求解平行四邊形的動點問題，需要同學們根據(jù)平行四邊形的判定定理及性質(zhì)定理建立起各邊間的相等關(guān)系，結(jié)合時間與速度的變化規(guī)律，根據(jù)路程（總長度）列方程求解.

例1 如圖1，四邊形[OABC]是平行四邊形，[∠COA=60°]，[OC=8]，點[A]的坐標為[（14，0）]，動點[P]從點[O]出發(fā)，沿[OA]方向以每秒[1]個單位長度的速度向終點[A]勻速運動，動點[Q]從點[A]出發(fā)，沿[AB]方向以每秒[2]個單位長度的速度向終點[B]勻速運動，兩個點同時出發(fā)，當其中一個點到達終點時，另一個點就停止運動. 運動時間為[t]秒. 當點[P]運動的時間為[4]秒時，在平面直角坐標系中找到一點[M]，使以[M]，[P]，[Q]，[C]為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點[M]的坐標.

思路點撥：作[CD⊥x]軸于[D]，如圖2，易得[C（4，43）]." 由四邊形[OABC]是平行四邊形，[A（14，0）]，可得[BC=AO=14]，則點[B]的坐標為[（18，43）]." 當[t=4]秒時，[OP=4]，CP[⊥]OA，點[Q]與點[B]重合，如圖3所示，則[M]的坐標為（18，0）或（-10，0）或（[18，83]）.

變式：如圖1，在平面直角坐標系中，點[O]是坐標原點，四邊形[OABC]是平行四邊形，點[A]（14，0），點[B（18，43）.]

（1）動點[P]從點[O]出發(fā)，沿[OA]方向以每秒[1]個單位長度的速度向終點[A]勻速運動，動點[Q]從點[A]出發(fā)，沿[AB]方向以每秒[2]個單位長度的速度向終點[B]勻速運動，一點到達終點時另一點停止運動[.]設(shè)點[P]運動的時間為[t（tgt;0）]秒，當[t]為何值時，[△PQC]的面積是平行四邊形[OABC]的面積的一半？

（2）當[△PQC]的面積是平行四邊形[OABC]面積的一半時，在平面直角坐標系中找到一點[M]，使得以[M]，[P]，[Q]，[C]為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點[M]的坐標.

思路點撥：（1）由四邊形[OABC]是平行四邊形，可知[AO=BC=14]. 由點[A（14 ，" 0）]，點[B（18 ，" 43）]，可知點[C（4 ，" 43）]. 根據(jù)題意得[S△PQC=S?OABC-S△OPC-S△APQ-S△BCQ=12S?OABC]，則[12×14×43=12" ×" t" ×" 43+12（14-t）" ×3t+12×14 ×" （43-3t）]，化簡得[32t2-23t=0]，解得[t=4]或[0].

根據(jù)題意，[t=0]不符合題意，舍去，故[t=4]. 因此，當點[P]運動[4]秒時，[△PQC]的面積是平行四邊形[OABC]的面積的一半.

（2）點P運動的時間為4秒，如圖3，解法同例1，點M的坐標為（18，0）或（-10，0）或（[18，83]）.

例2 如圖4，在平行四邊形[ABCD]中，[AD=30]，[CD=10]，[點F]是[BC]的中點，[點P]以每秒[1]個單位長度的速度從點[A]向點[D]運動，到[點D]后停止運動；[點Q]沿著[A→B→C→D]路徑以每秒[3]個單位長度的速度運動，到點[D]后停止運動[.]已知動點[P]，Q同時出發(fā)，當其中一點停止后，另一點也停止運動[.]設(shè)運動時間為[t]秒，問： （1）經(jīng)過幾秒，以[A]，[Q]，[F]，[P]為頂點的四邊形是平行四邊形？（2）經(jīng)過幾秒，以[A]，[Q]，[F]，[P]為頂點的四邊形的面積是平行四邊形[ABCD]的面積的一半？

思路點撥：（1）當點[Q]在[AB]或[CD]上時，[AP]與[QF]不平行，不可能構(gòu)成平行四邊形，所以點[Q]必在邊[BC]上.

當點[Q]在點[F]的左側(cè)時，[103≤t≤253]，若四邊形APFQ為平行四邊形，則[AP=QF]，即[t=25-3t]，[∴t=254]；當點[Q]在點[F]的右側(cè)時，[253≤t≤403]，若四邊形APQF為平行四邊形，則[AP=FQ]，即[t=3t-25]，[∴t=252].

綜上所述，經(jīng)過[254秒或252]秒，以[A]，[Q]，[F]，[P]為頂點的四邊形是平行四邊形.

（2）當點[Q]在[AB]或[BF]上時，取[AD]的中點[G]，如圖5，四邊形[AQFP]的面積小于四邊形[ABFG]的面積，即小于平行四邊形ABCD面積的一半，所以點Q不在AB或BF上；

當點[Q]在[FC]上時，如圖6，若四邊形[AFQP]的面積等于平行四邊形ABCD的面積的一半（[△AFD]的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半），即[△FPQ]的面積等于[△FPD]的面積，則[PD=FQ]，[∴][30-t=3t-25]，[∴t=554gt;403]，不符合題意，顯然點Q不在FC上；

當點[Q]在[CD]上時，如圖7，若[FP?DQ]， 則四邊形PFCD為平行四邊形，可得[PD=FC=15]，即[30-t=15]，[∴][t=15]，由[403lt;15lt;503]，可知點Q在CD上符合題意.

綜上所述，點P，Q運動[15]秒時，以[A]，[Q]，[F]，[P]為頂點的四邊形的面積是平行四邊形[ABCD]的面積的一半.

[圖6] [A][P][D][C][F][B] [Q] [圖5] [A][P][D][C][F][B][Q] [G] [圖7] [A][P][D][C][F][B] [Q]

反思：解決此類問題的關(guān)鍵是動中求靜，要注意動點的起始位置和終止位置、運動方向，有時還要關(guān)注動點的運動速度，注意在運動過程中尋找等量關(guān)系．

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時間：8分鐘

如圖8，直線l1經(jīng)過A（6，0），B（0，8）兩點，點C從B出發(fā)沿線段BO以每秒1個單位長度的速度向點O運動，點D從A出發(fā)沿線段AB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，設(shè)運動時間為t秒（t gt; 0）．（1）求直線l1的表達式. （2）當t = 時，BC = BD.（3）將直線l1沿x軸向右平移3個單位長度后，與x軸、y軸分別交于E，F(xiàn)兩點，求四邊形BAEF的面積.（4）在平面內(nèi)，是否存在點P，使以O(shè)，A，B，P四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（答案見本頁）

（作者單位：錦州市第四中學）

答案速遞

第27頁：1. 5" "2. lt;

第30頁：1. （1）第二組 （2）175人 （3）該地區(qū)大部分學生家庭勞動時間沒有達到2個小時以上，主要原因是學生沒有時間. 建議：①家長要多進行指導，提升學生的家庭勞動技能；②各學校要嚴控課后作業(yè)量，留出學生家庭勞動時間……

2. （1）50人，46人 （2）分別從平均數(shù)、中位數(shù)、百分率看，B班成績好于A班成績 （3）從平均數(shù)、中位數(shù)、百分率看，試驗班提升更明顯，因此張老師新的教學方法效果較好．

第33頁：（1）[y=-43x+8] （2）[103] （3）30

（4）存在，點P的坐標為（6，8）或（-6，8）或（6，-8）.

第35頁：1.證明過程略. 提示：延長FE至點N，使得EN = EF，連接BN，AN.

2.證明過程略.提示：取AB的中點H，連接MH，NH.