摘要： 依據(jù)人在行走過程中變步長、變步頻和變步速的關(guān)系，建立了一種隨機人群步行荷載模型.基于薄板振動理論，推導(dǎo)了考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用的人群-大跨樓蓋耦合動力方程，并通過編程計算，分析了隨機人群作用下大跨樓蓋動力特性參數(shù)與加速度響應(yīng)的變化規(guī)律.結(jié)果表明：人群隨機行走下，大跨樓蓋瞬時頻率先減小、后增大，瞬時阻尼比先增大、后減??；隨著行走人數(shù)增多，大跨樓蓋瞬時頻率最小值顯著降低，瞬時阻尼比最大值大幅增加，瞬時加速度和均方根加速度均呈先增后減的趨勢；不同行走人數(shù)下，考慮與不考慮行人隨機性時結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)差異較大，其中瞬時加速度最大差異率可達到53.90%，均方根加速度最大差異率可達到61.57%.

關(guān)鍵詞：" 人致振動； 大跨樓蓋； 隨機人群； 人-結(jié)構(gòu)相互作用； 振動分析

中圖分類號： TU311.3" 文獻標(biāo)志碼：" A" 文章編號："" 1671-7775（2024）05-0606-08

引文格式：" 操禮林， 王念康. 隨機人群行走下大跨樓蓋的動力特性參數(shù)及加速度響應(yīng)的變化規(guī)律［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2024，45（5）：606-613.

收稿日期："" 2022-12-27

基金項目：" 國家自然科學(xué)基金資助項目（51878319，51408267）

作者簡介："" 操禮林（1979—），男，安徽安慶人，博士，副教授（cll@ujs.edu.cn），主要從事工程結(jié)構(gòu)抗震抗風(fēng)與減振控制的研究.

王念康（1996—），男，江蘇徐州人，碩士研究生（649403788@qq.com），主要從事工程結(jié)構(gòu)抗震抗風(fēng)與減振控制的研究.

Dynamic characteristic parameters and acceleration response of

large-span floor under random crowd walking

CAO Lilin， WANG Niankang

（Faculty of Civil Engineering and Mechanics， Jiangsu University， Zhenjiang， Jiangsu 212013， China）

Abstract： To accurately predict the vibration response of large-span floor under crowd walking， the random crowd load model was established according to the relationship among variable step size， variable step frequency and variable step speed during pedestrian walking. Based on the thin plate vibration theory， the crowd-large-span floor coupling dynamic equation considering human-structure interaction was deduced， and the variation rule of dynamic characteristic parameters and acceleration response of large-span floor under random crowd action was calculated and analyzed. The results show that under the random crowd walking， the instantaneous frequency of the large-span floor is decreased with latter increasing， and the instantaneous damping ratio is increased with latter decreasing. With the increasing of the number of people walking， the minimum instantaneous frequency of the structure is decreased significantly， and the maximum instantaneous damping ratio is increased significantly， while the instantaneous acceleration and root mean square acceleration of the large-span floor show the trend of increasing with latter decreasing. Under the different number of people walking， the acceleration response of the structure with and without pedestrian randomness is significantly different. The maximum difference rate of instantaneous acceleration can reach 53.90%， and the maximum difference rate of root mean square acceleration can reach 61.57%.

Key words：" human-induced vibration; large-span floor; random crowd; human-structure interaction; vibration analysis

隨著建筑結(jié)構(gòu)逐漸向大跨、輕質(zhì)和低阻尼的方向發(fā)展，人致振動問題一直受到密切關(guān)注.目前學(xué)者們主要以人行橋為對象來研究人致振動的問題.朱前坤等［1］基于人行橋模型，提出了一種快速評估結(jié)構(gòu)振動舒適度的頻率響應(yīng)函數(shù)方法，并通過試驗對比驗證了這種方法的適用性.謝偉平等［2］考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用，建立了多人-人行橋耦合系統(tǒng)模型，研究人群作用下人行橋模態(tài)特性及加速度響應(yīng)的變化情況.

結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)計算結(jié)果的準(zhǔn)確性主要取決于行人荷載模型設(shè)計的合理性.現(xiàn)行設(shè)計要求［3］中，對于步行荷載的選取大部分以確定性的荷載模型為主.然而行人正常行走過程中每一步的步頻、步速與步長都是隨機變化的，且隨著人流密度的增大，行人步頻與步速會有所降低［4］，結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)也會相應(yīng)發(fā)生變化.若僅僅采用確定性的荷載模型，則忽略了行人行走過程中的隨機性.受到人體阻尼與剛度影響，當(dāng)行人在結(jié)構(gòu)上活動時，結(jié)構(gòu)的振動頻率與阻尼比會發(fā)生變化，即人與結(jié)構(gòu)之間會發(fā)生相互作用，若忽略這種相互作用，預(yù)測的結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)會偏大［5］.因此，在研究結(jié)構(gòu)人致振動問題時需要考慮人-結(jié)構(gòu)的相互作用.

筆者以大跨樓蓋作為研究對象，考慮行人行走過程中的隨機性，建立隨機人群步行荷載模型.基于薄板振動理論，推導(dǎo)考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用的人群-大跨樓蓋耦合動力方程，計算并分析隨機人群行走過程中大跨樓蓋的動力特性參數(shù)與加速度響應(yīng)的變化規(guī)律.

針對上述非線性阻尼時變微分方程，采用狀態(tài)空間法求解時變系統(tǒng)的模態(tài)特性，并采用變步長四階五級方程龍格庫塔法求解樓蓋的加速度響應(yīng).

2.2 結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)分析流程

基于上述計算方法進行人致振動分析，分別計算結(jié)構(gòu)的動力特性參數(shù)及加速度響應(yīng).具體分析流程如下：

1） 確定結(jié)構(gòu)的基本參數(shù).結(jié)構(gòu)基本參數(shù)包括大跨樓蓋的長度、寬度、厚度、密度、基頻及阻尼比.大跨樓蓋采用四邊簡支板模型進行模擬.

2） 確定隨機人群行走參數(shù).人群行走參數(shù)包括人群行走人數(shù)以及考慮隨機性時第i個行人第k步的步頻fpi，k、行走時間Ti，k、步速vi，k、步長li，k和行人動力學(xué)參數(shù)（mpi、cpi與kpi）.依次將每一步的行走時間Ti，k求和，得到行人走完全程的總時間.

3） 確定隨機人群步行荷載模型.根據(jù)已有的人群行走參數(shù)，確定具體的隨機人群步行荷載模型.

4） 設(shè)置人群行走路徑.行走路徑以大跨樓蓋的最不利路徑為主，人群依次沿路徑排隊行走.

5） 動力響應(yīng)方程求解.根據(jù)時間更新計算大跨樓蓋一階瞬時頻率與瞬時阻尼比，并求解樓蓋中心位置的加速度響應(yīng).

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)及行人步行參數(shù)的確定

3.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

選取的結(jié)構(gòu)為某大跨鋼-混凝土樓蓋，樓蓋平面尺寸a和b均為9.144 m，樓蓋厚度h為0.222 m，樓蓋材料密度ρ為2 322.9 kg/m3，結(jié)構(gòu)基頻為4.98 Hz，前3階阻尼比ζ取值為0.01.將此樓蓋等效為四邊簡支的正交各向異性板.

3.2 行人步行參數(shù)

行人在行走過程中步頻服從正態(tài)分布N（f，ε2）（Hz），其中f為行人步頻均值，ε為行人步頻標(biāo)準(zhǔn)差.因此，為獲得第i個行人每一步的步頻，需先確定f與ε.根據(jù)筆者前期研究，對實測2 277組人群步行數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，擬合得到行人步頻均值、標(biāo)準(zhǔn)差與人流密度的關(guān)系公式［10］：

f=1.881 1， ε=0.176 6， ρp≤0.5，

f=0.331 0ρ3p-1.219 8ρ2p+0.957 4ρp+1.661 8，

ε=0.102 8ρ3p-0.365 6ρ2p+0.361 4ρp+0.130 9，

0.5lt;ρplt;2.0，（23）

式中： ρp為人流密度.

人體質(zhì)量服從對數(shù)正態(tài)分布N（73.85，15.682）（kg）［11］，且采用行人MSD模型需要確定人體模態(tài)質(zhì)量mpi、剛度kpi與阻尼cpi.F. T. SILVA等［12］通過對20個行人行走情況進行分析，擬合得到行人動力學(xué)參數(shù)與步頻的關(guān)系式：

mpi=97.082+0.275mi-37.518fpi，

cpi=29.041m0.883pi，

kpi=30 351.744-50.261cpi+0.035c2pi，（24）

式中： mi為第i個行人的實際質(zhì)量.

3.3 模型的建立

根據(jù)已確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)及行人步行參數(shù)，建立具體的隨機人群步行荷載模型.圖3為基于文獻［7，13］和本研究中隨機人群模型計算的隨機人群步行荷載時程曲線，其中人數(shù)為10人，行人間隔時間為0.2 s，人群從t=0時進入樓蓋，依次排隊沿結(jié)構(gòu)的x方向走完全程.由圖3可知，本研究中筆者計算的人群步行荷載曲線與根據(jù)兩個文獻中荷載模型計算得到的曲線變化趨勢基本一致.從而驗證了筆者建立的隨機人群步行荷載模型的合理性.

4 人群-大跨樓蓋耦合振動分析

以3.1小節(jié)介紹的大跨樓蓋為對象，選擇5條行走路徑，如圖4所示，行走路徑長度均為樓蓋跨度a.

行走人數(shù)變化范圍為10～80人，具體的行走人數(shù)分配情況如表1所示.每條路徑中行人間隔時間均為1.0 s，各路徑行人同時出發(fā)，進入結(jié)構(gòu)，并依次排隊行走，直至最后一人走完路線全程.

4.1 大跨樓蓋動力特性參數(shù)分析

單人或人群在結(jié)構(gòu)上行走時會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)頻率與阻尼比發(fā)生改變，因此在人致結(jié)構(gòu)振動研究中考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用是非常必要的.為研究人群行走下大跨樓蓋動力特性參數(shù)的變化情況，選取行走人數(shù)為40人的工況進行分析.當(dāng)不考慮行人行走的隨機性時，即人群同步頻行走時，不同行走步頻fp下大跨樓蓋動力特性參數(shù)變化曲線如圖5所示.

由圖5a可知：人群同步頻行走激勵下，大跨樓蓋一階瞬時頻率曲線呈先減小、后增大的趨勢；隨著步頻減小，結(jié)構(gòu)瞬時頻率降低的幅度逐漸增大.由圖5b可知：人群同步頻行走下，大跨樓蓋一階瞬時阻尼比呈先增大、后減小的趨勢，與瞬時頻率的變化趨勢相反；結(jié)構(gòu)瞬時阻尼比增大的幅度隨著行人步頻的減小而增大.

當(dāng)考慮行人行走隨機性時，對40人隨機行走下的大跨樓蓋動力特性參數(shù)進行100次數(shù)值計算.隨機人群行走下大跨樓蓋動力特性參數(shù)變化曲線如圖6所示.

由圖6可知，考慮行人行走隨機性時，大跨樓蓋一階瞬時頻率最小值明顯降低，一階瞬時阻尼比最大值明顯升高.由于環(huán)境等因素導(dǎo)致行人步頻、步速和步長的變化，每次計算結(jié)果存在一定差異性，但總體的變化趨勢相同.

圖7為不同行走人數(shù)下大跨樓蓋瞬時頻率最小值的變化曲線.其中，不考慮行人隨機性時，人群同步頻行走時步頻取值為1.66 Hz，即為所選樓蓋基頻4.980 0 Hz的倍頻；考慮行人隨機性時，變化曲線上的值取為樣本均值.由圖7可知：隨著行走人數(shù)的遞增，不考慮隨機性時大跨樓蓋的瞬時頻率最小值逐漸降低，且當(dāng)行走人數(shù)增加到40人后，瞬時頻率最小值變化趨于平穩(wěn).由圖7還可知，考慮行人隨機性時結(jié)構(gòu)瞬時頻率最小值的變化趨勢與不考慮隨機性時相似.

圖8 不同行走人數(shù)下結(jié)構(gòu)瞬時阻尼比最大值變化曲線

由圖8可知：隨著行走人數(shù)增多，兩種情況下樓蓋瞬時阻尼比最大值都逐漸增大；與瞬時頻率最小值相似，當(dāng)行走人數(shù)為40人時，瞬時阻尼比最大值增大幅度逐漸減緩.

4.2 大跨樓蓋加速度響應(yīng)分析

分析人致荷載作用下結(jié)構(gòu)振動是否超過設(shè)計要求限值［3］，需要對其加速度響應(yīng)進行計算分析.因此，根據(jù)人致結(jié)構(gòu)振動分析流程，分別求解不同隨機行走人數(shù)下大跨樓蓋中心位置處瞬時加速度與1 s均方根加速度.限于篇幅，僅給出了行走人數(shù)為40、60和80人時結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)曲線，如圖9所示.

為進一步研究隨機行走人數(shù)對大跨樓蓋加速度響應(yīng)的影響，以瞬時加速度最大值和1 s均方根加速度最大值為指標(biāo)，求解的不同行走人數(shù)下結(jié)構(gòu)加速度最大值變化曲線如圖10所示.

由圖10可知：當(dāng)行走人數(shù)從10人增加至60人時，兩條曲線均呈上升趨勢；行走人數(shù)為60人時結(jié)構(gòu)瞬時加速度及均方根加速度最大值都達到曲線最高點，分別為0.571和0.301 m/s2；人數(shù)從60人增加至80人時，兩條曲線均呈下降趨勢，這是由于隨著人流密度的增大，個體間相互影響也增大，人群步速與步頻會有所降低，從而導(dǎo)致樓蓋加速度響應(yīng)降低.

為進一步研究考慮與不考慮隨機性兩種情況下人群行走時樓蓋結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)的差異，選取行走人數(shù)為40人的工況，分析兩種情況下結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)的變化情況.不考慮隨機性的人群步行荷載模型需要由單人確定性行走模型組成.與隨機性的行走模型不同，確定性的行走模型中動載因子及相位角都是固定的，且一般取前3階分析，具體取值參考文獻［14］.前3階動載因子取值分別為（0.235 8fp-0.201 0）、0.094 9和0.052 3，其中前3階相位角取值分別為-π/4、0、0.

圖11為考慮及不考慮隨機性時40人行走下大跨樓蓋加速度響應(yīng)變化曲線，不考慮隨機性時人群步頻取為1.66 Hz.

由圖11可知，不考慮隨機性時結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)比考慮隨機性時的結(jié)果偏大，其中瞬時加速度最大值相差41.67%，而1 s均方根加速度最大值相差56.72%.

基于考慮和不考慮隨機性兩種情況，計算得到不同行走人數(shù)下結(jié)構(gòu)瞬時加速度最大值與1 s均方根加速度最大值，如表2所示.

由表2可知：不同行走人數(shù)下兩種情況的加速度響應(yīng)差異都較大；10人行走的工況下，瞬時加速度響應(yīng)差異率最大，達到53.90%；80人行走的工況下，均方根加速度差異率最大，達到61.57%.因此，在研究人群行走下的樓蓋動力響應(yīng)時，需要考慮行人行走的隨機性，才能準(zhǔn)確預(yù)測人致結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng).

5 結(jié) 論

1） 推導(dǎo)了人群-大跨樓蓋耦合動力方程，同時建立的隨機人群步行荷載模型考慮了行人的隨機性，可以較好地模擬真實人群步行荷載，且仿真計算時考慮了人-結(jié)構(gòu)的相互作用，得到的結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)結(jié)果更準(zhǔn)確.

2） 隨機人群行走時，大跨樓蓋瞬時頻率先減小、后增大，瞬時阻尼比先增大、后減??；隨著行走人數(shù)的增多，結(jié)構(gòu)瞬時頻率最小值顯著降低，而瞬時阻尼比最大值大幅增加.

3） 考慮行人隨機性時，隨著行走人數(shù)的增多，大跨樓蓋瞬時加速度及1 s均方根加速度均先增大、后減小，行走人數(shù)為60人時的結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)達到最大值.

4） 不同行走人數(shù)下，考慮及不考慮行人隨機性時計算的大跨樓蓋加速度響應(yīng)差異率均較大，其中瞬時加速度差異率最大可達到53.90%，1 s均方根加速度最大差異率可達到61.57%.因而，研究人群行走下的樓蓋加速度響應(yīng)時，有必要考慮行人行走過程的隨機性.

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（責(zé)任編輯 趙 鷗）