【摘 要】從一維的長度認(rèn)識、二維的面積認(rèn)識到三維的體積學(xué)習(xí)，既是度量學(xué)習(xí)和經(jīng)驗的積累，也是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的一次飛躍。教學(xué)中，教師要把準(zhǔn)度量的核心要義，突出“單位”思想，發(fā)展“比較”意識，強化“計數(shù)”原理，讓學(xué)生在理解中建構(gòu)，在重構(gòu)中類比，在呈現(xiàn)中遷移，促成隱性思維顯性化、顯性思維結(jié)構(gòu)化、結(jié)構(gòu)思維形象化，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】度量；思維；結(jié)構(gòu)化；長方體；體積

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，課程內(nèi)容組織重點是對內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合，重視數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程，重視數(shù)學(xué)內(nèi)容的直觀表述，重視學(xué)生直接經(jīng)驗的形成。［1］教師要引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價值與意義，幫助學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化知識體系，實現(xiàn)課堂教學(xué)與發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)雙向并進。

“圖形的認(rèn)識與測量”是小學(xué)階段重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。教學(xué)時，教師應(yīng)從整體視角來認(rèn)識圖形和測量。張奠宙等曾指出，長度、面積和體積是最基本的度量幾何學(xué)概念，這三者除了圖形的維度不同，作為一種測量過程其本質(zhì)是一樣的［2］，即找到一個合適的數(shù)對其數(shù)學(xué)屬性進行描述。更進一步說，度量就是將一個待測量和一個標(biāo)準(zhǔn)量（度量單位）進行比較，待測量中所含的標(biāo)準(zhǔn)量的個數(shù)就是度量的數(shù)值化結(jié)果。［3］教師如何在度量的視域下，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識并發(fā)現(xiàn)知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和本質(zhì)聯(lián)系，并促成他們對知識的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知？本文以“長方體的體積”教學(xué)為例，談幾點思考。

一、理解中建構(gòu)，隱性思維顯性化

小學(xué)數(shù)學(xué)各知識內(nèi)容往往按照螺旋上升的方式排列成一個個單元。教學(xué)時，教師應(yīng)在單元整體視域下，以單元知識為載體，打破單元的壁壘，集結(jié)相關(guān)的單元知識進行重構(gòu)或者創(chuàng)生。［4］對數(shù)學(xué)知識進行關(guān)聯(lián)和重組時，不僅要聚點成線、勾線成面，還要積面成體。相對于知識線、知識網(wǎng)，知識體更具有整體性、轉(zhuǎn)換性、遷移性和應(yīng)用性，能讓學(xué)生更好地基于整體、系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)進行建構(gòu)與理解數(shù)學(xué)知識。

教學(xué)片段一：激活經(jīng)驗，勾連度量的意義

問題1：如圖1所示，線段有多長？你是怎樣想的？

……

問題2：如圖2所示，長方形的面積是多少？你又是怎樣想的？

生7：與計算長方形的面積一樣，用小正方體去擺放，看看幾個小正方體可以把它擺滿。

生8：用小正方體擺一擺，然后數(shù)一數(shù)小正方體的個數(shù)，就是這個長方體的體積。

師（小結(jié)）：我們發(fā)現(xiàn)，度量線段的長度就是數(shù)出線段有多少個長度單位，度量平面圖形面積的大小就是數(shù)出它含有多少個面積單位。那么立體圖形體積的大小是不是就是數(shù)出它含有多少個體積單位呢？

教學(xué)片段二：豐富認(rèn)知，加深度量的感悟

問題1：如圖4所示，長方體的體積有多大？動手?jǐn)[一擺、畫一畫，并把結(jié)果填入學(xué)習(xí)單。

師：同一個長方體，為什么度量的結(jié)果是不一樣的？

生1：因為用來擺放的小正方體的大小不一樣。

生2：用來擺放的正方體越大，個數(shù)就越少；正方體越小，個數(shù)就越多。

師：其實就是因為它們的體積單位大小不一樣。如果用同樣大小的正方體去度量，結(jié)果會相同嗎？

生（齊）：相同。

師（小結(jié)）：也就是說，體積的度量和長度、面積的度量是一樣的，需要選擇一個度量的標(biāo)準(zhǔn)，就是我們常說的單位。如果選用統(tǒng)一的度量單位，度量的結(jié)果就是相同且唯一的。

教師引導(dǎo)學(xué)生對長度、面積度量進行回憶，幫助學(xué)生理解長方體體積度量的核心要義，也就是用統(tǒng)一的體積單位去“填滿”整個長方體，拼成長方體所含體積單位的個數(shù)就是長方體的體積數(shù)。如此，體積度量這一顯性的學(xué)習(xí)活動與隱性的思維主線有機結(jié)合并逐漸顯性化。這也為探索長方體體積的計算方法做了孕伏：有沒有一種更快捷的方法可以數(shù)出一共含有多少個小正方體（體積單位）？學(xué)生帶著這樣的思考進入后續(xù)的學(xué)習(xí)。

二、重構(gòu)中類比，顯性思維結(jié)構(gòu)化

為什么長方體的體積可以用“長×寬×高”來計算？如果不深挖背后的道理，學(xué)生獲得的只是片面的、膚淺的計算技能，無法形成完整的數(shù)學(xué)理解，自然也不能靈活運用。實際上，無論是長度、面積還是體積，學(xué)生往往需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的建立、比較方法的運用、度量工具的選擇、度量單位的產(chǎn)生、度量結(jié)果的計算等過程，從而將點狀知識連線成網(wǎng)，組建起更加系統(tǒng)化的認(rèn)知框架。

教學(xué)片段三：操作想象，拓寬度量的空間

問題1：用24個相同的小正方體（棱長為1cm）擺出3個不同的長方體（見表1），記錄它們的長、寬、高，想一想長方體的體積與它的長、寬、高之間有怎樣的關(guān)系？

生1：長方體的體積和小正方體的數(shù)量恰好相等。

生2：只要算出小正方體的數(shù)量，就可以知道長方體的體積。

生3：我們用“長×寬×高”算出小正方體的數(shù)量，也就算出了長方體的體積。

問題2：用“長×寬×高”的方法可以計算表1中三個長方體的體積，是不是所有長方體的體積都可以這樣計算？

生4：我認(rèn)為是可以的。

生5：我們可以用小正方體擺出其他形狀的長方體，看看是不是可以這樣計算。

生6：我用24個小正方體擺出了另外的形狀，發(fā)現(xiàn)也可以用“長×寬×高”這個方法計算。

生7：我們還可以先用“長×寬×高”這個方法算出長方體的體積，再檢查一下小正方體的數(shù)量，看看它們是不是相等的。

問題3：經(jīng)過前面的舉例驗證，我們發(fā)現(xiàn)不同的長方體都可以用“長×寬×高”來計算它的體積。例如，一共有24個1立方厘米的小正方體，它的體積就是24立方厘米，以此類推。但我們沒辦法把所有長方體都一一列舉并逐個驗證，為什么能這么肯定地說可以用“長×寬×高”來計算所有長方體的體積？

生8：其實不管長方體的長、寬、高分別是多少，擺放和計算的方法都是一樣的。

生9：先一行一行地擺滿一層，然后數(shù)一數(shù)一共有多少層，就可以算出它的總個數(shù)為“長×寬×高”。

師（小結(jié)）：對于長方體的體積，我們可以先數(shù)出一層中的一行有幾個小正方體，一共有幾行，用“長×寬”算出一層的小正方體的個數(shù)。高有幾層就乘幾，這樣就算出了全部的小正方體的個數(shù)，也就算出了長方體的體積（如圖5）。

教學(xué)片段四：推理辨析，深化度量的內(nèi)涵

問題1：如果量出長方體的長、寬、高不是整數(shù)時，可以用“長×寬×高”的方法來計算長方體的體積嗎？如果可以，又該怎樣計算？

（教師引導(dǎo)學(xué)生用如圖6所示方法進行計算。）

生1：可以把體積是1dm3的正方體換算成體積是1cm3的小正方體，量出長方體的長、寬、高分別是42cm、35cm、27cm，這樣長方體的長、寬、高都變成了整數(shù)，可以用“長×寬×高”來計算體積。

生2：其實小數(shù)也是可以的。我們在計算小數(shù)乘法時，先看作整數(shù)乘法，最后再點上小數(shù)點，其實就是把大的體積單位換算成小的體積單位，把小正方體換成更小的正方體，用“長×寬×高”算出一共有多少個更小的正方體，也就算出了長方體的體積。

度量的本質(zhì)是確定度量對象里包含多少個度量單位，它的關(guān)鍵是對度量單位（標(biāo)準(zhǔn)）的選擇和計數(shù)。為了再次強化學(xué)生的度量意識，教學(xué)時，教師接連拋出兩個重要問題：“用‘長×寬×高’的方法可以計算表1中三個長方體的體積，是不是所有長方體的體積都可以這樣計算？我們沒辦法把所有長方體都一一列舉并逐個驗證，為什么能這么肯定地說可以用‘長×寬×高’來計算所有長方體的體積？”這就逼迫學(xué)生跳出特殊的例子來探討算法背后的一般性道理。

在這個探討的過程中，學(xué)生自然地明白了長度是一個方向上的度量和計數(shù)——用長度單位去拼合；面積是兩個方向（長和寬）上的度量和計數(shù)——用面積單位去平鋪；體積則需要從三個方向（長、寬、高）進行度量和計數(shù)——用體積單位去內(nèi)填（如圖7）。特別是學(xué)生對“長方體的長、寬、高不是整數(shù)時，體積公式還適用嗎”這一問題的思辨，是檢驗學(xué)生是否真正理解體積公式的關(guān)鍵，也是考驗學(xué)生度量意識能否建立的主要依據(jù)。在轉(zhuǎn)換單位重新計量的過程中，教師幫助學(xué)生從體積計算的形式模仿走向意義建構(gòu)的深度理解。

三、呈現(xiàn)中遷移，結(jié)構(gòu)思維形象化

有學(xué)者指出，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是學(xué)生在積極參與數(shù)學(xué)活動的過程中內(nèi)化了的數(shù)學(xué)知識、技能及情感體驗。當(dāng)學(xué)生的原有經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)經(jīng)歷而得到升華時，學(xué)生便會有意識地思考、積淀、呈現(xiàn)和遷移，從而激發(fā)數(shù)學(xué)經(jīng)驗和思維在新情境中活化、重構(gòu)與運用。在長方體體積的探究中，體積公式計算是顯性的，體積單位度量是隱性的，學(xué)生記住的往往是形式化的公式，而忽視用“度量單位”來測量這一核心要義。因此，教學(xué)中，教師應(yīng)強化學(xué)生對“用體積單位去度量”這一核心要義的理解，為結(jié)構(gòu)化思維的生長做鋪墊。

教學(xué)片段五：融通知識，構(gòu)建度量的體系

問題1：除了長度、面積、體積，我們還學(xué)了哪些不同的度量內(nèi)容？以角的度量為例，請你回憶一下，我們是怎樣度量的？與長度、面積、體積的度量有什么相同的地方？

生1：度量角的大小要用到量角器。

生2：量角器就是把一個個小角拼在一起。

生3：量角的時候把角的頂點與量角器的中心點重合，角的一條邊與量角器的零度邊重合，角的另一條邊指向量角器的幾刻度線就是幾度角。

生4：度量長度、面積、體積時，我們分別用到了長度單位、面積單位、體積單位，比如1厘米、1平方厘米、1立方厘米。量角的時候，我們也要用到角的單位——度。

生5：線段有幾個1厘米，它的長度就是幾厘米，平面圖形有幾個1平方厘米，它的面積大小就是幾平方厘米，立體圖形有幾個1立方厘米，它的體積大小就是幾立方厘米。角的大小也一樣，有幾個1°角，角的大小就是幾度。

師（小結(jié)）：角有多大，就是看這個角包含了幾個1°角這樣的單位。它和度量長度、面積、體積的道理是一樣的，即先用一個統(tǒng)一的“單位”作為度量的標(biāo)準(zhǔn)，再看有幾個這樣的“單位”，也就度量出了它的大小。

教學(xué)片段六：拓展思維，充實數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)

問題1：如圖8所示，你會計算這些圖形或物體的體積嗎？需要什么幫助？

生1：我會計算長方體的體積，需要知道它的長、寬、高。

生2：只要知道正方體的棱長，我就會算它的體積，“棱長×棱長×棱長”，其實還是“長×寬×高”。

生3：我會算③的體積，每層10個小正方體，一共5層，就是50個小正方體，只要知道一個小正方體的體積，再乘50就能知道整個圖形的體積。

師：你們會算其他圖形的體積嗎？

生4：我在思考，④和⑤會不會也有體積計算公式呢？

生5：我覺得⑥是沒有計算公式的。

問題2：④和⑤如果有體積計算公式，這個公式可能是怎樣的？如果沒有公式，④、⑤、⑥有沒有辦法算出體積呢？

生6：長方體的體積是“長×寬×高”，正方體的體積是“棱長×棱長×棱長”，其實都是先算最底下那個面的面積，再乘高，就是它們的體積。

師：對，其實“長×寬”和“棱長×棱長”都是計算長方體或正方體的底面積。因此，它們的體積計算方法都可以看作“底面積×高”（如圖9）。

生7：我明白了，③、④、⑤其實都可以用“底面積×高”的方法來計算體積，因為他們和長方體一樣，都是一層一層疊起來的（如圖10）。

師：土豆的體積該怎樣計算呢？古時候有聰明的曹沖，用了巧妙的方法稱出大象的重量。曹沖稱象的故事對你有什么啟發(fā)呢？

師（小結(jié)）：其實不管度量什么，都可以看成度量對象里包含了多少個度量單位。如果是規(guī)則圖形（或物體）的度量，算起來會比較方便。如果是不規(guī)則圖形（或物體）的度量，我們可以借助于轉(zhuǎn)化這一方法，把它轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（或物體）進行度量。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的在于讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界。度量作為重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容與思想，承載著獨特且鮮明的育人價值。在這一過程中，教師需要及時喚醒學(xué)生對相關(guān)舊知識的回憶，讓學(xué)生溝通新舊知識的聯(lián)系，建立知識、方法與思想的結(jié)構(gòu)，促進新知識學(xué)習(xí)的遷移，使學(xué)生在知識與技能的學(xué)習(xí)中構(gòu)建度量的知識體系，真正形成數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等. 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理：核心概念的理解與呈現(xiàn)［M］. 上海：上海教育出版社，2018.

［3］孫妍. 度量視域下指向?qū)W科核心素養(yǎng)的單元主題教學(xué)：以“長方體和正方體的體積”教學(xué)為例［J］. 小學(xué)教學(xué)參考，2022（2）：12-14.

［4］章駿. 從知識走向思維：小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的“破與立”［J］. 中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2024（1）：13-19.

（責(zé)任編輯：羅小熒）