(dá)預(yù)定碰撞點(diǎn)前4 s時(shí)間間隔的預(yù)測誤差結(jié)果應(yīng)小于30.7 m， 且預(yù)定碰撞點(diǎn)攻擊彈的位置估計(jì)誤差小于3 m， 才能保證防御方攔截彈在剩余時(shí)間內(nèi)能夠逐漸修正誤差影響， 以較小的脫靶量命中目標(biāo)。 在直接進(jìn)行狀態(tài)外推的情況下， CPNR模型也可滿足攔截過程需要的條件。

4 結(jié) 論

本文對(duì)非線性的攻擊彈與載機(jī)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系進(jìn)行研究， 基于擴(kuò)展卡爾曼濾波設(shè)計(jì)了一種狀態(tài)估計(jì)模型， 采用該狀態(tài)模型對(duì)攻擊彈攻擊載機(jī)的過程進(jìn)行仿真預(yù)測， 在引入相關(guān)載機(jī)位置信息的情況下， 能夠很大程度上屏蔽掉觀測過程中引入的高斯分布隨機(jī)噪聲的影響， 從而較為精確地得到攻擊彈的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律， 相比于常用的CA和CT模型有更小的估計(jì)誤差， 可為軌跡預(yù)測的應(yīng)用提供誤差更小的狀態(tài)估計(jì)值， 同時(shí)， 在直接用狀態(tài)外推方法時(shí)預(yù)測效果也能滿足攔截過程的脫靶量要求。

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Research on State Estimation Method Applied to Trajectory

Prediction of Air Platforms Active Defense Operations

Lü Mingyuan1， Wu Zhen1， 2*， Qiao Yaobin1， 2

（1. China Airborne Missile Academy， Luoyang 471009， China;

2. National Key Laboratory of Air-based Information Perception and Fusion， Luoyang 471009， China）

Abstract： Starting with the actual operational requirements of active defense， this paper analyzes the advantages， disadvantages， and usage scenarios of different trajectory prediction methods， also analyzes the differences between the active defense combat scenarios of air platforms and other aircraft trajectory prediction scenarios that are currently mainly studied. A state estimation scheme based on extended Kalman filtering is proposed for the special attack intent and motion law of the trajectory prediction object in this scenario. It simulates the process of the attack missile guided with proportional guidance law attacking aircraft based on simulation software， to establish an observation model under conditions of constant proportional guidance coefficient， and performs linearization simulation using Kalman filter nonlinear model. The motion states of the attack missile at different times are observed and the short-term trajectory prediction is performed. The simulation results show that the model can significantly reduce state estimation errors in the active defense combat scenario.

Key words： air to air missile; active defense； three-player conflict; trajectory prediction; state estimation; extended Kalman filter